Variabili Casuali Discrete e Distribuzione di Probabilità

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1 Variabili Casuali Discrete e Distribuzione di Probabilità Un esperimento ha solitamente molti risultati possibili ed è impossibile sapere a priori quale di questi risultati apparirà al termine dell esperimento stesso 1. Nell ipotesi che l esito dell esperimento serva a prendere una qualche decisione è evidente che la decisione dovrà essere presa in condizioni di incertezza. Esempio tipico di questa situazione sono le lotterie (totocalcio, lotto, ecc.): è evidente che i giocatori non conoscono a priori se vinceranno oppure no non giocherebbero se sapessero che l esito è sicuramente negativo ed è sul calcolo di questa incertezza che lo stato basa le previsioni sull introito delle giocate. Variabili casuali (random) Distribuzione della frequenza delle auto possedute da 2000 famiglie scelte a caso in un grande città. L esperimento scegli a caso una famiglia e annota quante auto possiede è un esperimento casuale o random. Se indichiamo con la variabile x il numero di veicoli posseduti dalla famiglia selezionata, x potrà assumere uno solo dei valori elencati in Tab. 5.1 cioè 0,1,2,3 e 4 che corrispondono ad uno dei possibili esiti (risultati) dell esperimento 2. Di conseguenza poiché non è noto a priori quale valore la variabile assumerà, x è detta quindi variabile casuale. Variabili casuali discrete Una variabile casuale è detta discreta se e solo se i suoi valori sono numerabili e separati da un intervallo. Il numero di automobili possedute da ciascuna famiglia nel campione è un esempio di variabile casuale discreta. Altri esempi sono. 1. Il numero automobili date a noleggio dalla AVIS ogni giorno 2. Il numero di appartamenti nei palazzi di un quartiere cittadino 3. Il numero di paia di scarpe possedute da 4. Il numero di clienti in coda alla cassa del supermercato 5. Il numero di volte in cui esce il 7 nel lancio di due dadi 6. Il numero 1 Per esperimento si intende un esperimento scientifico, una indagine di mercato, una inchiesta di opinione, un questionario per valutare l indice di soddisfazioni, ecc.; cioè settori di indagine diversi dove il ricercatore non può sapere a priori l esito dell esperimento stesso. 2 Formalmente un esperimento casuale è indicato con X = {x 1, x 2,, x n } dove x i è l insieme degli n valori assunti dalla variabile casuale: l esperimento numero di auto possedute può essere indicato con X = {x i } = {0, 1, 2, 3, 4}. Cap.5 Pagina 1 di 27

2 Variabili casuali continue Le variabili casuali continue non sono numerabili e possono assumere tutti i valori compresi in un intervallo, i cui estremi sono il valore minimo e massimo della variabile casuale continua. I valori presenti nell intervallo sono infiniti e per questa ragione la variabile casuale continua può assumere un numero infinito di valori, e quindi non è possibile contarli. Un esempio possibile di variabile casuale continua è la durata di una batteria elettrica. Conosciamo la durata minima e massima, rispettivamente 0 e 200 ore, e possiamo misurare la sua durata con la precisione desiderata, ad ex. 40 ore oppure ore. Se indichiamo con la variabile x la sua durata, x è una variabile casuale continua il cui valore è uno fra tutti possibili valori continui compresi nell intervallo di estremi 0 ore e 200 ore. Esempi di variabile casuale continua sono: 1. L altezza delle persone 2. Il tempo impiegato quotidianamente nel percorso casa-lavoro, casa-scuola, 3. Il peso di un neonato 4. Il costo di un bene di consumo in negozi o supermercati diversi. 5. Il quantitativo di super alcolici consumato dalle persone di età compresa fra. Distribuzione di Probabilità di una Variabile casuale discreta Esempio 5.1. Prendiamo l esperimento relativo al numero di auto possedute da ciascuna famiglia. Indichiamo con X = {x i } = {0,1,2,4} l esperimento dove x è una variabile casuale discreta che indica il numero di veicoli posseduti da ciascuna famiglia e calcoliamo la probabilità di ciascun valore di x. Dalla definizione di probabilità come frequenza relativa si ottiene: Tab Distribuzione di probabilità del numero di veicoli posseduti da ciascuna famiglia Numero di veicoli Frequenza Frequenza relativa Probabilità P(x) N = ΣP(x) = 1.00 Cap.5 Pagina 2 di 27

3 La distribuzione di probabilità della variabile x ci consente di tenere sotto controllo l incertezza presente nell esperimento; infatti è facile verificare che distribuzione di probabilità della variabile casuale discreta x definita in Tab. 5.3 soddisfa le seguenti due condizioni o proprietà. Dalla Tab. 5.3 è possibile ricavare il valore di probabilità per ciascuno dei valori di x, ad ex. P(x=2) = 0.43 e anche la probabilità che la famiglia selezionata possieda più di due veicoli 3 P(x > 2) = P(x = 3) + P(x = 4) = = 0.33 La distribuzione di probabilità di una variabile discreta può essere rappresentata come tabella di valori (la Tab. 5.3), come formula matematica e come grafico. Nel grafico a linee di Fig. 5.1 sono riportati i valori della distribuzione di probabilità P(x) della Tab. 5.3, dove in ascissa sono indicati i valori della v.c. x ed in ordinata i rispettivi valori della probabilità. La formula matematica per il calcolo della probabilità nota la frequenza relativa di x è indicato a fianco. Il valore della probabilità P(x) per ciascun valore della variabile casuale x di cui è nota la distribuzione delle frequenze si calcola con la formula: f f P ( x) = = f N dove f ed N sono rispettivamente la frequenza di ciascun valore della v.c. x ed N la somma totale delle frequenze. Importante. Una distribuzione di valori P(x) come quelli definiti nella Tab. 5.3 per una variabile casuale x è una distribuzione di probabilità se e solo se sono verificate le condizioni P(x)>0 per ogni x e ΣP(x) = 1 somma eseguita su tutti i valori P(x). Esempio 5-2. Verificare se i valori riportati nelle tabelle (a), (b) e (c) indicano la probabilità di ciascuno dei valori della variabile casuale x. [Suggerimento. Verificare se i valori P(x) verificano le proprietà della probabilità. Risposte: No, Si, No]. 3 La probabilità che la famiglia selezionata possieda più di due veicoli può essere indicata anche nel modo seguente: P(x 3) = P(x = 3) + P(x = 4) = = 0.33 Il valore P(x 3) indica la probabilità che la famiglia possieda almeno tre automezzi. Cap.5 Pagina 3 di 27

4 Esempio 5-3. Controllo sulla Produzione. La tabella indica la distribuzione di probabilità del numero di soste forzate per settimana dovute alla rottura di una macchina. I valori sono stati ottenuti dalla analisi dai dati raccolti in un periodo pari ad alcuni anni. Soste per settimana Probabilità Costruire la tabella con la distribuzione della probabilità 2. Disegnare il grafico a linee della probabilità: 3. Calcolare la probabilità che il numero di soste per settimana sia: (i) Esattamente 2 (ii) Da 0 a 2 (ii) Più di una (iv) Al più una Vedere il foglio elettronico vc_discrete.xls per la soluzione dei problemi proposti. Esempio 5-4. Secondo un indagine eseguita dal MPI sugli studenti della scuola secondaria di II grado, all incirca il 60% di questi ha una atteggiamento tendenzialmente ansioso nei confronti della matematica. Scegliamo a caso due studenti del campione esaminato ed indichiamo con x il numero di studenti di questo campione che hanno paura della matematica. Vogliamo costruire la distribuzione di probabilità P(x) della variabile casuale discreta X={0,1,2} sono ansiosi. Indichiamo con N lo studente selezionato che non ha paura e con M lo studente che ha paura e calcoliamo il diagramma ad albero associando a gli eventi N ed M rispettive le probabilità 0.40 e In un campione di due soli studenti scelti a caso i soggetti che hanno paura della matematica sono: 0 (NN), 1 (NM o NM) oppure 2 (MM). Da questi valori è possibile calcolare i valori della probabilità come prodotto delle probabilità associate all evento M ed N; i valori sono riportati nella tabella che segue 4,5. 4 L esperimento scelta di due studenti a caso fra gli studenti delle secondaria ha eventi indipendenti. Cioè il risultato del primo esperimento sia N non influenza in alcun modo il risultato del secondo esperimento. Secondo il calcolo delle probabilità dati A ed B indipendenti la probabilità P(AB) = P(A)P(B) formula applicata al calcolo della probabilità dell esercizio Ulteriori esercizi sono presenti nelle fotocopie del libro di testo in formato *.pdf. Cap.5 Pagina 4 di 27

5 Media di una Variabile casuale discreta La media di un variabile casuale discreta si indica con µ ed è la media della distribuzione di probabilità; la media è indicata anche come valore atteso della variabile casuale x, E(x). La media di variabile casuale è ciò che ci aspettiamo di osservare, in media, se l esperimento viene ripetuto molte volte. Se il numero di clienti del minimarket sono in media 350 per settimana, questo non significa che ogni settimana i clienti saranno esattamente 350 ma che il numero di clienti calcolando la media di tutti gli acquirenti nelle diverse settimane è in media il valore indicato. La media di una variabile casuale discreta si calcola nel modo seguente Esempio 5-5. Analizziamo nuovamente la distribuzione di probabilità delle interruzioni della produzione causa il malfunzionamento di una macchina. Applichiamo la formula per il calcolo del valore medio sotto forma di una tabella: eseguiamo il prodotto xp(x) per ciascuna riga e sommiamo i valori ottenuti La media µ, o il valore atteso E(x), cosi calcolata è pari a Il valore atteso di 1.80 interruzioni per settimana è stato calcolato analizzando un lungo periodo di tempo. Questo significa periodo di controllo, in alcune settimane non si è verificata alcuna rottura, per altre settimane si è osservata una rottura ed infine in altre settimane si sono osservate 2, 3 o più rotture (vc_discrete.xls). Cap.5 Pagina 5 di 27

6 ******* ****** Alcuni esempi dei calcolo del valore medio ******* ****** Ace High Lotteria istantanea del tutto simile al gratta e vinci. Nel biglietto, di costo di 1$, sono presenti 6 finestrelle da scoprire: nella riga superione sono la carta giocata dal banco e l eventuale vincita, in quella inferiore le carte del giocatore. Il giocatore vince se almeno una delle carte indicate ha punteggio più alto della carta del banco. Costo del biglietto (la posta) è di 1$ e in caso di vittoria il giocatore può istantaneamente ritirare una vincita di 1000$, 500$, 25$, 10$, 4$, 2$ o un altro biglietto, cioè 1$. La tabella che segue indica il numero di biglietti stampati ed il premio relativo. Poiché per giocare alla lotteria istantanea ciascun giocatore deve comprare un biglietto del costo di un dollaro, il guadagno netto delle vincita è pari alla cifra dichiarata meno 1$. Se indichiamo con x la variabile casuale corrispondente alla vincita netta del giocatore x = cifra vinta 1$, dalla tabella in cui sono indicati il numero di biglietti stampati per ciascun premio, è possibile calcolare la probabilità P(x) di ciascun valor della variabile casuale. La probabilità è calcolata secondo la regola empirica, dividendo il numero di biglietti con una vincita pari x diviso il numero totale dei biglietti. Cap.5 Pagina 6 di 27

7 Sommando i prodotti xp(x) si ottiene la vincita media, o valore atteso della variabile x, pari a: ( x) = xp( x) µ = E = 0.35$ Quindi la vincita media netta a questa lotteria, pagato 1$ ciascun biglietto, è paria a 0.35$; cioè tutti i giocatori presi insieme perderà in media 0.35$ per biglietto acquistato. È possibile dare una diversa spiegazione del risultato, e cioè del costo del biglietto solo il 65% (100-35) sarà restituito sotto forma di vincita, mentre il restante 35% è incamerato dallo stato a vario titolo. Ogni giocata una vincita Un ragazzo intraprendente decide di proporre ai suoi amici ed agli studenti iscritti alla sua scuola un gioco d azzardo basato sull esito del lancio di un dado bilanciato (fair) a 6 facce. Il ragazzo si propone in qualità di gestore del gioco, cioè del banco che accetta le scommesse, e paga le vincite. Il nostro amico ha studiato il gioco molto bene. Per invogliare i colleghi a partecipare vuole ha deciso che la cifra da scommettere non sia molto elevata, e che, per ciascuna scommessa, al giocatore sia restituita una parte della cifra messa in gioco. Vuole anche, come in tutti i giochi d azzardo, che in media il banco vinca. Le modalità del gioco sono già state decise e sono riportate qui di seguito. - L esperimento al quale è associato il gioco lancio di un dado a 6 facce bilanciato è descritto dallo spazio campionario S = {1,2,3,4,5,6}: i risultati dell esperimento (eventi semplici) hanno un valore di probabilità definito in modo classico pari P(x) = 1/6. - Si lancia il dado e si annota a quale dei seguenti eventi composti appartiene è risultato dall esperimento S: A={1, 2, 3}; B={4, 5}; C={6}. - Il banco paga una cifra inversamente proporzionale alla probabilità di ciascun evento composto, in ragione di: 3 P( A) = 1 cent ( ) 2 P B = 5 cent ( ) 1 P C = 35 cent Riportati in tabella i valori risultati dell esperimento e le relative probabilità si ottiene: Evento composto Probabilità A 3/6 = 0.50 B 2/6 = 0.33 C 1/6 = 0.17 Totale ΣP(x) = 6/6 = Se indichiamo con x la cifra pagata dal banco il valore medio o valore atteso della variabile casuale discreta associata ai pagamenti è pari a: µ = E ( x) = xp( x) = = centesimi - A seguito del valore atteso calcolato con formula precedente, il nostro amico ha ritenuto opportuno indicare quale valore della posta la cifra di 10 centesimi. Infatti, in questo modo su un numero molto grande di scommesse il banco guadagnerà in media 2 centesimi. Importante. Il significato di numero molto grande di scommesse, è spiegato nell esercizio scommesse.xls dove è simulato un gioco con un numero crescente di scommesse. ******* ****** ******* ****** Cap.5 Pagina 7 di 27

8 Deviazione Standard di una Variabile casuale discreta La deviazione standard di una variabile casuale discreta, è indicata con σ e misura la dispersione della distribuzione di probabilità. Un grande valore della deviazione standard di una v.c. discreta indica che x può assumere valori distribuiti su un grande intervallo (range) attorno al valore medio. Viceversa piccoli valori di x indicano una piccola dispersione attorno al valore medio. La formula per il calcolo della deviazione standard è la seguente 2 ( x ) P( x) σ = µ oppure, in alternativa la formula semplificata [ ( x µ ) P( x) ] 1 = x P( x) µ P( x) [ ] 1 = [ x P( x) ] 2 σ = µ Esempio 5-6. Controllo di qualità nella produzione di parti di computer. La tabella indica il numero di pezzi fallati x e la relativa probabilità calcolata su una partita di 400 pezzi sottoposti a controllo. Calcoliamo la deviazione standard utilizzando la formula semplificata sotto forma di tabella. La somma della colonna xp(x) fornisce il valore medio µ della distribuzione di probabilità e l ultima colonna il primo addendo della formula semplificata, da entrambi questi valori si ottiene Quindi una partita di 400 pezzi prodotta successivamente avrà un numero di pezzi difettosi con un valore atteso di 2.50 pezzi con una deviazione standard di pezzi. Importante. La deviazione standard di una variabile casuale x è uguale alla radice quadrata positiva, ed è pertanto un valore non negativo. Esempio 5-7. Commercializzazione di una nuova linea di prodotti per il make-up da parte della ditta francese Roche-Posay. Calcolo del profitto annuale (M ) in funzione del numero delle vendite. La tabella riporta il profitto annuale x in funzione delle vendite ipotizzate alte, equivalenti ad un profitto di 4.5M, medie pari ad un guadagno di 1.2M, e basse alle quali corrisponde una perdita netta di 2.5M ; le rispettive probabilità sono 0.32, 0,51 e Le perdite sono indicate come valore negativo. Vogliamo calcolare la media e la deviazione standard di x. Cap.5 Pagina 8 di 27

9 Dalla tabella si ottiene quale valore della media µ e della deviazione standard σ µ = xp x ( ) = σ 2 = x P µ Cioè la Roche-Posay si aspetta un guadagno netto di 1.66 M, con una deviazione standard di 2.31M. Interpretazione della deviazione standard 2 ( x) = ( 1.661) = La deviazione standard di una variabile casuale discreta può essere interpretata utilizzando il Teorema di Chebyshev 6, che permette di dare un interpretazione della deviazione standard di una distribuzione anche quando questa non ha la forma a campana. Il Teorema di Chebyshev asserisce che presa la distribuzione di probabilità P(x)di una variabile casuale x discreta, una frazione dell area totale racchiusa al di sotto della curva pari a = [1-(1/k 2 )]x100 è contenuta entro l intervallo µ ± kxσ, dove µ e σ sono la media e la deviazione standard della distribuzione di probabilità e k è un numero reale maggiore di 1. Se ad esempio k = 2 il valore dell area racchiusa entro µ ± 2σ è pari al = [1-(1/k 2 )]x100 = [1-(1/4)]x100 = 75%. Nell esempio 5-6, relativo al numero di parti di computer mal funzionanti, i valori di media µ = 2.50 e deviazione standard σ = permettono di individuare per k=2 un intervallo di x, parti di computer difettose, pari a Per il Teorema di Chebyshev è possibile affermare che in almeno il 75% delle partite di parti di computer prodotte - ciascuna di 400 pezzi il valore atteso di pezzi difettosi è compreso 0.092, e pazzi. 6 Vedi Mann Introductory Statistics Cap.3 sezione 3.4. Il teorema di Chebyshev è stato definito per una distribuzione qualsiasi e può essere utilizzato per dare una indicazione di dispersione dei valori in un campione di dati numerici discreti. In questo caso il valore =[1-(1/k 2 )]x100 indica la percentuale dell area racchiusa al di sotto della distribuzione delle frequenze (o frequenza relative) contenuta nell intervallo m ± ks dove m ed s sono la media e la deviazione standard campionaria. Cap.5 Pagina 9 di 27

10 Calcolo combinatorio Fattoriale Esempi di calcolo del fattoriale n! 7. Combinazioni Calcolo di 7! Calcolo di 10! Calcolo di (12-4)! Calcolo di (5-5)! Il calcolo combinatorio è utilizzato per calcolare i modi possibili di scelta di alcuni elementi da un grande numero di elementi distinti. 1. La scelta di 2 risposte esatte fra le 4 possibili in un quiz a scelta multipla proposto all esame. 2. La scelta di 5 professori della facoltà di medicina e chirurgia fra i 50 membri della facoltà per formare una commissione. 3. L estrazione di 6 numeri fra i 90 possibili in una singola ruota nel gioco del lotto. La risposata alla prima domanda è la seguente: non conoscendo le risposte esatte lo studente può scegliere due delle quattro risposte proposte in 6 modi diversi. (1 e 2) (1 e 3) (1 e 4) (2 e 3) (2 e 4) (3 e 4) Ciascuna delle possibili scelte è una combinazione, quindi le combinazioni di 2 risposte esatte fra le 4 proposte dal quiz sono esattamente 6 8. Le risposte alla seconda e terza domanda sono rispettivamente: 2) scelte possibili di 5 professori fra 50 appartenenti alla facoltà, e 3) possibili modi diversi di estrarre 6 numeri fra i 90 che vengono utilizzati per il gioco del lotto. Notazione combinatoria Il calcolo combinatorio ha un opportuna notazione formale che illustra la tecnica di calcolo del numero delle combinazioni di n elementi presi x alla volta, detta notazione combinatoria. 7 Tutti i calcolatori da tasca e gli home computer hanno la funzione fattoriale n! programmata. I valori di n! sono indicati anche nella tabella data in appendice al capitolo. 8 Poiché lo studente sceglie a caso le domande è chiaro che non conosce le risposte esatte e quindi per lui sono tutte equiprobabili. Per illustrare il calcolo delle 6 possibili combinazioni di 2 domande scelte a caso fra le 4 possibili si consideri uno schema grafico o tabella del tipo: le coppie di valori indicati fra parentesi corrispondono ad una delle scelte possibili fra le 4 celle della tabella; mantenendo di volta in volta fisso il valore 1, il valore 2 ed il valore 3. Cap.5 Pagina 10 di 27

11 Calcolo di combinazioni Esempio Scelta di 2 gusti di un gelato fra i 6 possibili. Dalla formula il numero di combinazioni possibili è pari a: Esempio Scelta di 2 membri di una giuria fra i 5 candidati possibili. e di conseguenza Il numero di combinazioni si può calcolare anche dalla tabella allegata al capitolo. L esempio che segue ne illustra l utilizzo. Cap.5 Pagina 11 di 27

12 Esempio Una finanziaria vuole assumere alcuni analisti finanziari e ha pubblicato un annuncio pubblicitario sul giornale. Fra colori che hanno inviato il loro curriculum, dieci candidati sembrano essere i più indicati per l incarico che dovranno assumere e l azienda ha deciso di avviare una serie di colloqui convocandoli tre alla volta. Se 3 su 10 candidati sono selezionati casualmente quante selezioni sono possibili. n 10 10! = = x 3 3!(10 3)! utilizzando la tabella si calcola il valore cercato come intersezione del valori di riga 10! E di colonna 3!; cioè 120 diverse selezioni. Importante. Per il calcolo delle combinazioni valgono le regole seguenti n 5 5! 120 = 1 = = = 1 n 5 5!(5 5)! 120(0)! n 0 = 1 8 = 0 8! 0!(8)! = = Cap.5 Pagina 12 di 27

13 La distribuzione di probabilità binomiale o di Bernoulli La distribuzione di probabilità binomiale è utilizzata per calcolare la probabilità che un dato evento appaia x volte durante un esperimento ripetuto n volte. La variabile casuale x che descrive l esperimento deve essere discreta e dicotomica (binaria), cioè in ciascun esperimento la variabile casuale x può assumere solo due valori. La distribuzione di probabilità binomiale è utilizzabile solo per gli esperimenti che soddisfano le quattro condizioni di esperimento binomiale, dove ciascuno degli esperimenti ripetuti n volte ha il nome di prova di Bernuolli (Bernoulli Trial). Esperimento Binomiale Un esperimento che soddisfa le seguenti quattro condizioni può essere definito esperimento binomiale: 1. L esperimento è una successione di n prove identiche; o, in altri termini, l esperimento è ripetuto n volte nelle medesime condizioni. 2. Ciascun esperimento ha solo due risultati possibili: questi risultati sono indicati come successo o fallimento. 3. La probabilità di successo è indicata con p, la probabilità di fallimento con q e p + q =1. Le probabilità p e q rimangono invariate per ciascun esperimento. 4. Le prove sono indipendenti; cioè il risultato di un esperimento non influenza in alcun modo il risultato dell esperimento successivo. Ad esempio, se sappiamo che alla produzione la probabilità che un CD-ROM sia difettoso è pari a 0.05 per calcolare la probabilità che 1, 2, 3, ecc. CD, scelti a caso fra 50 CD prelevati dalla linea di produzione, siano difettosi possiamo utilizzare la distribuzione di probabilità binomiale; infatti, l esperimento verifica se il CD è difettoso è un esperimento binomiale. Infatti, (1) gli n=50 CD-ROM estratti dalla medesima linea di produzione sono esperimenti ripetuti nelle medesime condizioni; (2) ciascun esperimento può avere due soli risultati possibili il CD è difettoso oppure non difettoso; (3) la probabilità p = 0.05 è la medesima per ciascun esperimento; lo stesso dicasi per q = 1- p = 0.95; infine (4) verificare che un CD sia non funzionante non influenza in alcun modo le successive prove. Il controllo di qualità sulla produzione dei CD-ROM eseguito testando 50 CD è un esperimento binomiale composto di 50 prove di Bernuolli; e la variabile casuale ha due soli valori possibili x = {successo, fallimento}, dove per successo si intende il CD è difettoso e per fallimento il CD funziona correttamente 9. Esempio Individuare se i 10 lanci in successione di una moneta fair è un esperimento binomiale utilizzando le condizioni 1-4. Esempio Il 5% dei videoregistratori Sony VCR-305 sono difettosi. Verificare se il controllo di qualità eseguito su 3 VCR soddisfa le condizioni 1-4 per essere definito un esperimento di Bernoulli. 9 Si osservi che, in una prova di Bernoulli, i termini successo e fallimento assumono un significato diverso rispetto al linguaggio comune. Infatti, con successo non si intende un necessariamente un esito favorevole o desiderabile dell esperimento, e analogamente fallimento non indica un esito sfavorevole, sono semplicemente i nomi con i quali si indicano i due possibili risultati dell esperimento. Ad esempio, nel controllo di qualità del CD con successo si indica che il CD è difettoso; viceversa, se l esperimento di Bernoulli fosse relativo al successo nell esecuzione di un tiro libero da parte di un giocatore di Basket i valori di x = {successo, fallimento} assumono il significato opposto. I valori della variabile dicotomica x sono indicati anche come x = {vero, falso}, x = {1, 0}, x = {bianco, nero}, ecc.. Cap.5 Pagina 13 di 27

14 Esercizi. Indicare quale dei seguenti esperimenti può definirsi binomiale verificando se soddisfano a tutte e quattro le proprietà sopraelencate. a. Lancio multiplo di un dado onesto a sei facce. Si prende nota del numero impresso nel lato rivolto vero l alto. [R.:No, la v.c. non è dicotomica]. b. In un quiz a risposta multipla dove una sola delle quattro risposte indicate nel testo è corretta. Lo studente non è preparato e sceglie a caso la risposta. c. Lancio multiplo di un dado onesto a sei facce., Si prende nota se il numero impresso nel lato rivolto verso l alto è pari oppure dispari. [R.: Si, tutte le quattro proprietà sono soddisfate]. d. Scelta casuale di un dipendente pubblico donna al quale è chiesto di pronunciarsi a favore o contro l aumento dell orario di lavoro. [R.: Sapendo dal Cap.4. che il 55% delle donne è contrario, si l esperimento è binomiale poiché tutte le quattro proprietà sono soddisfate]. e. Inchiesta eseguita su un campione di famiglie residenti nel comune di Milano, per sapere se possiedono la casa in cui abitano. È noto dai dati ISTAT che il 68% di famiglie italiane vive in una casa di proprietà f. Estrazione con reinserimento di una pallina da un urna contenete 10 palline delle quali 4 sono di colore rosso e 3 di colore blu. Si prende nota del numero di volete in cui esce una pallina blu. g. Lancio di un dado a sei facce per una lotteria. Agli eventi composti A={1,2,3} e B={4,5} è associata la perdita della posta, all evento C={6} una vincita cospicua. [R.: Si sono verificate tutte le condizioni.] h. Lancio di un dado a sei facce per una lotteria. Agli eventi composti A={1,2,3} e B={4,5} e C={6} sono associati dei premi diversi. Se esce A o B la vincita è inferiore al prezzo del biglietto, se C è superiore. [R.: No, la v.c. x ha tre valori]. i. La battuta nel gioco della pallavolo, classificata secondo il codice seguente: A) realizzazione di un punto, B) perdita di un punto, e B) palla giocabile dalla squadra avversaria. [R.: No..]. j. Gli studi di settore hanno dimostrato che solo il 32% dei lavoratori dipendenti è favorevole all utilizzo di una parte del TFR per l attivazione di una forma previdenza privata. Scegli a caso un lavoratore chiedi se è favorevole o contrario. k. Il numero di canestri realizzati nell esecuzione di 10 tiri liberi, da un atleta molto esperto la cui percentuale di realizzazione è nota all allenatore. L esecuzione dei tiri liberi è un fondamentale importante per il quale si fanno allenamenti specifici. [R.: Si sono verificate tutte le condizioni.] l. Il numero di canestri realizzati nell esecuzione di 10 tiri liberi, da un ragazzino che si interessa per la prima volta al basket. L esecuzione dei tiri liberi è un fondamentale importante per il quale si fanno allenamenti specifici. [R.: No le probabilità p 3 q non sono note.] Cap.5 Pagina 14 di 27

15 Distribuzione di probabilità binomiale e formula binomiale. La variabile casuale x che indica il numero di successi in n tentativi di un esperimento binomiale è detta variabile binomiale. La distribuzione di probabilità di x è detta distribuzione di probabilità binomiale e calcola il valore di probabilità che in n prove ripetute esattamente x di queste siano un successo. La distribuzione di probabilità binomiale si calcola tramite la formula binomiale. Per risolvere un problema binomiale è necessario determinare i valori di n, x, n- x, p e q i valori vanno successivamente inseriti nella formula binomiale. Per calcolare P(x), cioè il numero di successi x in esattamente n esperimenti i soli valori necessari sono i parametri binomiali n e p. Risolviamo un problema binomiale senza utilizzare la formula binomiale ed utilizzandola. Esempio Il 5% dei videoregistratori Sony VCR-305 sono difettosi. Il tecnico incaricato dei controlli di qualità seleziona a caso 3 VCR dalla linea di produzione e vuole calcolare la probabilità che esattamente uno di questi sia difettoso. Senza utilizzare la formula binomiale Indichiamo con: D = VCR difettoso; G = VCR non difettoso. Lo spazio campionario dell esperimento, S, si ottiene dallo schema ad albero di Fig.5.4 dove gli eventi semplici DGG, GDG, e GGD racchiudono almeno un VCR difettoso. Cap.5 Pagina 15 di 27

16 Conoscendo i valori di probabilità P(D)=0.05 e P(G)=0.95, e sapendo che la selezione di ciascun VCR è indipendente dalla selezione dai restanti due cioè gli eventi di ciascuna terna sono indipendenti la probabilità di ciascun evento semplice si calcola utilizzando la regola di moltiplicazione per eventi indipendenti, vista nel Cap.4: A sua volta poiché gli eventi DGG, GDG, e GGD sono mutamente esclusivi la probabilità che esattamente un VCR sia difettoso è pari alla somma delle probabilità individuali di ciascun evento. Utilizziamo la formula binomiale per calcolare le probabilità indicando con x={successo, fallimento} la variabile casuale dove con successo intendiamo che esattamente uno dei 3 VCR sia difettoso. Definiamo nel dettaglio il problema binomiale specificando i valori di n, x, n- x, p e q Cap.5 Pagina 16 di 27

17 Sostituendo nella formula binomiale si ottiene Il calcolo della P(x=1) è eseguito nel foglio elettronico formula_binomiale.xls in due modi distinti: a) sviluppando la formula nel dettaglio e b) utilizzando la funzione predefinita DISTRIB.BINOM. Esempio Secondo un sondaggio condotto su un campione rappresentativo di donne americane di età superiore a 18 anni, il 60% delle donne intervistate ritiene di non avere tempo a sufficienza da dedicare alla propria persona. Supponiamo che il campione sia rappresentativo di tutta la popolazione femminile americana di età superiore a 18 anni, e indichiamo con x il numero di donne in un campione di n=3 scelto a caso che esprimono questa opinione. Vogliamo calcolare la distribuzione di probabilità di x e disegnare il relativo istogramma. Definiamo il problema binomiale 1. numero totale di donne nel campione n=3 2. numero di successi x = {0, 1, 2, 3} 3. numero di fallimenti n-x = {3, 2, 1, 0} 4. probabilità di successo p = probabilità di fallimento q =1 p = 0.40 applichiamo la formula binomiale x=0, n=3 x=1, n=2 x=2, n=1 x=3, n=0 Cap.5 Pagina 17 di 27

18 I valori così calcolati possono essere raccolti in una tabella e raffigurati nel relativo istogramma. Il calcolo è eseguito nel foglio excel formula_binomiale.xls. Tabella della probabilità binomiale. Un modo alternativo per calcolare la probabilità binomiale e l utilizzo della tabella della probabilità binomiale, come indicato nell esercizio che segue Esempio Un gruppo di donne americane di età superiore a 18 anni pari al 20% del totale intervistato telefonicamente asserisce che quotidianamente fanno ginnastica, massaggi, dieta, al fine di mantenere un aspetto fisico salutare ed attraente. Assunto questo valore come dato di popolazione e preso a caso un campione di n=6 donne si vuole calcolare la probabilità che: a. esattamente x=3 donne curino la propria persona nel modo indicato b. al più x=2 donne curino c. al meno x=3 donne curino d. un numero di donne compreso fra x=1 e x=3 curino e. un numero pari x={0,1,2,3,4,5,6} donne curi la si disegni la distribuzione di probabilità binomiale calcolata n=6 e x= x={0,1,2,3,4,5,6} Si utilizzi la tabella della probabilità binomiale (Tabella IV, Appendice D), utilizzando quali valori dei parametri n=6, p=0.2. A titolo di esempio calcoliamo la probabilità di punto a) cioè P(x=3). A partire dai valori di n=6, x = 6-3 posti nella prima colonna e nella quarta riga di seconda colonna e per p=0.20 si ottiene P(x = 3) = Cap.5 Pagina 18 di 27

19 Lasciamo allo studente il calcolo dei valori di probabilità nei punti b), c) e d); la tabella dei valori di probabilità per n=6 e x={0,1,2,3,4,5,6} ed il relativo istogramma sono indicati di seguito. L esercizio è svolto nel file formula_binomiale.xls. Probabilità di successo e forma della distribuzione binomiale Per ciascun valore di n: 1. la distribuzione di probabilità binomiale è simmetrica per p= la distribuzione di probabilità binomiale è asimmetrica a destra per p< la distribuzione di probabilità binomiale è asimmetrica a sinistra per p>0.5 I tre casi sono illustrati di seguito 1. distribuzione simmetrica: n=4 p= distribuzione asimmetrica a destra: n=4 p=0.3. Cap.5 Pagina 19 di 27

20 3. distribuzione asimmetrica a sinistra: n=4 p=0.8. La forma della distribuzione binomiale al variare di n e p e illustrata nel work-book bino.xls. Alcuni esercizi svolti in cui si utilizza la distribuzione binomiale sono raccolti nel file dbinomiale_esvolti.xls. Cap.5 Pagina 20 di 27

21 Esercizi aggiuntivi. IMPORTANTE. Durante il corso 2003/2004 è stato sviluppato un nuovo esercizio memorizzato nel file FalsiPositivi.xls. Cap.5 Pagina 21 di 27

22 Media e Deviazione Standard di una Distribuzione Probabilità Binomiale. Nelle sezioni precedenti è stato indicato come calcolare la media e la deviazione standard per una distribuzione di probabilità di una variabile casuale discreta. Le medesime formule possono essere utilizzate per il calcolo del valor medio e deviazione standard di una variabile casuale discreta con distribuzione binomiale. Tuttavia è più semplice e conveniente utilizzare le formule seguenti L esempio che segue descrive il calcolo della media e deviazione standard di una distribuzione binomiale. Esempio Secondo uno studio recente, il 25% dei manager finanziari americani di grado elevato ritengono che l auto di lusso che meglio rappresenta lo status simbol è la Lexus. Assumiamo che il dato valga per tutti i manger finanziari americani e scegliamo a caso un campione di 40 manager, e indichiamo con x il numero di manager che condividono questa scelta. Vogliamo calcolare la media e la deviazione standard della distribuzione di probabilità di x con le formule di µ ed σ introdotti in questa sezione. [Nel file AutodiLusso.xls sono messi a confronto i due metodi: a) le formule ricavate dalle sezioni relative alla media e deviazione standard di una variabile discreta e quelle introdotte in questa sezione]. Se consideriamo la popolazione dei manager finanziari in coloro che condividono l opinione espressa sulla Lexus e coloro che non la condividono, l esperimento binomiale che stiamo esaminando ha i seguenti parametri dove p e q sono rispettivamente le probabilità di successo e fallimento. Utilizzando le formule della media e deviazione standard della distribuzione binomiale si ottiene: Quindi la media della distribuzione di probabilità binomiale di x è uguale a 10 e la deviazione standard è uguale a circa Poiché il valore medio è il valore atteso in media dalla ripetizione di un numero molto grande di esperimenti, questo significa che se prendiamo molte volte gruppi diversi di 40 manager finanziari in media 10 di questi indicheranno l automobile Lexus come modello di auto di lusso da loro preferita, e ciascun gruppo avrà una deviazione standard di circa 2.75 soggetti (µ ± σ =10 ± 2.75). Esercizi aggiuntivi vedi il file dbinomiale_esvolti.xls per ulteriori esempi. Cap.5 Pagina 22 di 27

23 La distribuzione di Probabilità di Poisson La distribuzione di probabilità di Poisson è una distribuzione di probabilità di variabili casuali discrete che ha importanti applicazioni. Ad esempio, il tempo medio dopo il quale si verifica un guasto all automobile in un periodo di un anno tempo durante il quale l automobile è coperta da garanzia totale è determinato dalla distribuzione dei Poisson. Nella terminologia statistica legata alla distribuzione di Poisson ciascuna rottura è un evento Poissoniano. Dalla distribuzione di Poisson è possibile calcolare quale sarà la probabilità che esattamente due guasti si verifichino nei successivi due anni dal termine della assicurazione. La distribuzione di Poisson è utilizzabile solo per esperimenti i cui eventi sono casuali ed indipendenti. L esperimento numero di malfunzionamenti in un periodo pari ad un anno è un esperimento i cui eventi avvengono casualmente, cioè nel periodo indicato il numero di malfunzionamenti riscontrati in n automobili del medesimo modello non segue alcuno schema predefinito. Inoltre, presa una singola automobile, ciascuna rottura avviene in modo indipendente dalle successive. Un evento Poissoniano è sempre riferito ad un intervallo che può essere di tempo, di spazio o di volume. Noto il numero medio di eventi in un dato intervallo è possibile calcolare la distribuzione di Poisson dell esperimento e da questa la probabilità che nell intervallo considerato si verifichino x eventi. I seguenti casi indicano esperimenti descrivibili con la distribuzione di Poisson 1. Il numero di telefonate ricevute dal call center di una azienda durante un periodo di 20 minuti (intervallo temporale). La variabile casuale x=0,1,2,3, è discreta; l arrivo delle telefonate è sicuramente casuale poiché il fatto che il cliente A telefoni non influenza in alcun modo la decisione di telefonare da parte del cliente B. 2. Il numero di CD fallati in un gruppo di 100 presi alla fine della catena di produzione. In questo caso l intervallo di interesse è di volume (100 pezzi); la v.c. x=0,1,2,,100 che indica i CD fallati è discreta, e gli eventi sono indipendenti poiché individuare un CD fallato no implica che anche il successivo lo sia. 3. Il numero di falli iln una pezza di stoffa di 20 m di lunghezza utilizzata per la produzione industriale di camicie è un evento riferito ad un intervallo lineare di lunghezza; la v.c. numero di falli x = 0,1,2,3, è discreta; e gli eventi sono indipendenti. I seguenti casi indicano esperimenti non descrivibili con la distribuzione di Poisson a. Il numero di pazienti che arrivano allo studio dentistico in un pomeriggio. Causa la prenotazione il loro arrivo non è casuale ma regolamentato dalla durata di ciascun intervento. b. Il numero di treni in arrivo alla stazione in ciascuna delle 24 ore giornaliere. Essendo regolato da un orario rigido il personale conosce esattamente quanti terni arrivano. Cap.5 Pagina 23 di 27

24 c. Il numero di interrogazioni sostenute dagli studenti di una classe. Poiché il professore conosce gli allievi è portato ad interrogare un maggior numero di volte gli studenti che non studiano con regolarità. Il numero medio di eventi in un dato intervallo è indicato con la lettera greca lambda λ, ed il numero di eventi nell intervallo scelto la variabile casuale con x. Nota λ dalla distribuzione di probabilità di Poisson è possibile calcolare la probabilità che x eventi si verifichino nell intervallo di tempo preso in esame. Il numero medio di eventi nell intervallo scelto λ è indicato come il parametro di Poisson. Esempio Una lavatrice industriale in un negozio di la secco si rompe in media tre volte in un mese. Usando la formula di Poisson calcolare la probabilità che nel mese entrante la macchina si interrompa: (a) esattamente 2 volte; (b) al più due volte. Poiché sappiamo che λ=3 applicando la formula si ottiene a. Probabilità di avere esattamente due interruzioni P(x=2) b. Probabilità di avere al più due interruzioni P(x 2) Nel foglio FormuladiPoisson.xls l esercizio è risolto utilizzando la funzione di Excel POISSON, dove per il calcolo di P(x 1) si è utilizzata la funzione di distribuzione cumulativa. Esempio La azienda CMOC consente la restituzione dei prodotti venduti entro 7 gg dalla consegna se l acquirente non è completamente soddisfatto. I dati in possesso dell azienda indicano che su 10 prodotti venduti in media 2 sono restituiti. Usando la formula di Poisson si vuole calcolare la probabilità che esattamente 6 dei 40 prodotti consegnati nell ultima settimana siano restituiti. L'esercizio richiede un piccolo calcolo preliminare per ottenere lambda. Infatti il testo indica che in media 2 prodotti sono restituiti alla CMOC su 10 venduti, quindi poiché si richiede di calcolare la probabilità che esattamente 6 su un totale di 40 vengano restituiti il valore di lambda deve tener conto che l'intervallo preso in considerazione è pari a 4 volte l'intervallo del quale è noto il valore medio; cioè λ = 2*4 = 8. Da questo il valore di P(x=6) si calcola dalla formula di Poisson Cap.5 Pagina 24 di 27

25 Importante. Esempio 5-25 è un problema binomiale con p=2/10=0.2, n=40 e x=6. Infatti, se consideriamo come successo la restituzione della vendita sui 40 esperimenti eseguiti cioè le vendite dell ultima settimana e poiché a questa è associata una probabilità p=0.2 è possibile calcolare P(x=2) con la formula binomiale L utilizzo della formula di Poisson per risolvere un problema binomiale sfrutta la distribuzione di Poisson come approssimazione alla distribuzione binomiale. La approssimazione è pari a circa 2 millesimi ( anziché 01246) ed è quindi molto buona; tuttavia l importanza della approssimazione di Poisson alla formula binomiale risiede nella semplificazione del calcolo della formula binomiale per n grande. Infatti il calcolo della formula di Poisson è notevolmente semplificato e come regola generale si può utilizzare la seguente procedura: se n > 25 e µ 25 la distribuzione binomiale è approssimata correttamente dalla distribuzione di Poisson. se n > 25 e µ > 25 la binomiale è approssimata correttamente dalla distribuzione Normale o di Gauss che sarà introdotta nel capitolo 6. Tabella di probabilità di Poisson La tabella VI in appendice D riporta i valori della Probabilità di Poisson al variate di lambda ed x. La tabella VI può essere utilizzata per calcolare P(x=x 0 ) al pari della formula. Esempio I dati della banca XZY indicano che in media ogni giorno vengono sottoscritti due nuovi conti correnti nelle diverse filiali distribuite sul territorio nazionale. Usando la Tabella VI in appendice D si vuole calcolare la probabilità che in un dato giorno il numero di nuovi conti correnti sia: (a) esattamente 6 P(x=2), (b) al più 3 P(x 3), (b) al meno 7 P(x 7). La tabella 5-17 è un estratto della Tabella VI, e poiché λ=2 i valori richiesti si calcolano direttamente da essa Cap.5 Pagina 25 di 27

26 a. per λ=6 e x=5 si ha b. per λ=6 il valore della P(x) per x al più uguale a 3 è pari a c. per λ=6 il valore della P(x) per x al meno uguale a 7 è pari a Nel foglio elettronico FormuladiPoisson.xls l esempio 5-26 è risolto tramite la distribuzione di probabilità di Poisson. Di seguito sono riportate la tabella della probabilità P(x) per λ=2 e x={0,1,2,3,,10}, la frequenza cumulativa ed i relativi grafici. Dalla tabella è possibile calcolare i valori di P(x=2), P(x 3) e P(x 7). x P(x) f.c Σ P(x) Poisson lambda = 2 P(x) f.c funzione cumulativa x Media e deviazione standard della distribuzione di probabilità di Poisson La distribuzione di probabilità di Poisson ha media e varianza uguali a lambda λ, e la deviazione standard uguale a λ. Pertanto per la distribuzione di Poisson valgono le seguenti eguaglianze. µ = λ σ 2 = λ σ = λ Nell esempio 5-26 essendo λ=2 il valore di media e deviazione standard sono pari a µ = λ= 2 σ 2 = λ = 2 σ = λ = 1.41 Esempi di utilizzo della distribuzione di Posson sono sviluppati nel foglio elettronico dpoisson_esvolti.xls. Fra gli esercizi sono presenti anche alcune applicazioni della media e deviazione standard della distribuzione di Poisson. Cap.5 Pagina 26 di 27

27 Esercizi aggiuntivi. Cap.5 Pagina 27 di 27