Richiami di modelli di utilità aleatoria

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1 Corso d LOGISTICA TERRITORIALE DOCENTE prof. ng. Agostno Nuzzolo Rcham d modell d utltà aleatora prof. ng. Agostno Nuzzolo - Corso d Logstca Terrtorale

2 Modell d domanda e utltà aleatora Spostamento: rsultato d numerose scelte compute dagl utent del servzo d trasporto. Modell d domanda: tentano d rprodurre comportament d scelta d trasporto degl utent (modell comportamental). Modell d utltà aleatora, o casuale: paradgma teorco pù rcco e d gran lunga pù utlzzato per smulare le scelte d trasporto tra modell comportamental prof. ng. Agostno Nuzzolo - Corso d Logstca Terrtorale

3 Modell d utltà aleatora Ipotes general I modell d utltà aleatora (o casuale) s basano sulla potes che ogn utente sa un decsore razonale ovvero un massmzzatore dell utltà relatva alle propre scelte: a) Il generco utente nell effettuare la scelta consdera tutte le m alternatve dsponbl che costtuscono l suo nseme d scelta I. L nseme d scelta può essere dfferente per utent dvers. b) Il decsore assoca a cascuna alternatva del suo nseme d scelta una utltà o attrattvtà percepta U e scegle l alternatva che massmzza tale utltà. prof. ng. Agostno Nuzzolo - Corso d Logstca Terrtorale 3

4 Modell d utltà aleatora Ipotes general c) L utltà assocata a cascuna alternatva d scelta dpende da una sere d caratterstche msurabl o attrbut propr dell alternatva stessa e del decsore U U (X ) con: X vettore degl attrbut relatv all alternatva e al decsore. d) L utltà assocata dal generco decsore all alternatva non è nota con certezza all osservatore esterno (analsta), e pertanto è rappresentata con una varable aleatora. prof. ng. Agostno Nuzzolo - Corso d Logstca Terrtorale 4

5 Modello d scelta probablstco posto: s ha: p ( ) [ ] I PrU > U, I U + ε I [ ] [ ] σ ar U E U ( ) ( ) 0 E ar, I ( ) 0 E ε ar ( ε ) σ, p [ ] [ ] / I Pr > ε ε, I prof. ng. Agostno Nuzzolo - Corso d Logstca Terrtorale 5

6 Espressone dell utltà sstematca L utltà sstematca rappresenta la meda dell utltà percepta fra tutt gl ndvdu che hanno gl stess valor degl attrbut. È espressa come funzone d attrbut relatv alle alternatve e al decsore: con ndce del generco attrbuto. ( X ) In genere per ragon d convenenza analtca s assume che la utltà sstematca sa una funzone lneare ne coeffcent β K degl attrbut o d loro trasformazon funzonal: ( ) T X βx β X prof. ng. Agostno Nuzzolo - Corso d Logstca Terrtorale 6

7 Esempo U O varable aleatora per: - varazone de gust fra gl utent - attrbut ncomplet - errore valutazone attrbut - varazone de gust dell utente ( ) X t, C β X parametr (+ -) D U U U U + ε + ε attrbut o loro trasformazon funzonal U X ( ) ε ( ) X + ε I utltà sstematca meda della varable aleatora utltà per tutt gl utent con ugual attrbut resduo aleatoro β t + β ln ( C) con: t tempo d percorrenza relatvo alla coppa O/D C costo generalzzato relatvo alla coppa O/D prof. ng. Agostno Nuzzolo - Corso d Logstca Terrtorale 7

8 Classfcazone degl attrbut (/3) Attrbut d lvello d servzo attrbut propr del sstema d trasporto (es. temp, cost, frequenza de servz, comfort etc.) Attrbut del sstema d attvtà attrbut dpendent dall uso del terrtoro dell area d studo (es. numero d negoz o numero d scuole d una zona) Attrbut soco-economc attrbut propr dell utente o del suo nucleo famlare (es. possesso d patente, numero d autovetture possedute n famgla etc.) prof. ng. Agostno Nuzzolo - Corso d Logstca Terrtorale 8

9 Classfcazone degl attrbut (/3) Attrbut generc attrbut che compaono con stessa forma funzonale e stesso coeffcente n pù d una alternatva Attrbut specfc attrbut che compaono con forme funzonal e/o coeffcent dvers n dverse alternatve Attrbuto Specfco dell Alternatva (ASA) varable ombra che vale per l alternatva e zero per le altre (dfferenza fra l utltà meda e quella spegata dagl altr attrbut utlzzat). prof. ng. Agostno Nuzzolo - Corso d Logstca Terrtorale 9

10 Classfcazone degl attrbut (3/3) arabl ombra (0/): attrbut che ndcano la presenza o meno d un fattore (es. ASA) arabl numerche: attrbut che ndcano la quanttà d un fattore. p auto bus β t p β t pa + β t ba + β 3 c a + β 4 DISP + β 5 REDD + β 6 AUTO β t pb + β t bb + β 3 c b + β 7 t wb + β 8 BUS Attrbut specfc della alternatva (ASA) AUTO BUS Attrbut d Lvello d Servzo t b tempo a bordo (generco) t w tempo d attesa alla fermata (specfco) t p tempo a ped (generco) c costo monetaro (generco) Attrbut Soco-Economc DISP n auto/n patentat REDD se reddto>60 Ml 0 altrment prof. ng. Agostno Nuzzolo - Corso d Logstca Terrtorale 0

11 Cause d aleatoretà dell utltà percepta (/) Attrbut omess varabl non osservabl drettamente, d dffcle valutazone o comunque non ncluse nel vettore d attrbut Error d msura degl attrbut consderat nella funzone d utltà sstematca (es. attrbut d lvello d servzo rcavat con un modello d rete). Presenza d attrbut strumental coè varabl che sosttuscono gl attrbut che effettvamente nfluenzano la utltà percepta delle alternatve prof. ng. Agostno Nuzzolo - Corso d Logstca Terrtorale

12 Cause d aleatoretà dell utltà percepta (/) arazon d gust o d preferenze fra decsor (es. dstanza da percorrere a ped) e, per lo stesso decsore, nel tempo a causa del verfcars d dverse condzon fsche o pscologche. Error nelle valutazone degl attrbut da parte del decsore (es. valutazon errate del tempo d vaggo). prof. ng. Agostno Nuzzolo - Corso d Logstca Terrtorale

13 Modell addtv (/) Un modello d utltà aleatora è addtvo, se la funzone d denstà d probabltà de resdu aleator non dpende dal vettore dalle utltà sstematche: f m ( ε / ) f ( ε ) ε E I modell della famgla Logt (Multnomale, Gerarchzzato) o Probt sono addtv se parametr della f(ε) coè dvers α o gl element della matrce varanza covaranza Σ, rspettvamente, non dpendono dal vettore. prof. ng. Agostno Nuzzolo - Corso d Logstca Terrtorale 3

14 4 prof. ng. Agostno Nuzzolo - Corso d Logstca Terrtorale prof. ng. Agostno Nuzzolo - Corso d Logstca Terrtorale prof. ng. Agostno Nuzzolo - Corso d Logstca Terrtorale Modell addtv (/) Propretà de modell addtv Invaranza rspetto all aggunta d costant [ ] [ ] I, Pr I / p > ε ε ' + [ ] [ ] ( ) ( ) [ ] [ ] I, prob prob ' prob ' I / p > > + + > ε ε ε ε ε ε

15 Il modello Logt (/) Ipotes: resdu aleator Indpendentemente ed Identcamente Dstrbut (I.I.D) secondo una varable aleatora (v.a.) d Gumbel con meda nulla e parametro α : F ε [ exp( αx )] ( x) Prob( ε x) exp Φ con φ : costante d Eulero (φ 0,577). π E ( ε ) 0 ar ( ε ) σ ε 6α Cov( ε, ε ) 0, h I h F U [ + ε U ] Pr[ ε U ] exp[ exp( α( U ) )] ( U ) Pr Φ E( U ) prof. ng. Agostno Nuzzolo - Corso d Logstca Terrtorale ar( U ) π 6α 5

16 Il modello Logt (/) A B C D o π ε 6α A B C D 0 A 0 B 0 C D p( ) m exp h exp ( α ) ( α ) h prof. ng. Agostno Nuzzolo - Corso d Logstca Terrtorale 6

17 Esemp d funzon d denstà d probabltà d Gumbel prof. ng. Agostno Nuzzolo - Corso d Logstca Terrtorale 7

18 Esempo Modello Logt Multnomale (/) p( ) m h exp exp ( α ) ( α ) h p( ) m exp α exp α h β β h A O B D v A 30 m/h v B 5 m/h d 0 m Scelta del percorso: I { A, B} prof. ng. Agostno Nuzzolo - Corso d Logstca Terrtorale 8

19 Esempo Modello Logt Multnomale (/) O B A D v A 30 m/h v B 5 m/h d 0 m { } I temp espress n mnut e cost n Euro. c exp α( 0, ta,93 CA) pa ( ) exp α( 0, ta,93 CA) + exp α( 0, tb,93 CB) p(b) p(a) prof. ng. Agostno Nuzzolo - Corso d Logstca Terrtorale I β t { A, B} βtt + βcc 0. I AB, β t +βc β 0, t c t t A 0 C A,86 A -5,6 t B 40 C B 0,3 B -4,6 α, 0 α 0, α,0 p A 0,7 0,48 0, p B 0,73 0,5 0,88 β,93 9