Misure Ripetute ed Indipendenti

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1 Msure Rpetute ed Indpendent Una delle metodologe pù semplc per valutare l affdabltà d una msura consste nel rpeterla dverse volte, nelle medesme condzon, ed esamnare dvers valor ottenut. Ovvamente, una volta stmato n qualche modo l errore, m aspetto d ottenere msure sempre dverse numercamente ma dentche entro l ncertezza della msura stessa. Esempo: Se la prma msura ha dato come rsultato L = 1.34 m con ncertezza m m aspetto che la grande maggoranza delle msure cada nell ntervallo Perché solo la grande maggoranza e non tutte? Perché al momento non so stmare la probabltà che una msura d una grandezza fsca cada al d fuor della ncertezza (saranno concett d devazone standard n una gaussana o d lmte d confdenza per le altre dstrbuzon statstche a darm questo valore) Dalla dspersone delle msure è possble però avere un dea dell enttà dell errore casuale. on s avrà tuttava pero alcuna nformazone sulla presenza o meno d errore sstematco.

2 Attenzone: E necessaro essere assolutamente scur che la grandezza da msurare sa esattamente la medesma (questo sgnfca msure rpetute nelle stesse condzon) ogn volta che s effettua la msura. Inoltre l rsultato d una msura non deve nfluenzare la msura successva (questo sgnfca Indpendent): Possono cambare le condzon al contorno (lo vedremo con l pendolo) Il sstema può evolvere Se pesamo un bcchere d acqua n ebollzone ogn msura sarà dfferente (mnore) della precedente pochè un po d acqua sarà evaporata. Le msure non sono ndpendent.

3 In questa prma parte supporremo vere le seguent potes Ipotes-1: Le condzon spermental non devono varare lungo l arco d tempo n cu s effettuano le msure (Indpendenza e Rpetbltà) Ipotes-: on sono present error sstematc Date msure d una data osservable fsca ( 1,,... ) e supposte valde le potes 1 e allora la mglore stma del valore dell osservable da msurare potrebbe essere data dalla meda artmetca delle sngole msure: best lm Meda Camponara Meda della popolazone otate la notazone dfferente ( e best o <>) In seguto, una volta defnte le dstrbuzon e sotto opportune potes (ecco l perche del condzonale nella defnzone), sarà possble dmostrare queste affermazon n manera pù rgorosa.

4 Esempo Msuramo ad esempo la massa d un oggetto Eseguo 1 msure della stessa quanttà. Ottengo 1 numer dfferent. Meda = mg Ma =.01 mg Mn = 0.60 mg Posso costrure un grafco che ha come ascssa l valore della msura (n ntervall) e sull ordnata la frequenza assoluta o l numero d volte n cu ho ottenuto tale msura.

5 Per costrure un stogramma bsogna: 1. Trovare la msura con valore massmo ma e la msura con valore mnmo mn e l ntervallo D tra quest due valor detto range della dstrbuzone el nostro caso: ma =.01 mg, mn = 0.6 g D = 1.41 mg. Dvdere l ntervallo D n un numero convenente d sottontervall o class d ampezza D ella maggoranza delle class dovrebbero cadere almeno 3-5 msure on necessaramente tutte le class devono avere la stessa ampezza D anche se sarebbe meglo che lo fosse Per evtare che una msura concda con l confne tra due class esprmente confn della classe con una cfra sgnfcatve n pù rspetto a quello delle msure on tutte queste condzon potrebbero essere soddsfatte contemporaneamente A volte c sono troppo poche msure per fare un stogramma el caso d = 0.5 mg - ved plot successvo el caso d = 0.05 mg - ved plot tra due pagne 3. Costrure una Tabella/Grafco con l numero d msure che cadono n cascun sottontervallo

6 Classe troppo larga (0.5 mg) Classe troppo stretta (0.05 mg) otate la notazone con cu scrvo l asse delle Y n cu s scrve esplctamente la classe usata Con un passo troppo largo quas tutte le msure cadranno n uno o due ntervall, con un Passo troppo stretto ogn ntervallo conterrà al pù una sola msura

7 Esempo d stogramma Confne d Classe Centro Classe Assoluta

8 Esempo d stogramma Confne d Classe Centro Classe Assoluta

9 Esempo d plot d dat Esempo d stogramma otare che l untà d msura è sull asse delle Y otare che l untà d msura è sull asse delle X I due plot rappresentano la stessa cosa ma sono totalmente dvers e hanno un sgnfcato totalmente dfferente

10 Attenzone Msure Spermental E una lsta d msure della stessa quanttà Ogn valore ha un untà d msura Meda best 1... Meda = g mg

11 Attenzone E una lsta del numero d msure della lsta precedente che cadono all nterno d un determnato ntervallo o classe (p.es g) Confne d Classe Centro Classe Ogn Classe ha una untà d msura Meda Assoluta best M 1 M 1 n n M = umero Class = numero d msure S n = Meda = g mg

12 Attenzone Msure Spermental Dstrbuzone Assocata Confne d Classe Centro Classe Assoluta

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14 Immagnate tre cas general: Stma dell ncertezza casuale 1) S usa uno strumento nadatto, coè uno strumento con una sensbltà bassa rspetto all errore casuale E nutle fare tante msure (darebbero tutte lo stesso rsultato) S ha un errore d sensbltà par alla sensbltà dello strumento defnto come la pù pccola frazone d untà msura che lo strumento è n grado d msurare (un rghello ad esempo avrà una sensbltà compresa tra 0.5 e 0.5 mm)

15 Stma dell ncertezza casuale ) S usa uno strumento adatto, coè uno strumento con una sensbltà buona rspetto a quella rchesta dalla msura ma è possble fare solo poche msure - La statstca fornsce strument per dare una stma dell ncertezza (ad esempo la t d student ) - Una sovrastma grossolana per l ncertezza è quella d usare la semdspersone massma defnta come la metà tra la dfferenza tra l valore massmo e mnmo della msura D X ma X mn

16 Stma dell ncertezza casuale 3) S usa uno strumento adatto, coè uno strumento con una sensbltà buona rspetto a quella rchesta dalla msura ed è possble fare un buon numero d msure (> 10-30) - la semdspersone massma non può essere usata come stma dell ncertezza poché è una sua sovrastma. - E necessaro trovare una osservable n grado d quantfcare n manera corretta questa ncertezza. - La dfferenza dal caso precedente è che, n questo caso, s ha a dsposzone un elevato numero d msure e qund questo permette una pù accurata valutazone (magar con delle potes) della ncertezza delle msure.

17 Caso 3 Ipotzzamo vere le seguent due potes Ipotes-1: Le condzon spermental non devono varare lungo l arco d tempo n cu s effettuano le msure (Indpendenza e Rpetbltà) Ipotes-: on sono present error sstematc Date msure d una data osservable fsca ( 1,,... ) e supposte valde le potes 1 e allora la mglore stma del valore dell osservable da msurare potrebbe essere data dalla meda artmetca delle sngole msure: best lm lm 1 Altre possbl stme del valore vero potrebbero essere la MODA o la MEDIAA

18 Date msure d una data osservable fsca ( 1,,... ) e supposte valde le potes 1 e allora la mglore stma della ncertezza meda delle msure è data dalla devazone standard defnta come: Come nel caso del valore vero che s stma con l valore medo, può essere utle defnre la devazone standard d un campone e quella d popolazone. Se s hanno a dsposzone poche msure e se s usasse la formula della devazone standard d popolazone (usando l valore medo) n generale s ha una sottostma del valore vero d s. otate come n un caso s usa l smbolo s e nell altro l smbolo s 1 1 ) ( ) (... ) ( ) ( s 1 ) ( 1 ) (... ) ( ) ( 1 1 s Devazone standard del campone Devazone standard d popolazone mostramo la defnzone d devazone standard

19 Contegg / 0.05g Meda s s FWHM La devazone standard è un ndcatore della larghezza della dstrbuzone ota la dfferenza tra s e s Per una Dstrbuzone Gaussana FWHM =.35 s

20 Denstà d frequenza o Denstà d probabltà ell esempo: umero Msure = 100 umero Class = 7 D = ntervallo classe = 0.05 Confne d classe (0.5; 0.55), (0.55; 0.6), Centro Classe 0.55, 0.575, uova Osservable: Denstà d frequenza o Denstà d probabltà (per n che tende a nfnto) numero d msure che cadono nell ntervallo ( k -D/; k +D/) dvso per l numero d msure totale Denstà d frequenza = f ( k ) n k msuretotal 1 D Ovvamente deve succedere che: Area Area dell ' stogramma dell ' stogramma umeroclass k1 umeroclass k1 f ( k ) D n k msuretotal 1 D 1 D

21 100 Msure 50 Msure 1000 Msure 4000 Msure Aumentando l numero d msure può cambare l stogramma ma non camba l proflo della dstrbuzone ne le sue caratterstche ntrnseche. E possble però determnare con pu precsone la forma della dstrbuzone ell potes d fare un numero nfnto d msure ed n assenza d errore sstematco la dstrbuzone fnale è detta dstrbuzone lmte e l valor medo della dstrbuzone statstca concde con l valore vero della osservable