Aritmetica. Divisibilità e numeri primi

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1 Aritmetica Indicheremo con N l insieme dei numeri naturali 0, 1, 2,... e con Z l insieme dei numeri interi..., 2, 1, 0, 1, 2,.... Divisibilità e numeri primi Def 1 Dati due numeri interi a, b, diciamo che a divide b e scriviamo a b se esiste un numero interno k tale che a = kb Un osservazione assai banale ma anche assai importante è che questa proprietà non è simmetrica : se a b e b a allora a = ±b. Il concetto di divisibilità porta con sé l idea di numero primo. Def 2 Un numero intero p si dice primo se a p a = ±1 o a = ±p. Di solito si considerano solo i numeri primi positivi, ma è una pura convenzione. I numeri primi sono caratterizzati anche da un altra proprietà (che è poi effettivamente la proprietà dell essere primi... la precedente viene di solito chiamata irriducibilità). Prop 1 Un numero p è primo se e solo se, ogni volta che p ab, si ha che p a o p b. Dim : Se p è primo e p ab, p deve comparire nella fattorizzazione in primi di ab che è formata dall unione delle fattorizzazioni in primi di a e di b e quindi deve comparire in una di queste due. Di converso, se p ha la proprietà detta, in particolare p p e se p = qr (con 1 q, r p), allora p q o p r, ma dunque r = p oppure q = p, ovvero p può avere come fattori solo 1 e se stesso. Una proprietà importante e utile dei numeri naturali è la seguente (detta proprietà dell elemento minimo) : Ogni sottoinsieme non vuoto A N ha un elemento minimo Una conseguenza di questo fatto è la seguente. Prop 2 Per ogni coppia di numeri naturali non nulli m, n esistono e sono unici due numeri naturali q, r tali che n = qm + r e 0 r < m. Dim : Consideriamo l insieme X = {n xm x Z} N; esso è non vuoto e avrà un elemento minimo r. Tale r è positivo e minore di m : sia infatti q tale che r = n mq, allora se r m, r m 0 e r m = n (q + 1)m sta in X, quindi r non è più il minimo, ma questo è assurdo e dunque r < m. L unicità è ovvia. Q.E.D L operazione che trova q, r dati m, n si dice divisione euclidea e ha come immediata applicazione una tecnica di calcolo per il massimo comun divisore tra due numeri. 1

2 Def 3 Dati m, n in Z, definiamo massimo comun divisore di m, n e scriviamo MCD(m, n) o semplicemente (m, n), quel numero naturale d tale che : 1. d!m e d n 2. se a m e a n, allora a d Oss : Il massimo comun divisore, se esiste, è unico. Per calcolare il MCD tra due numeri esiste per l appunto un algoritmo, detto delle divisioni successive e basato sulla divisione euclidea : 1. Si divida m per n (supponiamo m > n) e si scriva m = nq 1 +r 1, con r 1 < m. 2. Si divida n per r 1 e si scriva n = r 1 q 2 + r 2 con r 2 < r 1. k. Si proceda fino a quando non ci si trova con resto nullo : r k 2 = r k 1 q k (con r k = 0). Si arriva a questo punto perchè i resti sono sempre più piccoli e tutti interi positivi. A questo punto, d = r k 1 è MCD tra m e n. Infatti, dalla k-esima divisione si ricava che r k 1 divide r k 2 e si risale così fino a trovare che d divide m e n; del resto, se a dividesse entrambi i numeri, dividerebbe anche r 1, quindi anche r 2 e via così, fino a dimostrare che a d. Esempio : Calcoliamo (1024, 323) = = = = = = Quindi (1024, 323) = 1, l ultimo resto non nullo. I numeri in grassetto sono quelli coinvolti nell algoritmo, quelli in carattere normale sono i quozienti, che non vengono trasportati da un passaggio all altro. Es : MCD(m, n) è il prodotto di tutti i fattori primi comuni a m e n, ciascuno preso con l esponente più basso con cui si presenta. Es : Il minimo comune multiplo (mcm(m, n) o [m, n]) è un numero f tale che m f, n f e se esiste a t.c. m a e n a, allora f a. Tale numero è unico e vale [m, n] = mn (m, n). Equazioni Diofantee Lineari Un equazione diofantea è un equazione a coefficienti interi di cui si cercano soluzioni intere. Una diofantea lineare è un equazione della forma ax + by = c con a, b, c in Z. 2

3 Prop 3 (Teorema di Bezout) Se due numeri interi m, n hanno (m, n) = d, allora esistono due numeri interi a, b tali che am + bn = d. Dim : Consideriamo l insieme A = {am + bn a, b Z} (N \ {0}); esso non è vuoto e quindi ha un elemento minimo. Chiamiamo d questo elemento e sia d = a 0 m + b 0 n. Ora, di certo se c m e c n, allora c d = a 0 n+b 0 m. Del resto, sia m = d q+r, allora m = (a 0 m+b 0 n)q +r, da cui m(1 a 0 q)+( b 0 q)n = r con 0 r < d ; se dunque fosse r > 0, si avrebbe r A e r < d, ma questo è impossibilie perchè d è il minimo e dunque r = 0; quindi d m. Similmente si prova che d n. Quindi d = (m, n) = d e dunque esistono a = a 0, b = b 0 t.c. am + bn = d. Oss : I due numeri a, b possono essere direttamente computati tramite il procedimento delle divisioni successive svolto a ritroso. Esempio : Cerchiamo di risolvere 1024x + 323y = 1, usando il calcolo del MCD già fatto. Dal punto 5, ricaviamo 1 = 7 6 1; ora, ricaviamo 6 dal punto 4 ed otteniamo 6 = e dunque 1 = = Dal punto 3 otteniamo 7 = 55 48, ovvero 1 = Dal punto 2 otteniamo 48 = e quindi 1 = Infine, dal punto 1 si ha 55 = e Dunque x = 47, y = = Una importante applicazione di questa proposizione è la seguente. Prop 4 L equazione diofantea lineare ax+by = c ha soluzioni (intere) se e solo se (a, b) c. Dim : Infatti, se c = dk con d = (a, b), allora sappiamo che esistono x 0, y 0 t.c. ax 0 + by 0 = d; dunque, chiamando x = kx 0 e y = ky 0 otteniamo che ax + by = k(ax 0 + by 0 ) = kd = c. Ultima cosa importante è la seguente osservazione : le soluzioni di ax+by = 0 sono tutte e sole quelle della forma (x, y) = (kb, ka) al variare di k Z; dunque, data una equazione ax + by = c e una sua soluzione particolare (x, y), allora tutte le coppie della forma (x + kb, y ka) con k Z sono soluzioni e non ve ne sono altre. 3

4 Congruenze Def 4 Due interi a, b si dicono congrui modulo m se m a b, ovvero se esiste k Z tale che a = b + km. Si scrive in tal caso a b mod m o a b La congruenza modulo m è una relazione di equivalenza, ovvero si comporta come l uguaglianza; tramite la conrguenza modulo m si dividono gli interi in m classi, in cui tutti gli elementi sono congrui tra di loro e solo tra di loro, dette classi di congruenza modulo m o classi di resto modulo m, in quanto due numeri sono congrui modulo m se e solo se danno lo stesso resto nella divisione per m. Prop 5 Se a b e c d allora : a + b c + d a b c d ab cd Dim : Per ipotesi a = b + km e c = d + hm; quindi a + c = (b + km) + (d + hm) = (b + d) + (h + k)m a c = (b + km) (d + hm) = (b d) + (h k)m ac = (b+km)(d+hm) = bd+dkm+bhm+hkm 2 = bd+m(dk+hb+hkm) Oss : Per le divisioni non funziona sempre : 21 9 (12) e di certo 3 3 (12), ma 7 3 (12). Del resto, (7) e 12 5 (7). Per la divisione vi sono alcune regole che raccogliamo nella seguente Prop 6 Sia a b ; se a = da, b = db e (d, m) = 1, allora a b se a = da, b = db e m = dm, allora a b (m ) ( ) in generale, se a = da, b = db, a b m. (m,d) Dim : Se (d, m) = 1, allora esistono x, y t.c. dx + my = 1, ovvero esiste x t.c. xd 1. Quindi se moltiplico a b per x ottengo ax bx ovvero a dx b dx, ovvero a b. Se invece d m, per ipotesi a = b+mk, quindi posso raccogliere e semplificare d, ottenendo a = b + m k. Per il terzo punto, basta applicare il secondo dividendo per (d, m) e poi il primo, ora che (d, m ) = 1. Cor : Dunque, dato un numero d coprimo con il modulo m, esiste sempre un intero x tale che dx 1, ovvero esiste, in un certo senso, 1 d mod m. 4

5 Oss : Anche con le congruenze si possono scrivere delle equazioni : ax b. Ebbene, trovare le soluzioni a questa equazione è come richiedere le soluzioni alla diofantea ax my = b e dunque ne esistono se e solo se (a, m) b. Infatti, se (a, m) b, possiamo porre d = (a, m), a = da, b = db, m = dm e quindi ridurci, dividendo per d a cercare una x che soddisfi a x b (m ), dove stavolta (a, m ) = 1; ma allora, come detto nel corollario, esiste l inverso di a modulo m, chiamiamolo h. Dunque posso moltiplicare per h i due membri e ottenere ha x hb (m ), ovvero x hb (m ). Questo metodo è equivalente al precedente, in quanto bisogna comunque trovare l inverso di a modulo m che equivale a risolvere ax my = b. Sistemi di congruenze Supponiamo di avere due congruenze lineari rispetto a due moduli distinti : x a x b (n) Per trovare un x che soddisfa entrambe potremmo procedere come segue. Dalla prima esplicitiamo x = a+km e sostituiamo nella seconda : a+km b (n), ovvero km b a (n), che ha soluzioni se e solo se (m, n) b a. Le soluzioni in k, h di km hn = b a saranno del tipo k = x 0 + tn, h = y 0 + tm e dunque, sostituendo, x = a +km = a +mx 0 +tmn; quindi ricaviamo anche che le soluzioni al sistema sono le stesse soluzioni di x c (mn) con c = a+mx 0 = b + ny 0. Quindi, in particolare, se (m, n) = 1, si hanno sempre soluzioni al sistema { x a mod m x b mod n ed anzi, se per l appunto (m, n) = 1, tale sistema è equivalente (ha le stesse soluzioni) ad una sola congruenza x c (mn). Grazie a quanto detto nella precedente sezione, possiamo ridurre sempre le singole congruenze nella forma x a e poi metterle a sistema e usare quanto appena detto. E possibile generalizzare questo procedimento con un numero arbitrario di equazioni, applicando quanto detto un passo alla volta, per sostituire una coppia di equazioni con una sola, ma bisogna verificare ogni volta le condizioni sui massimi comun divisori dei moduli. La formalizzazione di questo procedimento si chiama teorema cinese del resto. Il piccolo teorema di Fermat Prop 7 Sia p un numero primo, allora, per ogni intero a, vale a p a mod p 5

6 Dim : Se p a, la tesi è ovvia, quindi supponiamo che (a, p) = 1. Consideriamo l insieme di p 1 numeri a, 2a, 3a,...,(p 1)a, ognuno di essi è congruente ad uno dei numeri 1, 2, 3,..., p 1 (non necessariamente in quest ordine); allora a 2a 3a... (p 1)a (p 1) (p) e poichè p (p 1)!, possiamo moltiplicare per l inverso di (p 1)! modulo p e ottenere a p 1 1 (p), che è la tesi. Questo risultato può essere interpretato dicendo che le potenze successive di un qualunque numero a modulo un primo p si ripetono di certo dopo p 1 passi; il fatto che le potenze si ripetano è vero anche modulo un numero generico. Infatti, ci sono solo m classi resto modulo m, quindi per il principio dei cassetti, prima o poi ci saranno h, k tali che a h a k ; da quel punto in poi le potenze continueranno a ripetersi come un ciclo Il teorema appena dimostrato ci assicura che modulo un primo il ciclo non ha un antiperiodo, ovvero ad un certo punto troviamo h tale che a h 1 (p). Se il numero non è primo non è detto che accada : mod mod mod mod mod Le potenze di 2 modulo 12 hanno un antiperiodo fatto di 1, 2 e poi continuano a ripetere 4, 8 a seconda della parità dell esponente. Altra cosa interessante è la lunghezza del ciclo : anche per un modulo primo, il teorema di fermat ci dice che al più ritroviamo 1 dopo p 1 passi, ma non ci garantisce che non lo troviamo prima; ad esempio, le potenze di 2 modulo 7 sono 1, 2, 4, 1, 2, 4, 1,... e quindi è vero che (7), ma è vero anche che mod (7). Def 5 Sia p un numero primo e a un intero con (a, p) = 1; si dice ordine di a modulo p il più piccolo intero positivo h tale che a h 1 (p) e si indica con ord p (a). L ordine di a modulo p è, in altre parole, la lunghezza del ciclo delle potenze di a modulo p e dunque si avrà che a h a k (p) se e solo se h k (ord p (a)). Prop 8 Per ogni primo p e intero a coprimo con p si ha che ord p (a) (p 1). Dim : Sia h = ord p (a); allora p 1 = hq + r con 0 r < h e dunque a p 1 = a hq a r = a r ( a h) q 6

7 ma per ipotesi a h 1 (p) e per Fermat a p 1 1 (p), quindi 1 a r (p), da cui r = 0 (altrimenti h non sarebbe più il minimo esponente tale che a h 1 (p)). Quindi h (p 1). Questo ci dice che i cicli delle potenze modulo p hanno lunghezze che dividono p 1; domande interessanti (e difficili!) sono le seguenti : esiste sempre un intero che abbia ciclo di potenze lungo esattamente p 1? esiste per ogni divisore d di p 1 un intero che abbia ciclo di potenze lungo d? Infine, si possono generalizzare questi risultati ad un modulo non primo? 7