DINAMICA delle STRUTTURE. università Degli Studi di cagliari - facoltà di ingegneria. Laurea Magistrale in Ingegneria Civile percorso Strutture

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1 università Degli Studi di cagliari - facoltà di ingegneria Laurea Magistrale in Ingegneria Civile percorso Strutture DINAMICA delle STRUTTURE Docente: Maria Cristina Porcu 1

2 EFFETTI DINAMICI DOVUTI AL VENTO TAKOMA NARROW BRIDGE (Washington) Inaugurato a luglio del 1940, crollò quattro esi dopo Nuovo ponte sospeso doppio TAKOMA NARROW BRIDGE inaugurato nel 007 Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu

3 EFFETTI DINAMICI DOVUTI AL VENTO VOLGOGRAD BRIDGE (Russia) Inaugurato nell Ottobre 009, fu chiuso al traffico nel Maggio 010 a causa delle forti oscillazioni. Furono inseriti sei-active ass dapers per sorzare oscillazioni Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 3

4 EFFETTI DINAMICI DOVUTI AL VENTO Tall Buildings Torre Eiffel 1889 (304 ) Parigi Con forte vento oscillazioni di 15 c in soità Taipei 101 (509 ) Taiwan (Tuned ass daper: Sistea costituito da una sfera in acciaio di 5.5 vincolata con aortizzatori e olle, che controbilancia le oscillazioni dell edificio, che possono raggiungere anche CN Tower (553) Toronto-Canada 1.5) Park Tower (198) Chicago Tuned Mass Daper 4

5 EFFETTI DINAMICI DOVUTI ALLA FOLLA MILLENNIUM BRIDGE - LONDON ARUP Foster & patners Chiuso a causa delle forti oscillazioni innescate dalla folla durante la sua inaugurazione nel 000, il Millenniu Bridge fu dotato di sorzatori e poi riaperto al pubblico. Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 5

6 EFFETTI DINAMICI DOVUTI ALLA FOLLA Passerella Pedonale ad Assago Mediolanu Foru Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu Chiusa al pubblico nel Febbraio del 011 a causa delle forti oscillazioni innescate dalla folla al terine di un concerto al Mediolanu Foru, fu riaperta dopo l irrigidiento delle pile. 6

7 EFFETTI DINAMICI DOVUTI ALLA FOLLA Passerelle pedonali Tribune e gradinate Solai di sale da ballo Trapolini Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 7

8 EFFETTI DINAMICI DOVUTI AD AZIONI SISMICHE BASILICA S. FRANCESCO DI ASSISI TERREMOTO Settebre 1997 Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 8

9 EFFETTI DINAMICI DOVUTI AD AZIONI SISMICHE L Aquila terreoto 6 Aprile Scala Richter Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 9

10 EFFETTI DINAMICI DOVUTI AD AZIONI SISMICHE L Aquila Casa dello studente - terreoto 6 Aprile 009 Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 10

11 EFFETTI DINAMICI DOVUTI AD AZIONI SISMICHE Suatra - Indonesia - terreoto 30 Settebre 009 Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 11

12 EFFETTI DINAMICI DOVUTI AD AZIONI SISMICHE Isole Saoa Tsunai generato da un terreoto di 8 gradi Richter - 9 Settebre 009 Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 1

13 EFFETTI DINAMICI DOVUTI AD AZIONI SISMICHE Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 13

14 EFFETTI DINAMICI DOVUTI AD AZIONI SISMICHE Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 14

15 EFFETTI DINAMICI DOVUTI AL TRAFFICO a) Interazione dinaica con la struttura deforabile sottostante (ponti-viadotti) Ponte sullo Stretto di Messina Ponte ferroviario Ponte autostradale b) Trasissioni vibrazioni attraverso il terreno (traffico stradale pesante etropolitana) Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 15

16 EFFETTI DINAMICI DOVUTI A TRAFFICO Curiosità: in un ponte stradale sito in Giappone sono stati inseriti dei icro-generatori che sfruttano le vibrazioni dovute al passaggio dei veicoli sul ponte, per produrre energia elettrica (in grado di fornire l energia necessaria per l illuinazione del ponte) Ponte Goshiki-Zakura-Ohashi sul fiue Arakawa in Giappone Moto dei pedoni Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 16

17 EFFETTI DINAMICI DOVUTI AL MOTO DELLE CAMPANE Torre S. Patrizio - ROMA 007 Dopo l inaugurazione fu chiusa e irrigidita Torre Matilde di San Miniato (Pisa) Non era nata coe torre capanaria e presenta nuerose lesioni dovute al oto delle capane. Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 17

18 EFFETTI DINAMICI DOVUTI A URTI O ESPLOSIONI esplosioni in cave o iniere Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 18

19 EFFETTI DINAMICI DOVUTI A MACCHINARI - MOTORI ISOLAMENTO DALLE VIBRAZIONI u(t) u(t) solaio F(t) F(t) solaio Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 19

20 EFFETTI DINAMICI PER APPLICAZIONE IMPROVVISA DI CARICHI Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 0

21 EFFETTI DINAMICI DOVUTI A MOTO ONDOSO Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 1

22 EFFETTI DINAMICI SULLE STRUTTURE vento folla terreoto traffico stradale o ferroviario oto capane urti o esplosioni acchinari applicazione iprovvisa di carichi oto ondoso Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu

23 u [] MASSA T u(t) k DETERMINARE SCHEMATIZZARE INGEGNERIA STUDIO I PARAMETRI DEL SISMICA LE MOTO STRUTTURE DINAMICI DUTTILITA STRUTTURALE MODELLI PIANI (più seplici a eno realistici) PERIODO RIGIDEZZA SMORZAMENTO PROPRIO k, x x ut () F(t) Villa Savoye Le Corbusier Sistei ad 1 grado di libertà t 3 q 3 (t) El Centro, California 1940, accelerazioni 0.4 rottura cls pria che inizi la deforazione 4 plastica acciaio q4 0.3 q (t)( a eno che non ci sia opportuno confinaento) 3 q3 3 q3 h 0. PERCENTUALE OTTIMALE 0.1 M FORTE q 1 1 (t) q ARMATURA q rottura calcestruzzo [d] [] [k] 3 q1 A DEBOLE s q1 PERCENTUALE -0. M y -0.3 b) 1 odo di inizio vibrare deforazione c) odo di vibrare d) 3 odo di vibrare ax = 0.33 plastica g acciaio cabio di pendenza a causa della diinuzione della rigidezza dovuta al crack M cr T 1 T T 3 VERIFICHE CON FORZE STATICHE EQUIVALENTI f Se [/s ] pria fessura cls (first crack) Sistei a più gradi di libertà Oscillazioni forzate Moto ipresso alla Oscillazioni base (TERREMOTO) libere q [ d ] q k q G D D q t (t) [c] u(t) u(t) F(t)/k u ax =.6 c 10,00 Resonance q t SPETTRI h DI RISPOSTA 9,00 ZONA q 1 t 0 u du ku F() t 0.05 Categoria suolo A (bedrock) T=0.15s 8, Sorzaento 5% 0 q q1 q q3 q4 q5 x=1% 7,00 t h 0 ZONA q t u(t) 6, H K, x ,00 0 q t 0 Maggiore dissipazione 4,00 ZONA 3 h q Minore ipegno plastico t 3, q q q t,00 p 0 t -0.0 ZONA 4 h 1,00 0 CN Tower - Canada , , , , , , , , ,50 t 3 0 Torre Montjuic Barcellona t T [s] t [s] 0 (Calatrava) t [s] b

24 DIFFERENZA TRA PROBLEMI DI TIPO STATICO E DINAMICO DIPENDENZA DALLE FORZE DI INERZIA (forze proporzionali alle asse, che si oppongono al oto) EQUILIBRIO STATICO EQUILIBRIO DINAMICO P P(t) P/ P/ R 1 R R 1 (t) R 1 (t) forze di inerzia R (t) R (t) (costanti) (variabili con t) funzione solo della posizione di P funzione non solo della posizione di P(t) a anche del tepo (in certi istanti persino nulle!) Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 4

25 DIFFERENZA TRA PROBLEMI DI TIPO STATICO E DINAMICO DIPENDENZA DAL TEMPO I Carichi statici vengono applicati in aniera graduale, cioè quasi statica, fino al loro valore finale, raggiunto il quale poi riangono applicati con valore costante. Le caratteristiche della sollecitazione, le deforazioni e gli sforzi, assuono valori costanti nel tepo in ogni punto della struttura. Il loro valore è funzione solo della posizione nello spazio (della forza applicata e della sezione dove si valuta la sollecitazione). I Carichi dinaici sono carichi applicati in aniera veloce oppure sono forze che variano nel tepo. Le caratteristiche della sollecitazione, le deforazioni e gli sforzi, variano, non solo in funzione della posizione nello spazio, a anche in funzione del tepo. Ed è proprio il odo in cui variano questi paraetri nel tepo che ha particolare iportanza ai fini dello studio dinaico della struttura e della sua verifica. Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 5

26 Risposta Statica o Risposta Dinaica? Tutto dipende da coe variano le forze e da coe vengono applicate L F FORZA QUASI STATICA F F FORZA A GRADINO (applicata iprovvisaente) F FORZA SINUSOIDALE T e F * F * F * t t t t u st RISPOSTA STATICA RISPOSTA DINAMICA RISPOSTA DINAMICA u costante u u st u st u oto oscillatorio u st T e t t t t u ax =u st u ax ~u st Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu uax =Du st D è il fattore di aplificazione dinaica che può essere anche olto aggiore di 6

27 Di notevole iportanza Una forza di piccola apiezza Se applicata staticaente produce in genere piccoli effetti. Se applicata dinaicaente, può produrre anche effetti disastrosi Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 7

28 Dinaica delle Strutture Richiai di Dinaica dei Sistei Dinaica dei Sistei ad 1 grado di libertà (1GDL) Oscillazioni libere (non sorzate e sorzate). Equazioni del oto. Oscillazioni forzate (forza aronica, a gradino, ipulsiva, periodica, forza qualsiasi, oto ipresso al supporto) Verifica delle strutture soggette a forze dinaiche (forza statica equivalente) Principio di funzionaento di acceleroetri e vibroetri Isolaento dalle vibrazioni Dinaica dei Sistei a più gradi di libertà (più GDL) Matrice cineatica, atrice di inerzia, atrice di rigidezza Oscillazioni libere (odi principali di vibrare frequenze proprie) Equazioni del oto Sorzaento nei sistei a più gradi di libertà Oscillazioni forzate - contributo al oto dei odi di vibrare - disaccoppiaento equazioni del oto Verifica dei sistei a più GDL soggetti a forze dinaiche (forze statiche equivalenti) TESTI CONSIGLIATI E. Viola Fondaenti di Dinaica e Vibrazione delle Strutture, vol. 1, Pitagora Ed., 001 R. W. Clough, J. Penzien Dynaics of Structures, Mc Graw Hill, 1975, ISBN A. K. Chopra Dynaics of Structures", Prentice Hall, 001, ISBN Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 8

29 Dinaica Sisica delle Strutture Sorzaento nei sistei a più gradi di libertà Oscillazioni forzate - contributo al oto dei odi di vibrare - disaccoppiaento equazioni del oto Verifica dei sistei a più GDL soggetti a forze dinaiche (forze statiche equivalenti) Cenni su OrigineTerreoti Onde sisiche Spettro di Risposta di un terreoto Sistei ad 1 grado di libertà sotto MOTO SISMICO Verifica sisica rigorosa e con Spettro di Risposta Sistei a più gradi di libertà sotto MOTO SISMICO Verifica sisica rigorosa e con Spettro di Risposta Norativa Antisisica - Costruzione di spettri di Risposta di Progetto - Verifica Lineare sotto azione sisica (Statica e Dinaica) - Regole di Progettazione Antisisica - Gerarchia delle Resistenze Progettazione duttile in zona sisica - Oscillatore elasto-plastico - Duttilità globale - Duttilità locale di sezioni inflesse e pressoinflesse Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 9

30 Richiai di Dinaica dei Sistei Sistea fisico Si definisce coe sistea fisico o sistea ateriale una porzione di ateria vincolata al ondo esterno (con vincoli privi di assa) e soggetto a delle forze esterne. Le forze esterne possono essere di varia natura: eccaniche, agnetiche, elettriche, teriche, etc. Se le forze esterne sono di tipo eccanico e se si trascurano fenoeni di altra natura, allora il sistea si dice sistea eccanico. z p F y x Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 30

31 MODELLO MATEMATICO DI UN SISTEMA MECCANICO 1) SCHEMATIZZARE OPPORTUNAMENTE IL SISTEMA MECCANICO (corpo rigido, asse concentrate, sistea continuo, discreto, a uno o più gradi di libertà). La scelta della scheatizzazione dipende a sua volta dagli scopi che ci si prefigge nello studio del sistea, dalla seplicità della struttura reale, dalla accuratezza dei risultati che si vogliono ottenere ) SCEGLIERE LE COORDINATE CHE NE DESCRIVONO LO STATO (o configurazione). Si chiaa processo o oto del sistea una faiglia di valori delle coordinate (variabili) che descrivono il sistea, nella quale il tepo risulta l eleento ordinatore, cosicché ad ogni valore di tepo si può far corrispondere un unico valore per le coordinate e quindi un unica configurazione del sistea. Dato uno stesso sistea ateriale è possibile descrivere lo stato del sistea attraverso variabili diverse. u(t) oto 3) DESCRIVERE il sistea eccanico reale attraverso un MODELLO MATEMATICO. t SISTEMA MECCANICO scheatizzazione scelta coordinate u(t) u cu ku F() t MODELLO MATEMATICO EQUAZIONI DEL MOTO (dipendenti dalle coordinate che descrivono il sistea) Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 31

32 Sistei Discreti e Sistei Continui Direo che un sistea è discreto se è sufficiente un nuero finito (discreto) di coordinate per deterinare la posizione di tutti i suoi punti (e quindi il suo oto). (x s, y s, z s ) s=1,..., sistei discreti Direo invece che un sistea è continuo se è necessario un nuero infinito di coordinate per descriverne il oto. In questo caso le coordinate sono funzioni continue dei punti del sistea. (x s, y s, z s ) s=1,..., sistei continui Per descrivere il oto di un sistea discreto sono sufficienti equazioni differenziali alle derivate ordinarie (perchè i paraetri che descrivono il oto del sistea sono funzione solo del tepo) entre per i sistei continui si hanno equazioni differenziali alle derivate parziali (perchè le coordinate che descrivono il oto dipendono sia dal tepo che dallo spazio). Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 3

33 SISTEMI DISCRETI I sistei reali sono in genere dei sistei continui. Nella stragrande aggioranza dei casi è però possibile descrivere il coportaento di un sistea reale attraverso un sistea discreto. Nel caso dei problei dinaici, ciò significa scheatizzare i sistei reali, che hanno assa distribuita, attraverso dei odelli più seplici con asse concentrate in punti opportuni. Struttura reale Struttura reale CN Tower - Canada Scheatizzazione Scheatizzazione Noi ci occupereo solo di sistei discreti a uno o più gradi di libertà Gran Canyon Skywalk - Arizona Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 33

34 EQUAZIONI DEL MOTO Per studiare il oto di un sistea dinaico occorre scrivere le equazioni del oto nelle coordinate scelte per descriverlo (coordinate generalizzate). Vedreo che per far ciò serve introdurre le quantità : Coordinate generalizzate Gradi di libertà Forze generalizzate Energia Potenziale Forze di inerzia Energia Cinetica Ci servirà richiaare poi: Teorea di Conservazione Energia Meccanica a Legge di Newton Principio di d Alabert Equazioni di Lagrange del oto Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 34

35 COORDINATE GEOMETRICHE COORDINATE LIBERE (GENERALIZZATE) ASTA RIGIDA INCERNIERATA AD UN ESTREMO y y A O θ R q(t) x A A x Coordinate geoetriche: x A e y A dipendenti l una dall altra perché x A + y A =R E sufficiente un solo paraetro per descrivere il oto! 1 Coordinata generalizzata: q=q(t) capace da sola di descrivere la posizione dell asta Legae in fora paraetrica (tra coordinate geoetriche e coordinate generalizzate): x y A A Rcosq R senq L angolo q è in grado di fornire copletaente e in qualunque istante la posizione dell asta. Esistono tante altre possibilità. MA NON E L UNICO PARAMETRO CHE POTREMMO SCEGLIERE! Per esepio si può descrivere il oto anche con il paraetro Per esepio: q=q(t)= θ(t) q=q(t)= x A (t) Oppure con q=q(t)= y A (t) Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 35

36 COORDINATE GEOMETRICHE COORDINATE LIBERE (GENERALIZZATE) DUE ASTE RIGIDE INCERNIERATE TRA LORO E AD UN PUNTO A TERRA 4 Coordinate geoetriche (DIPENDENTI TRA LORO): x A, y A, x B, y B y 1 Coordinate generalizzate (LIBERE): q 1 =q 1 (t)= θ 1 (t) q =q (t)= θ (t) y B B y A A θ Oppure q 1 =q 1 (t)= x A (t) q =q (t)= y B (t) Oppure q 1 =q 1 (t)= y A (t) θ 1 x A x B x q =q (t)= x B (t) Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 36

37 COORDINATE GEOMETRICHE COORDINATE LIBERE (GENERALIZZATE) IN GENERE PER DESCRIVERE IL MOTO DI UN SISTEMA E SUFFICIENTE UN NUMERO DI COORDINATE (coordinate libere generalizzate) MINORE DI QUELLE GEOMETRICHE y y A y R θ x A A Coordinate geoetriche (DIPENDENTI TRA LORO): x A, y A 1 1 Coordinata generalizzata (LIBERA): q=q(t)= θ(t) Oppure q=q(t)= x A (t) x Oppure q=q(t)= y A (t) y B B y A A θ 4 Coordinate geoetriche (DIPENDENTI TRA LORO): x A, y A, x B, y B q 1 =q 1 (t)= θ 1 (t) 1 Coordinate generalizzate (LIBERE): q =q (t)= θ (t) θ 1 x A x B x Oppure q 1 =q 1 (t)= x A (t) q =q (t)= y B (t) Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 37

38 COORDINATE GENERALIZZATE Dato un sistea eccanico possiao individuare univocaente la posizione di tutti i suoi punti (asse puntifori) in ogni istante attraverso n opportuni paraetri q r (con r=1,,,n), che in genere sono in nuero inferiore rispetto alle 3 coordinate geoetriche x s, y s, z s (con s=1,,,) degli punti-assa del sistea. Chiaereo tali paraetri coordinate generalizzate. Vengono dette generalizzate perché possono essere qualsiasi paraetro che descriva il oto del sistea (uno spostaento, un angolo, oppure anche altre quantità). z s 3 1 Nello spazio la posizione di ogni assa è individuata da 3 coordinate geoetriche ( nel piano) 1 (x 1,y 1,z 1 ) ; (x,y,z ) ; ; (x,y,z ) x y = nuero delle asse 3 = nuero coordinate geoetriche n = nuero di coordinate sufficienti per descrivere il sistea Solo se le asse sono libere (senza vincoli esterni e vincoli tra di loro) le coordinate geoetriche sono indipendenti tra loro ed il nuero n di paraetri che sono sufficienti per descrivere il sistea coincide con il nuero 3 di coordinate geoetriche. n = 3 Se le asse possiedono vincoli tra di loro e con il ondo esterno n < 3 caso generale Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 38

39 Variazione virtuale delle coordinate Si chiaa variazione virtuale di una coordinata q r, e la definiao con il sibolo q r, una variazione di q r che soddisfi le seguenti condizioni: q r è infinitesio; q r è copatibile con i vincoli; q r avviene in un intervallo di tepo nullo (a tepo congelato, cioè il tepo riane costante) q r è un increento puraente ideale che il sistea può subire indipendenteente dalle forze applicate. (Si tratta cioè di spostaenti cineatici, indipendenti dalle forze che li produrrebbero.) Si chiaa spostaento virtuale del sistea un dato insiee di variazioni virtuali delle sue coordinate. Osserviao che nel caso di vincoli obili c è differenza tra spostaenti reali e spostaenti virtuali. Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 39

40 GRADI DI LIBERTA I gradi di libertà di un sistea sono per definizione il nuero di variazioni virtuali delle coordinate geoetriche del sistea che possono essere assegnate indipendenteente le une dalle altre. In altre parole, i gradi di libertà (gdl) sono il nuero di ovienti indipendenti che possono essere copiuti dalle asse del sistea. Il nuero di gradi di libertà coincide con il nuero di coordinate libere del sistea. z 3 asse 3 coordinate geoetriche s 1 y n gradi di libertà = n coordinate libere (generalizzate) n < 3 x s=1,..., n gradi di libertà n coordinate generalizzate (libere o indipendenti) Si definiscono coordinate libere le coordinate che sono indipendenti tra di loro. Le coordinate che descrivono un sistea sono sepre libere? No, non sepre. Possono esistere dei legai o vincoli tra le coordinate, cioè dei legai (analitici) che non le rendono indipendenti Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 40

41 MOTO DEL SISTEMA IN COORDINATE GENERALIZZATE Moto di un sistea eccanico Il oto di un sistea eccanico può essere descritto attraverso le n coordinate generalizzate scelte q r (t), con r=1,..,n, che sono in grado di fornire la posizione delle asse del sistea in qualunque istante. Moto del sistea q q () t q q () t q n q n () t Per ottenere il oto del sistea occorre scrivere e risolvere le equazioni del oto, che devono essere espresse in funzione delle coordinate generalizzate q r (t). Per scrivere le equazioni del oto occorre espriere tutte le quantità che entrano in gioco (forze, energia cinetica, energia potenziale) in terini di coordinate generalizzate. Per scrivere tutte le quantità in terini di coordinate generalizzate è indispensabile utilizzare il legae (paraetrico) tra le coordinate generalizzate e le coordinate geoetriche che è noto una volta dato il sistea: Legai paraetrici x x ( q, q,..., q, t) s s 1 n y y ( q, q,..., q, t) s s 1 n z z ( q, q,..., q, t) s s 1 n s = 1,.., Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 41

42 EQUAZIONI DEL MOTO Per studiare il oto di un sistea dinaico occorre scrivere le equazioni del oto nelle coordinate scelte per descriverlo (coordinate generalizzate). Vedreo che per far ciò serve introdurre le quantità : Coordinate generalizzate Gradi di libertà Forze generalizzate Energia Potenziale Forze di inerzia Energia Cinetica Ci servirà richiaare poi: Teorea di Conservazione Energia Meccanica a Legge di Newton Principio di d Alabert Equazioni di Lagrange del oto Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 4

43 Lavoro Virtuale Dato un sistea eccanico costituito da un certo nuero di asse, intese coe punti assa, vincolate tra loro e con l esterno. La posizione della assa s-esia rispetto ad un sistea di riferiento cartesiano nello spazio è individuata da tre coordinate geoetriche x s, y s, z s. Supponiao che sulle asse agiscano delle forze, in generale funzione del posto e del tepo. Le forze sono dei vettori che hanno tre coponenti scalari nelle direzioni dei tre assi coordinati ( X s, Y s, Z s ). Supponiao ora di fornire uno spostaento virtuale al sistea, cioè assegniao a ciascun punto ateriale di assa s uno spostaento virtuale s s nella direzione della forza. Il lavoro virtuale copiuto dalle forze esterne sulle asse si può espriere coe soatoria dei prodotti scalari delle forze per gli spostaenti virtuali x z 1 F1 (x 1,y 1,z 1 ) F (x,y,z ) F (x,y,z ) y vettore forza sulla s-esia assa F s ( X s, Y s, Z s ) vettore spostaento virtuale della s-esia assa s s ( x s, y s, z s ) W Fs δss (X s δx s Ysδys Zsδzs) s1 s1 s (x s,y s,z s ) W X Lavoro virtuale espresso in terini di coordinate geoetriche 1δx1 Xδx... Xδx Y1δy1 Yδy... Yδy Z1δz1 Zδz... Zδz Nota: in grassetto si indicano i vettori! Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 43

44 Coe si esprie il Lavoro Virtuale nelle coordinate generalizzate? Supponiao che la posizione di tutti i punti assa del sistea possa essere descritta attraverso un certo nuero n (con n<3) di coordinate generalizzate q i. Esiste ed è noto il legae tra le coordinate geoetriche dei punti del sistea e le coordinate generalizzate, che, coe visto, sarà del tipo: Legai paraetrici xs xs ( q1, q,..., qn, t) ys ys ( q1, q,..., qn, t) s = 1,,..., zs zs ( q1, q,..., qn, t) I differenziali a tepo congelato delle coordinate geoetriche in funzione delle q sono: Differenziali xs xs xs xs q1 q... qn q1 q qn ys ys ys ys q1 q... qn s = 1,,..., q1 q qn zs zs zs zs q1 q... qn q1 q qn Nota bene: essendo differenziali a tepo congelato, non copaiono derivate rispetto al tepo! Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 44

45 Sostituendo nella espressione del lavoro virtuale si ottiene quindi: x1 x1 x1 x x x x x x W X 1 q1 q... q n X q1 q... q n... X q1 q... q n q1 q qn q1 q qn q1 q qn y1 y1 y 1 y y y y y y Y1 q1 q... qn Y q1 q... qn... Y q1 q... qn q1 q qn q1 q qn q1 q qn z1 z1 z 1 z z z z z z Z1 q1 q... qn Z q1 q... qn... Z q1 q... qn q1 q qn q1 q qn q1 q qn In fora copatta si può scrivere: x y z W X q Y q Z q s s s s r s r s r s1,..., r1,.., n qr r1,..., n qr r1,..., n qr E ancora, raggruppando opportunaente i coefficienti delle diverse q r, si può anche scrivere il lavoro virtuale in funzione delle coordinate generalizzate coe: W G 1 q G q G n q n n x x G X X... X q1 q1 q1 y y Y Y... Y 1 1 q1 q1 q1 z z Z Z... Z x y z 1 1 q1 q1 q1 Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 45

46 Riepilogando Lavoro virtuale in terini di coordinate geoetriche W Fs δss (X s δx s Ysδxs Zsδxs) s1 s1 F s s s s ( X, Y, Z ) vettore spostaento virtuale della s-esia assa (3 diensioni) vettore forza sulla s-esia assa (3 diensioni) s s ( x s, y s, z s ) X1δx1... X δx Y1δy1... Yδy Z1δz1... Zδz (3 terini) E siao arrivati ad espriere il Lavoro virtuale in terini di coordinate generalizzate W G 1 q G q G n q n n = G dq (n terini) G=(G 1, G,, G n ) vettore forza generalizzata (n diensioni) q=(q 1, q,, q n ) vettore spostaenti virtuali generalizzati (n diensioni) L espressione del lavoro virtuale è olto più seplice in coordinate generalizzate (n terini anziché 3!) NOTA BENE: Poiché il lavoro virtuale è sepre lo stesso (a prescindere dalle coordinate che usiao per esprierlo) si può sepre eguagliare il lavoro virtuale in coordinate geoetriche con quello in coordinate generalizzate. Ciò consente di ottenere le coponenti G i del vettore FORZA GENERALIZZATA. Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 46

47 Forze generalizzate (forze in terini di coordinate generalizzate) DEFINIZIONE: La forza generalizzata G è quel vettore (a n diensioni) che oltiplicato scalarente per il vettore increento virtuale delle coordinate generalizzate q fornisce il lavoro virtuale copiuto dalle forze esterne F s per gli spostaenti virtuali s s delle asse. W W X1δx1... X δx Y1δy1... Yδy Z1δz1... Zδz s1 G 1 1 G... Le coponenti G i della forza generalizzata vengono spesso chiaate anch esse forze generalizzate. Si può anche dire che le forze generalizzate (scalari) relative a delle forze esterne e a date coordinate generalizzate sono quei coefficienti G r (con r=1,,..,n) per i quali bisogna oltiplicare gli increenti virtuali delle coordinate generalizzate q r per ottenere il lavoro virtuale copiuto dalle forze esterne per degli spostaenti virtuali dati. def G δq Fs δss Lavoro virtuale in coordinate geoetriche = Lavoro virtuale in coordinate generalizzate = G n G q G q G q n Le forze generalizzate dipendono - dalle forze esterne applicate al sistea - dalle coordinate generalizzate q i scelte. Per scrivere le equazioni del oto nelle coordinate generalizzate scelte è indispensabile conoscere le forze generalizzate G r Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 47

48 METODO DIRETTO per il Calcolo delle Forze Generalizzate Lavoro virtuale delle forze esterne = Lavoro virtuale in coordinate generalizzate Coponenti delle forze (note) def W ( X x Y y Z z ) G q Gq G q... G q n s s s s s s r r 1 1 n n s1 r1 Increenti virtuali delle coordinate geoetriche Questi si possono espriere in funzione delle coordinate generalizzate attraverso i legai paraetrici xs xs xs xs q1 q... qn q1 q qn ys ys ys ys q1 q... qn s = 1,,..., q1 q qn zi zs zs zs q1 q... qn q1 q qn Sostituendo si ricavano le forze generalizzate x x G X X... X q1 q1 q1 y y Y Y... Y 1 1 q1 q1 q1 z z Z Z... Z x y z 1 1 q1 q1 q1 Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 48

49 ESEMPIO Consideriao il sistea in Figura, costituito da una assa M collegata con una olla estensibile a non flessibile ad un asta incernierata ad un estreo. Quante coordinate servono per descrivere il oto della assa M? Quanti gradi di libertà ha il sistea? Si tratta di un sistea a due gradi di libertà. Per descriverne il oto possiao scegliere coe coordinate generalizzate il raggio r e l angolo di rotazione q, cioè q 1 =θ ; q =r Gradi di libertà: y y θ k F R r x r P δθ q 1 =r q =q r o lunghezza iniziale k rigidezza olla W X x Y y Relazioni paraetriche: Forze esterne applicate: il peso P e la reazione F R (forza di richiao della olla) Lavoro virtuale copiuto dalle forze esterne (1 sola assa; problea piano: z=0): x def W G r G q 1 Coordinate geoetriche: Coordinate generalizzate scelte: x, y r, q x rsinq y rcosq (r- r o ) allungaento olla coponente scalare forza di richiao della olla F R =-k(r-r o ) Forze generalizzate Quanto valgono? Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 49

50 r x Metodo diretto per il calcolo delle forze generalizzate y θ F R M δθ r P Coponenti delle forze esterne in direzione x : Coponenti delle forze esterne in direzione y : Legae paraetrico F R sinq M x rsinq y rcosq F R cosq P def W X x Y y = G r G q X = - F R sinq Y = P - F R cosq x r cos q q sin q r y r sin q q cos q r 1 Ricordando che: x x x q q 1 q q 1 y y y q q q 1 q 1 s=1, W F q r q q F q P F q r q q P F q q R R R R sin cos sin r ( cos ) sin ( cos )cos r R W ( Pcos q F ) r ( Prsin q) q Nota Bene: G 1 diensioni di una forza G 1 G G diensioni di un oento Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 50

51 1 METODO SEMPLIFICATO per il calcolo delle Forze Generalizzate Nel caso in cui le coordinate generalizzate siano tutte libere e gli increenti virtuali di tali coordinate siano tutti assegnabili in odo indipendente (caso coune in ingegneria civile), allora si ha che siccoe la relazione è valida qualunque sia il sistea di spostaenti virtuali considerato, deve essere valida anche quando alcuni spostaenti sono nulli. Possiao allora calcolare il lavoro virtuale quando sono nulli tutti gli spostaenti generalizzati q r tranne uno. IN PRATICA a) Si ipongono di volta in volta degli spostaenti virtuali tali per cui i q r sono tutti nulli tranne uno b) Si calcola la variazione delle coordinate geoetriche per effetto di tali spostaenti q r (attraverso le relazioni paraetriche) c) Si calcola il lavoro delle forze esterne per queste variazioni virtuali e si ipone l uguaglianza d) Si ottiene così la G k 1 1 W X x Y y Z z G q Gq G q... G q.. G q s s s s s s r r k k n n s1,..., r1,..., n q 0 per r k e q 0 per r k r G k def x, y, z s s s W G q qr 0 k k per rk W q q r 0 per rk Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 51 k r

52 y θ F R APPLICAZIONE del 1 Metodo seplificato per il calcolo delle forze generalizzate r δθ Coponenti della forza: X = - F R sinq r M P x q 1 = r q = θ a) Iponiao che δq 1 = δr =0 e δq = δθ0 b) Calcoliao le variazioni: ; Y = P - F R cosq xrcos q q sin q r y rsin q q cos q r c) Calcoliao il lavoro virtuale in questa condizione: W X x Y y G r G q r0 1 R R W F sin q r cos q q ( P F cos q) rsin q q G r 0 q d) Otteniao la G : G = P r sinq Ripetiao la procedura per δr0 e δθ=0 e otteniao la G 1 : R W Pcos q r F r G 0 1 r G1= Pcosq F q R Stessi valori trovati con il Metodo Diretto (OVVIAMENTE!) NOTA BENE: Se cabiassio le coordinate scelte, trovereo altre forze generalizzate. Per esepio, se scegliessio q 1 =x e q =y trovereo (ovviaente): Coponenti forza generalizzata: G 1 = - F R sinq ; G = P - F R cosq Le forze generalizzate non sepre sono delle forze. Il prodotto G r dq r deve sepre avere le diensioni di un lavoro! Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 5

53 EQUAZIONI DEL MOTO Per studiare il oto di un sistea dinaico occorre scrivere le equazioni del oto nelle coordinate scelte per descriverlo (coordinate generalizzate). Vedreo che per far ciò serve introdurre le quantità : Coordinate generalizzate Gradi di libertà Forze generalizzate Energia Potenziale Forze di inerzia Energia Cinetica Ci servirà richiaare poi: Teorea di Conservazione Energia Meccanica a Legge di Newton Principio di d Alabert Equazioni di Lagrange del oto Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 53

54 Energia Potenziale Se il sistea di forze applicato al sistea aette una funzione lavoro U, che è funzione scalare solo della posizione, cioè U Uˆ ( q1, q, q3,..., q n) ed è tale che il suo differenziale a tepo congelato è uguale al lavoro virtuale copiuto dalle forze applicate al sistea, cioè tale che U=W allora si dice che le forze aettono potenziale e si chiaano FORZE MONOGENE (generate da una sola funzione) In questo caso il lavoro copiuto per passare da un punto A ad un punto B non dipende dal caino percorso a solo dalla posizione iniziale e finale e tale lavoro eguaglia la differenza di potenziale tra i due punti. W A-B = U(B) - U(A) = DU In particolare, si ha che lungo un percorso chiuso il lavoro copiuto è nullo. Si definisce energia potenziale una funzione uguale ed opposta alla U E P = -U Detta DE P la differenza tra l energia potenziale nel punto A e nel punto B si ha che: W A-B = - [E P (B)-E P (A) ] = - DE P e cioè si può dire che il lavoro copiuto dalle forze viene fatto a spese di un energia E P dipendente dalla posizione: l energia potenziale. NOTA BENE Le forze che non aettono la funzione potenziale si dicono FORZE POLIGENE. Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 54

55 METODO SEMPLIFICATO per il calcolo delle Forze Generalizzate (applicabile solo se le forze sono onogene) Se le forze sono onogene si ha (1) U W () (3) perciò vale l uguaglianza: U G q q r r r r1, n r1, n qr Questa uguaglianza consente di ricavare iediataente le coponenti della forza generalizzata nel caso in cui le forze applicate siano onogene: A) SE U Uˆ( q, q, q,..., q, t ) 1 3 ( ) U Gr r 1,,..., n q r U U qr q r1, n r W Grq r1, n questo apice indica che si tratta di forze generalizzate relative a forze onogene POSSIAMO QUINDI DIRE CHE: Nel caso di forze onogene, la r-esia coponente della forza generalizzata si può ottenere derivando la funzione lavoro rispetto alla r-esia coordinata q Se al posto della funzione lavoro si introduce la funzione energia potenziale : Allora si può anche scrivere: n E = E (q,q,...,q,t)= -U(q,q,...,q,t) p p 1 n 1 n def E ( ) p Gr r 1,,..., n q r r NOTA BENE In generale si può diostrare che: B) SE U U ˆ( q, q, q,... q, q, q, q,... q, t ) Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu n ( ) U d U Gr ; r 1,,..., n qr dt qr 55

56 Le forze che aettono potenziale si dicono conservative Esistono casi pratici di notevole interesse in cui le forze sono conservative. Per esepio: Forze gravitazionali Forze elastiche che seguono la legge di Hooke F k u Forze elettriche Nei sistei che studiereo, avreo le forze di richiao elastico che sono conservative. Esepio 1. Il sistea in figura ha 1 gdl (nelle ipotesi di asta rigida assialente e piccoli spostaenti, la assa non può spostarsi verticalente e quindi è sufficiente 1 paraetro per descrivere la posizione della assa in qualunque istante Scegliao coe coordinata generalizzata lo spostaento orizzontale u(t). q(t)=u(t) Sul sistea in figura agisce solo la forza di richiao elastico F R esercitata dal pilastro sulla assa, proporzionale allo spostaento attraverso la rigidezza k F R = -ku coponente scalare lungo x della forza F R =-kui (i = versore asse x) u(t) Sistea ad 1 gdl k rigidezza flessionale pilastro Lavoro virtuale Energia potenziale del sistea W = F R u = -ku u La forza di richiao F R è conservativa? Per rispondere a questa doanda bisogna rispondere alla doanda: Esiste una funzione lavoro U tale che il suo differenziale a tepo congelato sia U=W? Si, esiste ed è questa: 1 U k u 1 EP U k u Nota bene: questa è l energia potenziale se si sceglie coe coordinata generalizzata lo spostaento orizzontale u. Se cabiassio coordinata cabierebbe anche l espressione di E p! L energia potenziale ha le diensioni di un lavoro ed è data dal prodotto, diezzato, di rigidezza (generalizzata) per spostaento (generalizzato). Per sistei a più gradi di libertà il prodotto è atriciale. Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 56

57 Esepio. Energia potenziale di un pendolo (nell ipotesi di asta inestensibile) La forza applicata al sistea è solo la forza peso P, che si può scoporre lungo due direzioni: una ortogonale all asta e una lungo l asta. La coponente ortogonale rappresenta la forza di richiao per la assa, entre la coponente longitudinale non è attiva (l asta è inestensibile quindi questa coponente non può copiere lavoro). Conviene riferirsi alle coordinate geoetriche una lungo l asta e una ortogonale all asta. q(t) q(t) Scegliao coe coordinata generalizzata 1 grado di libertà (1 gdl) gsenq Forza di richiao della assa q s q L P=g Lavoro virtuale della coponente di forza attiva W g senq s s L senq per piccole oscillazioni senq q s Lq s L Esiste una funzione lavoro U tale che U=W? Si! E la seguente: U gl q 1 EP U EP gl q ENERGIA POTENZIALE q Nota bene: Se scegliessio coe coordinata generalizzata lo spostaento s avreo s W gq s g s L relazione paraetrica La rigidezza generalizzata è quella quantità che nell espressione dell energia potenziale oltiplica lo spostaento generalizzato al quadrato (escluso ½) energia potenziale nella coordinata s e quindi la funzione lavoro sarebbe 1 Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu E P g L s rigidezza generalizzata (diensioni forza x lunghezza) U 1 Lavoro virtuale nella coordinata q g L W gq Lq spostaento generalizzato (adiensionale) rigidezza generalizzata (in questo caso è proprio una rigidezza) (diensioni forza / lunghezza) spostaento generalizzato (è proprio uno spostaento) (diensioni di lunghezza) s energia potenziale nella coordinata q 57

58 EQUAZIONI DEL MOTO Per studiare il oto di un sistea dinaico occorre scrivere le equazioni del oto nelle coordinate scelte per descriverlo (coordinate generalizzate). Vedreo che per far ciò serve introdurre le quantità : Coordinate generalizzate Gradi di libertà Forze generalizzate Energia Potenziale Forze di inerzia Energia Cinetica Ci servirà richiaare poi: Teorea di Conservazione Energia Meccanica a Legge di Newton Principio di d Alabert Equazioni di Lagrange del oto Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 58

59 Energia Cinetica di un sistea di asse L energia cinetica di un sistea di asse è data per definizione da: z 1 (x 1,y 1,z 1 ) (x,y,z ) 1 E sv c s 1 s x 3 (x,y,z ) s (x s,y s,z s ) y v s dove la quantità scalare si ottiene eseguendo il quadrato del vettore velocità della i-esia assa. Infatti, si ha che: ( v v v v ) s s s s NOTA BENE: v s =v s (t) In un sistea di riferiento ortogonale cartesiano, fisso con il ondo esterno, la velocità della generica assa ha coponenti (scalari): v s =(x s,y s,z s ) L energia cinetica in coordinate geoetriche si può quindi scrivere anche coe: quantità scalari! NOTA BENE: E c =E c (t) 1 E x y z C s ( s s s ) s1 L energia cinetica è una quantità scalare sepre positiva. Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 59

60 Energia cinetica di una sola assa L energia cinetica di un sistea con una sola assa è data da: EC 1 v dove v è il odulo della velocità dell unica assa. Si può scrivere anche: nello spazio nel piano Se il sistea ha due asse: nello spazio nel piano e così via... 1 EC x y z 1 EC ( x y ) ( ) 1 1 EC 1 ( x1 y1 z1 ) ( x y z ) 1 1 EC 1 ( x1 y1 ) ( x y ) Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 60

61 UNITA DI MISURA DELLA MASSA La assa è una grandezza fisica fondaentale nel S.I. Unità di isura della assa nel S.I. è il chilograo Kg (detto anche chilograo-assa per distinguerlo dal chilograo-peso) [ N] [ s ] 1[ Kg] 1 [ ] Dalla legge di Newton si vede che la assa si può ricavare coe rapporto tra forza e accelerazione. In particolare, la assa di un corpo che ha un dato peso P si ottiene coe rapporto tra peso e accelerazione di gravità. assa Peso acc gravità P g Il chilograo è la assa di un particolare cilindro di altezza e diaetro pari a 0,039 fatto con una lega di platino-iridio e depositato presso l'ufficio Internazionale dei pesi e delle isure a Sèvres, in Francia. NOTA BENE: Se il peso P è espresso in Kg peso e l accelerazione g è espressa in /s, la assa si ottiene in Kg peso s / che non sono Kg assa! E un altra unità di isura (un po spuria) della assa. Si noti anche che poiché 1N ~ 1Kg peso x10 e l accelerazione di gravità g~10/s si ha che NUMERICAMENTE il valore del peso in Kg peso coincide con il valore della assa in Kg assa (Solo nuericaente, perché le unità di isura sono diverse!) ESEMPIO: un uoo che pesa 80 Kg peso ha una assa di 80 Kg assa Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 61

62 Energia Cinetica in coordinate generalizzate 1) Si prendono i legai paraetrici tra le coordinate geoetriche e quelle generalizzate: Legai paraetrici ) Si derivano rispetto al tepo Derivate rispetto al tepo xs xs ( q1, q,..., qn, t) ys ys ( q1, q,..., qn, t) zs zs ( q1, q,..., qn, t) s = 1,,..., xs xs xs xs q1 q... qn q1 q qn ys ys ys ys q1 q... qn q1 q qn zs zs zs zs q1 q... qn q1 q qn s = 1,,..., 3) Si sostituiscono le derivate delle coordinate geoetriche nell espressione dell energia cinetica 1 E x y z C s ( s s s ) s1 Energia cinetica nelle coordinate generalizzate q r (i=1,..,n) E 1 xs xs xs ys ys ys z s zs z 1... s c s n n n s 1 q q 1 q q q q n q q 1 q q q q n q q 1 q q q q n Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 6

63 Energia Cinetica in coordinate generalizzate OSSERVAZIONE L Energia Cinetica in terini di coordinate generalizzate E 1 xs xs xs ys ys ys z s zs z 1... s c s n n n s 1 q q 1 q q q q n q q 1 q q q q n q q 1 q q q q n si può anche scrivere, raccogliendo opportunaente i terini, coe soa di certe quantità che oltiplicano i quadrati delle derivate rispetto al tepo delle coordinate generalizzate (oppure il prodotto delle derivate di due coordinate diverse, che diensionalente è sepre un quadrato di velocità): 1 EC 11 q1 1 q1q 13 q1q 3... q 3 qq3... ij Le quantità non necessariaente sono delle asse (asse generalizzate), così coe la derivata delle coordinate generalizzate non sepre ha le diensioni di velocità (velocità generalizzate). Però il loro prodotto deve sepre avere diensioni di lavoro. NOTA BENE: L energia cinetica ha le unità di isura dell energia (lavoro), cioè forza per lunghezza Infatti si ha che: assa=forza x tepo/lunghezza velocità=lunghezza/tepo assa x velocità = forza x lunghezza (lavoro) L energia cinetica è un espressione quadratica, quindi è una quantità positiva. Quando studiereo i sistei a più gradi di libertà, vedreo che le MASSE GENERALIZZATE possono essere raccolte in una atrice (MATRICE DELLE MASSE GENERALIZZATE O DELLE INERZIE) che si può diostrare essere SIMMETRICA e DEFINITA POSITIVA. ij Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 63

64 Energia Cinetica in coordinate generalizzate FORMA MATRICIALE (sistei a più GDL) 1 EC 11q 1 1 q1q 1 q1q 3... q 3qq3... In fora atriciale si può scrivere coe: Vettore (trasposto) delle velocità generalizzate T q q q q... q xn Matrice delle asse generalizzate (atrice delle inerzie) 1 T E C q q n n n 1 n n x n nn Vettore delle velocità generalizzate q q1 q q3... q n Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 64 nx 1

65 Esepio 1 Energia cinetica di un pendolo (nell ipotesi di asta inestensibile) Il sistea ha 1 grado di libertà e quindi basta 1 coordinata per descriverne il oto. Scegliao coe coordinata generalizzata l angolo q q(t)=qt) O L x q s y l x Energia cinetica in coordinate geoetriche 1 1 EC v ( x y ) Coe si esprie E c in funzione della coordinata generalizzata q(t)? Legai paraetrici Sostituendo si ha Derivate rispetto al tepo x Lcosq y Lsenq x Lsenqq y Lcos qq E cos C x y L q sen q q L q EC 1 L q Energia cinetica nella coordinata generalizzata assa generalizzata La assa generalizzata è quella quantità che oltiplica la velocità generalizzata al quadrato nell espressione dell energia cinetica. In questo caso la assa generalizzata ha diensioni di assa per lunghezza al quadrato (oento di inerzia polare della assa rispetto a O). Questo perché la velocità (generalizzata) è data da un angolo diviso un tepo (velocità angolare). Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu L 65

66 Pendolo seplice (ipotesi di asta inestensibile e di piccole oscillazioni attorno alla posizione verticale) q s L Energia POTENZIALE Rigidezza generalizzata in coordinata s: E p 1 g L g L s in coordinata q : Ep 1 gl q gl in coordinata s: in coordinata q : Energia CINETICA Ec 1 s Ec 1 L q Massa generalizzata L DA NOTARE CHE: - Al variare della coordinata scelta per descrivere il oto cabiano le espressioni di energia potenziale, energia cinetica e anche di assa generalizzata e rigidezza generalizzata del sistea. - Vedreo però che c è una grandezza fisica che non dipende dalla coordinata scelta e che è una caratteristica propria del sistea: il periodo proprio. (SIGNIFICATO FISICO: intervallo di tepo tra due picchi successivi del oto in oscillazione libera non sorzata) T Massa generizzata Rigidezza generalizzata Periodo proprio del pendolo T Il periodo proprio di un pendolo non dipende dalla assa! Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 67 L g

67 EQUAZIONI DEL MOTO Per studiare il oto di un sistea dinaico occorre scrivere le equazioni del oto nelle coordinate scelte per descriverlo (coordinate generalizzate). Vedreo che per far ciò serve introdurre le quantità : Coordinate generalizzate Gradi di libertà Forze generalizzate Energia Potenziale Forze di inerzia Energia Cinetica Ci servirà richiaare poi: Teorea di Conservazione Energia Meccanica a Legge di Newton Principio di d Alabert Equazioni di Lagrange del oto Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 68

68 Teorea di conservazione dell energia eccanica Se le forze applicate al sistea aettono una funzione lavoro U che dipende solo dalle coordinate (e non dipende né dalle derivate né dal tepo) e se il sistea ha solo vincoli fissi, allora si può diostrare che il oto del sistea avviene in odo che la soa dell energia cinetica e dell energia potenziale rianga sepre costante, in qualunque istante: E c +E P = cost = E In questo caso il sistea è detto eccanicaente conservativo. TEOREMA DI CONSERVAZIONE DELL ENERGIA MECCANICA: In un sistea conservativo, la soa dell energia cinetica e dell energia potenziale riane sepre costante durante il oto ed è pari all energia totale E Si osservi che, naturalente, i singoli terini, e cioè l energia cinetica e l energia potenziale, variano durante il oto raggiungendo dei valori assii e poi anche annullandosi. Ma la loro soa riane sepre uguale all energia totale E. Si osservi anche che il sistea è conservativo solo se la funzione lavoro dipende dalle coordinate q i e non dalle derivate prie e dal tepo. Se ciò non fosse il sistea non sarebbe conservativo. Per questo otivo, si può dire che il seplice fatto che le forze siano onogene (cioè che aettano una funzione lavoro) non iplica la conservazione dell energia. Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 69

69 Un esepio classico di conservazione dell energia eccanica è proprio il pendolo (quando oscilla in assenza di agenti dissipativi). gq q Forza di richiao 1 grado di libertà (1 gdl) q(t) q(t) L P=Mg Conservazione Energia Meccanica E C + E P = cost = E 1 1 L q + glq =E q =0 q ax Per θ(t)=0 energia cinetica energia potenziale Per piccole oscillazioni Quando è assio lo spostaento la velocità si annulla e poi cabia segno θ(t)=θax E P = E P(θ ax )= EP- MAX E = E (θ)= 0 C C EC EP 1 L q 1 glq Per θ(t)=0 θ(t)=θax E P= E P(θ)=0 E = E (θ)= E C C C- MAX Quando è nullo lo spostaento la velocità è assia e poi inizia a diinuire E C-ax = E P-ax = cost = E In questo odo si può ricavare E. Per esepio se si conosce lo spostaento ax si conosce E. Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 70

70 EQUAZIONI DEL MOTO Per studiare il oto di un sistea dinaico occorre scrivere le equazioni del oto nelle coordinate scelte per descriverlo (coordinate generalizzate). Vedreo che per far ciò serve introdurre le quantità : Coordinate generalizzate Gradi di libertà Forze generalizzate Energia Potenziale Forze di inerzia Energia Cinetica Ci servirà richiaare poi: Teorea di Conservazione Energia Meccanica a Legge di Newton Principio di d Alabert Equazioni di Lagrange del oto Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 71

71 PRINCIPIO DI D ALAMBERT Un qualunque insiee di forze applicato ad un sistea eccanico in oto è in equilibrio (in ogni istante) ed è in grado di soddisfare le condizioni che sarebbero soddisfatte nel caso statico se si considerano applicate al sistea anche le forze d inerzia. A patto di introdurre anche le forze di inerzia, è possibile effettuare l equilibrio delle forze anche per sistei eccanici in oto Jean Baptiste D Alabert Parigi Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 7

72 Forze di inerzia Per definizione, la forza d inerzia agente su un punto ateriale di assa s è il prodotto tra la assa s e l accelerazione del punto considerato cabiata di segno: relazione vettoriale i j k I F a x i y j z k s dove sono rispettivaente i versori degli assi coordinati x, y e z. Attraverso le relazioni paraetriche che legano le coordinate geoetriche e le coordinate generalizzate, possiao scrivere anche l espressione delle forze di inerzia in coordinate generalizzate. s s s s s s Osserviao che per scrivere le equazioni del oto in genere si utilizzano le coponenti scalari di tali forze lungo le direzioni del oto. Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 73

73 Le forze di inerzia (GENERALIZZATE) di un sistea eccanico descritto da n coordinate generalizzate q r (r=1,,...,n) si possono scrivere in fora atriciale coe segue: F I Forze di inerzia in coordinate generalizzate FORMA MATRICIALE (sistei a più GDL) vettore delle forze di inerzia F F... F I 1 nx I I n 1 I G = -q atrice delle asse generalizzate (atrice delle inerzie) n n 1 n n x n n n vettore delle accelerazioni In coordinate generalizzate q q1 q q3... q n Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 74 nx 1

74 Esepio - DETERMINARE LA FORZA DI INERZIA PER IL PENDOLO Il sistea ha 1 grado di libertà. La coordinata generalizzata scelta è l angolo q che l asta fora con l asse verticale y. j q L i x Forza di inerzia in coordinate geoetriche Legai paraetrici Velocità I F a xi yj x L senq y Lcosq x Lcos qq y Lsenqq y Accelerazioni x Lsenq q L cos q q y Lcos q q Lsen q q Forza d inerzia in coordinate generalizzate q q cos q q cos q q q q F I L sen i sen j espressione vettoriale Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 75

75 EQUAZIONI DEL MOTO Per studiare il oto di un sistea dinaico occorre scrivere le equazioni del oto nelle coordinate scelte per descriverlo (coordinate generalizzate). Vedreo che per far ciò serve introdurre le quantità : Coordinate generalizzate Gradi di libertà Forze generalizzate Energia Potenziale Forze di inerzia Energia Cinetica Ci servirà richiaare poi: Teorea di Conservazione Energia Meccanica a Legge di Newton Principio di d Alabert Equazioni di Lagrange del oto Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 77

76 a Legge (o Principio) di Newton F = M a relazione vettoriale In ogni istante, la risultante di tutte le forze attive agenti su una assa in oto è pari al prodotto della assa per la sua accelerazione. Sir Isaac Newton Inghilterra NOTA BENE: c è una equivalenza tra Principio di D Alabert e a legge di Newton Corso di Dinaica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu 78

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