ALGEBRA I: MODULI. Abbiamo indicato con 0 A, 1 A lo zero e l unità nell anello A e con 0 M l elemento neutro del gruppo abeliano (M, +).

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1 ALGEBRA I: MODULI 1 GENERALITÀ SUGLI A-MODULI Il concetto di A-modulo generalizza quello di spazio vettoriale su un campo K Definizione 11 Sia A un anello commutativo con unità Un A-modulo è un insieme M dotato di un operazione di somma + : M M M e di prodotto per uno scalare : A M M tale che: (M, +) è un gruppo abeliano; le operazioni + e soddisfano: (a + b) m = a m + b m, a (m + n) = a m + a n, (ab) m = a (b m), 0 A m = 0 M, 1 A m = m; per ogni scelta di a, b A, m, n M Abbiamo indicato con 0 A, 1 A lo zero e l unità nell anello A e con 0 M l elemento neutro del gruppo abeliano (M, +) Osservazione 12 È facile mostrare che ( 1 A) m è uguale all inverso additivo di m M, che indichiamo con m In effetti: 0 M = 0 A m = (1 A + ( 1 A)) m = 1 A m + ( 1 A) m = m + ( 1 A) m Dall unicità dell inverso segue che: ( 1 A) m = m In seguito eviteremo di aggiungere gli indici A ed M per distinguere gli elementi neutri nell anello e nel modulo, ottenendo quindi le più leggibili proprietà 0 m = 0, 1 m = m, ( 1) m = m Tutte le manipolazioni valide negli spazi vettoriali continuano ad essere valide anche negli A-moduli, tranne quelle che coinvolgono la semplificazione (per divisione) degli scalari Esempi 13 (1) Se K è un campo, il concetto di K-modulo è equivalente a quello di spazio vettoriale su K (2) Ogni gruppo abeliano (Γ, +) possiede una struttura di Z-modulo definita da: a + + a se h > 0 } {{ } h volte ha = 0 se h = 0 (a + + a) se h < 0 } {{ } h volte Di conseguenza, il concetto di Z-modulo è equivalente a quello di gruppo abeliano [Controllate per esercizio che la struttura di sopra definisce uno Z-modulo, e spiegate per quale motivo sia l unica compatibile con l operazione di gruppo!] (3) Le operazioni di somma e prodotto in un anello A definiscono una struttura di A-modulo su A stesso (4) Sia A n il prodotto cartesiano di n copie di A Allora le operazioni definite da (a 1,, a n) + (b 1,, b n) = (a 1 + b 1,, a n + b n), a (a 1,, a n) = (aa 1,, aa n) forniscono una struttura di A-modulo su A n 11 Omomorfismi e sottomoduli Definizione 14 Sia M un A-modulo Un sottoinsieme (non vuoto) N M è un sottomodulo se: N è un sottogruppo abeliano di M an N ogni volta che a A, n N Esempi 15 (1) Sia K un campo Abbiamo già visto come un K-modulo sia semplicemente uno spazio vettoriale su K Se V è un K-modulo, i sotto K-moduli di V sono semplicemente i sottospazi vettoriali di V (2) {0} ed M sono sempre sottomoduli di ogni A-modulo M: sono detti sottomoduli banali (3) Gli A-sottomoduli dell A-modulo A sono semplicemente gli ideali di A Definizione 16 Un applicazione tra A-moduli f : M N si dice applicazione A-lineare, o anche A-omomorfismo o omomorfismo di A-moduli se: f(m + m ) = f(m) + f(m ), f(a m) = a f(m), per ogni scelta di a A, m, m M 1

2 2 ALGEBRA I Osservazione 17 Segue immediatamente dalla definizione che, se f è un A-omomorfismo, allora: f(0) = f(0 m) = 0 f(m) = 0, Proposizione 18 Sia f : M N un A-omomorfismo Allora l immagine e il nucleo f( m) = f(( 1) m) = ( 1) f(m) = f(m) f(m) = Im f = {n N n = f(m) per qualche m M} ker f = {m M f(m) = 0} sono sottomoduli di N e di M rispettivamente L omomorfismo f è suriettivo se e solo se f(m) = N ed è iniettivo se e solo se ker f = (0) Dimostrazione Come al solito È lasciata per esercizio Un A-omomorfismo iniettivo e suriettivo si dice A-isomorfismo L inverso di un A-isomorfismo è ancora A-lineare ed è quindi esso stesso un A-isomorfismo 12 Moduli quoziente e teorema di omomorfismo Siano M, N A-moduli, N M sottomodulo Allora m N m m m N definisce su M una relazione di equivalenza (controllatelo per esercizio!) e quindi un insieme quoziente M/ N Esercizio: Verificate che le operazioni [m]+[m ] = [m+m ] e a[m] = [am] sono ben definite sulle classi di equivalenza e che soddisfano gli assiomi di A-modulo Definizione 19 L insieme M/ N dotato della struttura di A-modulo appena descritta si dice modulo quoziente, e si indica con M/N La proiezione al quoziente π : M M/N è un omomorfismo suriettivo di A-moduli, il cui nucleo coincide con N Teorema 110 Sia f : M M un omomorfismo di A-moduli, N M un sottomodulo contenuto in ker f Se indichiamo con π : M M/N la proiezione al quoziente, allora esiste un unico A-omomorfismo F : M/N M tale che f = F π F ed f hanno la stessa immagine In particolare, F è suriettivo se e solo se f è suriettivo; inoltre F è iniettivo se e solo se ker f = N Dimostrazione La solita Anche questa per esercizio Quello appena visto è il cosiddetto teorema di omomorfismo, che si presenta analogo in molteplici contesti algebrici Ha le solite conseguenze, che si dimostrano come da tradizione Teorema 111 Se f : M N è un omomorfismo di A-moduli, allora f(m) è isomorfo al quoziente M/ ker f Dimostrazione L applicazione F : M/ ker f N è iniettiva, e la sua immagine coincide con f(m) N Pertanto F definisce un isomorfismo di M/ ker f con f(m) Se N, N M sono sottomoduli, anche N N e N + N = {n + n n N, n N } sono sottomoduli di M (esercizio!) Teorema 112 (N + N )/N è isomorfo a N/(N N ) Dimostrazione Sia π : M M/N la proiezione al quoziente Allora π N : N M/N è un A-omomorfismo la cui immagine coincide con (N + N )/N, ed il cui nucleo è N N Per il risultato precedente (N + N )/N = Im π N N/ ker π N = N/(N N ) Infine Teorema 113 Sia M un A-modulo, siano N 0 N M sottomoduli Allora: M/N (M/N 0)/(N/N 0) Dimostrazione Come al solito 13 Somma diretta di A-moduli Se M, N sono A-moduli, le operazioni: (m, n) + (m, n ) = (m + m, n + n ), a (m, n) = (am, an) definiscono sul prodotto cartesiano M N una struttura di A-modulo detta somma diretta di M ed N, che si indica con M N La somma diretta si può fare anche di tre o più A-moduli, e persino di una famiglia infinita di A-moduli In questo caso la definizione è: Definizione 114 Sia {M i} i I una famiglia di A-moduli L insieme: M i = {(m i) i I m i M i, m i 0 solo per un numero finito di indici} i I è un A-modulo rispetto alle operazioni di + e definite componente per componente, detto somma diretta degli {M i} i I

3 ALGEBRA I 3 Osservazione 115 Analogamente alla definizione appena data, si può definire anche su M i = {(m i) i I m i M i} i I una struttura di A-modulo, che è detta prodotto diretto degli {M i} i I Il prodotto diretto di A-moduli è generalmente più grande della somma diretta Ad ogni modo, somma diretta e prodotto diretto di un numero finito di A-moduli coincidono Esempio 116 A n = n i=1 A = A A A } {{ } n volte Il risultato che segue ci servirà più tardi Lemma 117 Siano M, N A-moduli, M M, N N sottomoduli Allora N N è un sottomodulo di M M e (M N)/(M N ) M/M N/N Dimostrazione Che M N sia un sottomodulo di M N è chiaro L omomorfismo π : M N M/M N/N dato da π(m, n) = ([m] M, [n] N ) è suriettivo, ed il suo nucleo coincide con M N Ora basta utilizzare il Teorema DIPENDENDENZA ED INDIPENDENZA LINEARE NEGLI A-MODULI Siano m 1,, m n elementi di un A-modulo M Si dice combinazione A-lineare di m 1,, m n ogni espressione del tipo a 1m 1 + +a nm n, a i A Se X M è un sottoinsieme (anche infinito) di elementi di M, una combinazione lineare di elementi di X è ogni espressione: a 1m a nm n X, a i A È importante osservare che le combinazioni lineari sono sempre finite, perché non sapremmo sommare infiniti termini distinti, a meno di invocare strutture ulteriori (topologia, convergenza, ecc ) che non abbiamo Sappiamo sommare due elementi e quindi anche un insieme finito di elementi, ripetendo ricorsivamente l operazione di somma Definizione 21 Sia M un A-modulo, X M un sottoinsieme Il sottomodulo di M generato da X è il più piccolo sottomodulo di M che contenga X, e si indica con X L intersezione di sottomoduli di M è ancora un sottomodulo, e quindi: X = N, N M sottomodulo X N il che garantisce l esistenza del sottomodulo generato da X M È importante osservare che se m appartiene ad un sottomodulo N, anche i suoi multipli am, a A stanno in N Allo stesso modo, se m 1,, m n N, allora a 1m a nm n N per ogni scelta di a i A Sappiamo dalla definizione che X X, e quindi X deve contenere ogni combinazione lineare di elementi di X Proposizione 22 X coincide con l insieme delle combinazioni lineari degli elementi di X Dimostrazione Basta far vedere che l insieme delle combinazioni lineari è chiuso rispetto alla somma e al prodotto per elementi di A Se M = X, con X M, diremo che X è un insieme di generatori per M Un A-modulo M si dice finitamente generato se possiede un insieme finito di generatori, cioè se esistono m 1,, m n M tali che ogni elemento di M si esprima come a 1m a nm n per una scelta oppurtuna di a 1,, a n A Da questo momento in poi darò le definizioni solo nel caso finito, poiché saremo principalmente interessati ai moduli finitamente generati Definizione 23 Sia M un A-modulo Gli elementi m 1,, m n M si dicono A-liberi o linearmente indipendenti su A se a 1m a nm n = 0 = a 1 = a 2 = = a n = 0, cioè se l unica combinazione lineare nulla è quella a coefficienti tutti nulli; generatori di M se per ogni elemento m M esistono a 1,, a n tali che m = a 1m a nm n; una A-base di M se sono generatori A-liberi di M Gli elementi m 1,, m n sono linearmente dipendenti se non sono linearmente indipendenti Se m 1,, m n sono A-liberi si dice che {m 1,, m n} è un insime libero o A-libero L insieme vuoto è sempre libero Per ogni scelta di m 1, m n M possiamo costruire l applicazione f : A n M definita da f(a 1,, a n) = a 1m a nm n Se a = (a 1,, a n) e a = (a 1,, a n) allora a + a = (a 1 + a 1,, a n + a n), e: f(a + a ) = (a 1 + a 1)m (a n + a n)m n = a 1m 1 + a 1m a nm n + a nm n = (a 1m a nm n) + (a 1m a nm n) = f(a) + f(a ) In modo simile si mostra che f(ca) = cf(a), e dunque f è A-lineare Proposizione 24 L omomorfismo di A-moduli A n (a 1,, a n) a 1m a nm n M è:

4 4 ALGEBRA I - iniettivo se e solo se m 1,, m n sono linearmente indipendenti; - suriettivo se e solo se m 1,, m n generano M; - un isomorfismo se e solo se m 1,, m n sono una base di M Dimostrazione E una riformulazione delle definizioni Questo mostra che un A-modulo che possiede una base con n-elementi è isomorfo ad A n Gli A-moduli che possiedono una base sono detti liberi Se M è un A-modulo libero ed m 1,, m n M costituiscono una sua base, allora l inversa della f : A n M costruita sopra è l A-omomorfismo che associa a ciascun m M le sue coordinate nella base m 1,, m n È importante osservare come ogni isomorfismo f : A n M sia costruibile a partire da una base Proposizione 25 Sia f : A n M un isomorfismo di A-moduli Allora m 1 = f(1, 0,, 0), m 2 = f(0, 1, 0,, 0),, m n = f(0,, 0, 1) sono una base di M Dimostrazione Poiché f è suriettiva, ogni elemento di M è del tipo: f(a 1,, a n) = a 1f(1, 0,, 0) + + a nf(0,, 0, 1) = a 1m a nm n, quindi m 1, m n generano M Inoltre, se a 1m 1+ +a nm n = f(a 1,, a n) è uguale a 0, allora (a 1,, a n) ker f Poiché f è iniettiva a 1 = a 2 = = a n = 0 e quindi m 1,, m n sono liberi In conclusione, gli isomorfismi A n M sono in corrispondenza biunivoca con le basi di M e gli isomorfismi M A n sono tutti e soli quelli che calcolano le coordinate degli elementi di M in qualche base Prima di passare avanti, osserviamo come ad ogni A-omomorfismo T : A m A n si possa associare una matrice n m che indicheremo con [T ] a coefficienti in A, tale che: T (a 1,, a n) = (b 1,, b n) se e solo se [T ] Tale matrice [T ] è quella che ha per colonne le immagini T (1, 0,, 0),, T (0, 0, 1) degli elementi della base canonica di A n Alla composizione di applicazioni corrisponde, ovviamente, il prodotto righe per colonne di matrici: [T S] = [T ] [S] a 1 a n = b 1 b n 3 DETERMINANTE DI MATRICI A VALORI IN UN ANELLO COMMUTATIVO CON UNITÀ Avete già incontrato il concetto di determinante di una matrice n n a coefficienti in un campo Sapete che se M = (m ij) i,j=1,,n è una matrice a coefficienti in un campo K, il suo determinante è definito da: det M = σ S n sgn(σ) m 1σ1, m 2σ2,, m nσn Dove S n è l insieme (anzi: il gruppo) delle permutazioni su n elementi e sgn(σ) è il segno della permutazione σ Il determinante soddisfa det Id = 1, det MN = (det M)(det N), è multilineare sia come funzione delle righe che delle colonne della matrice usata come argomento, ed è alternante per scambi di righe e/o di colonne Avete inoltre appreso la procedura di calcolo per la matrice inversa di M, quando esiste: cioè esattamente quando det M 0 Non ripercorrerò le relative dimostrazioni, ma mi limiterò a motivare come, a partire da questi enunciati, si possano ottenere affermazioni simili anche per matrici a coefficienti in un anello commutativo con unità qualsiasi, che sia o meno un campo o un dominio d integrità La prima osservazione importante da fare è che possiamo utilizzare il campo di nostra preferenza Abbiamo già visto in precedenza come costruire, a partire da un dominio d integrità D un campo che lo contenga, detto campo delle frazioni K = K D Per matrici a coefficienti in K, e quindi in particolare per matrici a coefficienti in D, tutte le affermazioni continueranno ad essere valide È importante notare che la formula per il determinante è data come una somma di prodotti, e quindi non richiede mai la necessità di calcolare inversi L anello che ci interessa considerare è quello D = Z[x 11, x 12,, x 1n, x 21,, x 2n,, x n1,, x nn, y 11,, y nn], dei polinomi a coefficienti in Z nelle 2n 2 variabili x ij, y ij, 1 i, j n Questo è certamente un dominio di integrità e possiede un campo della frazioni per la cronaca K D si indica con Q(x 11,, x nn, y 11,, y nn) Poiché det(mn) = (det M)(det N) vale per matrici a coefficienti in K D, vale anche per matrici a coefficienti in D Ad esempio, vale per le due matrici: M = x 11 x 1n x n1 x nn, N = y 11 y 1n y n1 y nn, che sono a coefficienti in D Questo ci dice che l identità det(mn) = det M det N è vera in termini delle espressioni polinomiali in x ij, y ij prima di utilizzare la conoscenza del valore che possiamo attribuire ai coefficienti delle matrici In altre parole, la formula di Binet det(mn) = det M det N vale per matrici a coefficienti indeterminati Se A è un anello commutativo, e M, N sono matrici a coefficienti in A, basta calcolare l identità polinomiale di Binet in x ij = m ij, y ij = n ij per ottenerla per le matrici concrete, M = (m ij), N = (n ij) che abbiamo bisogno di considerare Nel calcolo del determinante ci sono solo somme di prodotti e non abbiamo mai bisogno di uscire dalll anello Z[x 11,, x nn, y 11,, y nn] per poter descrivere l identità, che può poi essere calcolata per ogni scelta di elementi in

5 ALGEBRA I 5 un anello commutativo Tutte le proprietà di multilinearità e alternanza seguono alla stessa maniera Più delicato è l algoritmo di calcolo della matrice inversa, che richiede prima il calcolo dei minori (n 1) (n 1) della matrice M i cosidetti complementi algebrici e poi la divisione per det M Effettivamente, quando A non è un campo, non è detto che det M, anche se diverso da 0, sia invertibile Lemma 31 Siano M, N matrici n n a coefficienti in un anello commutativo con unità A tali che MN = NM = Id Allora det M e det N sono elementi invertibili di A Dimostrazione Per la formula di Binet det(m) det(n) = det(mn) = det Id = 1 Questo dimostra che una matrice M Mat n n(a) che voglia avere la speranza di essere invertibile deve avere det(m) A Teorema 32 M Mat n n(a) è invertibile in M Mat n n(a) se e solo se det(m) A Dimostrazione Una delle due implicazioni è già stata mostrata nel lemma precedente Viceversa, supponiamo che det(m) A Sia X = (x ij) i,j=1,,n la matrice n n a coefficienti in D = Z[x 11,, x nn] Il calcolo della sua inversa in K D è possibile (det X è un polinomio non nullo in D) ma richiede l inversione di det X; tuttavia vi è un identità per matrici a coefficienti in K D che non richiede l inversione di elementi Se X C è la matrice dei complementi algebrici di X (cioè la matrice matrice il cui coefficiente X C ij è ( 1) i+j moltiplicato per il determinante della matrice che si ottiene rimuovendo da X la i-esima colonna e la j-esima riga), allora: X C X = (det X) Id = X X C Poichè il calcolo di X C e det X richiede solo somme di prodotti, otteniamo una formula universale, cioè a coefficienti indeterminati, che può essere specializzata agli elementi di qualsiasi anello commutativo con unità Ora, se M Mat n n(a), allora M C M = (det M) Id = M M C E se det M è invertibile in A, allora moltiplicando l identità precedente per (det M) 1 si ottiene (det M) 1 M C M = Id = M M C (det M) 1 In conclusione, abbiamo trovato un inversa (det M) 1 M C della matrice M non appena det M A Corollario 33 Se M Mat m n(a), N Mat n m(a), MN = Id m, NM = Id n, allora m = n e det(m), det(n) A In particolare, un A-omomorfismo f : A m A n può essere invertibile se e solo se m = n, e in questo caso la sua invertibilità è equivalente all invertibilità del determinante della sua matrice Dimostrazione Sia m n A meno di scambiare le due matrici, possiamo suppore che m > n Allora: ( ) N (M 0) = (MN) = Id n 0 Ma questo è impossibile poiché det(m 0) = 0 In effetti, moltiplicando per 0 una delle colonne nulle, il determinante viene moltiplicato per 0 e quindi diventa 0 Ma la matrice resta la stessa In algebra lineare vale il seguente risultato: 4 BASI DI MODULI LIBERI Proposizione 41 Sia V uno spazio vettoriale su K Da ogni sottoinsieme di K-generatori di V si può estrarre una K-base; inoltre, ogni insieme di elementi K-linearmente indipendenti di V si può completare una base In particolare, tutti gli elementi non nulli di uno spazio vettoriale possono far parte di una base Sono tutti equivalenti, insomma La situazione è diversa per gli A-moduli, come andiamo a mostrare con esempi Lemma 42 Nell A-modulo A, due elementi, comunque siano presi, sono sempre linearmente dipendenti Dimostrazione dati a, b A, si ha b a + ( a) b = 0, che è una relazione di dipendenza lineare non appena a, b 0 Se a = b = 0, ogni h a + k b è uguale a 0, e quindi si ha ancora dipendenza lineare Esempi 43 (1) Se A = Z, M = Z, allora {2} è un insieme libero che non può essere completato ad una base In effetti, se a = 0, allora a = 0, quindi {2} è linearmente indipendente {2} genera tutto il sottomodulo dei pari e quindi non genera tutto Z In ogni caso, se aggiungiamo anche solo un elemento a {2} ottieniamo, per il lemma, un insieme non libero (2) Se A = Z, M = Z, allora {2, 3} è un insieme di generatori di M dal quale non si estrae alcuna base L insieme {2, 3} è un insieme di generatori di Z poiché = 1 e quindi 2h 2 h 3 = h In ogni caso {2, 3} non è una base per il lemma, e nessuno dei sottoinsiemi propri {2}, {3}, è un insieme di generatori Abbiamo bisogno di un criterio per stabilire se un insieme {m 1,, m h } di elementi di A n sia una base Sappiamo già che h deve essere uguale ad n, poiché l applicazione: A h deve essere un isomorfismo se {m 1,, m h } è una base f A n (a 1,, a h ) a 1m a h m h Proposizione 44 {m 1,, m n} A n è una A-base se e solo se la matrice che ha per colonne le coordinate degli elementi m 1,, m n è invertibile in A

6 6 ALGEBRA I Dimostrazione m 1,, m n è una base se e solo se l A-omomorfismo A n (a 1,, a n) a 1m a nm n A n è invertibile Questo accade se e solo se la matrice associata ha determinante invertibile È facile osservare che le colonne di tale matrice sono le coordinate degli elementi m 1,, m n Corollario 45 Se d A è un elemento non invertibile tale che d a 1,, a n, allora (a 1,, a n) non appartiene a nessuna base di A n Dimostrazione Ogni matrice che abbia una colonna uguale a (a 1,, a n) ha determinante multiplo di d, e quindi non invertibile Daremo una caratterizzazione degli elementi che si completano ad una base di A n, nel caso in cui A sia un dominio a ideali principali 41 Moduli liberi in domini a ideali principali Sia D un dominio a ideali principali Il mio obiettivo è quello di dimostrare la seguente Proposizione 46 L elemento (a 1,, a n) D n appartiene a qualche base di D n se e solo se MCD(a 1,, a n) = 1 Prima di passare alla dimostrazione, cerchiamo di capire i casi n = 1, 2 Esempi 47 (1) {a} è una base di D a è invertibile in D In effetti, il sottomodulo di D generato da a è l ideale (a), che è uguale a D a è invertibile (2) (a, b) D 2 si completa ad una base di D 2 MCD(a, b) = 1 In effetti, se MCD(a, b) = 1, allora esistono h, k D tali che ha + kb = 1 Ma allora: ( ) a k det = 1, b h e quindi {(a, b), ( k, h)} è una base di D 2 Abbiamo già visto che se MCD(a, b) = d 1 e quindi non invertibile, allora (a, b) non appartiene a nessuna base Lemma 48 Sia a = (a 1, a 2,, a n) D n Allora esiste una base di D n nella quale le coordinate di a sono (d, a 3, a 4,, a n, 0), dove d = MCD(a 1, a 2) Equivalentemente, esiste un D-omomorfismo invertibile φ : D n D n tale che: φ(a 1,, a n) = (d, a 3,, a n, 0) Dimostrazione Sia d = MCD(a 1, a 2) Allora a 1 = db 1, a 2 = db 2 con MCD(b 1, b 2) = 1 Si ha quindi hb 1 + kb 2 = 1, per un oppurtuna scelta di h, k D Consideriamo i vettori m 1 = (b 1, b 2, 0,, 0), m 2 = ( k, h, 0,, 0), m 3 = (0, 0, 1, 0,, 0),, m n = (0,, 0, 1) Sono sicuramente una base poiché: b 1 k ( ) det 0 b 2 h b1 k = det = 1 b 2 h 0 I n 2 e in questa base (a 1,, a n) si esprime come: (a 1, a 2, a 3,, a n) = d(b 1, b 2, 0,, 0) + (0, 0, a 3, a 4,, a n) = dm m 2 + a 3m a nm n Chiaramente, anche m 1, m 3,, m n, m 2 è una base di D n, nella quale le coordinate di a = (a 1, a 2,, a 3) sono (d, a 3, a 4,, a n, 0) Proposizione 49 Sia a = (a 1, a 2,, a n) D n, d = MCD(a 1,, a n) Allora esiste una base di D n in cui le coordinate di a sono (d, 0,, 0) Equivalentemente, esiste φ : D n D n invertibile tale che φ(a 1,, a n) = (d, 0, 0) Dimostrazione Applicando il lemma precedente n 1 volte, si trovano A-omomorfismi invertibili φ 1, φ 2, φ n tali che: (a 1,, a n) φ 1 (MCD(a 1, a 2), a 3,, a n, 0) φ 2 (MCD(a 1, a 2, a 3), a 4,, a n, 0, 0) φ 3 φn 1 (MCD(a 1,, a n), 0,, 0) La composizione φ n 1 φ n 2 φ 2 φ 1 è ancora un A-omomorfismo invertibile Teorema 410 a = (a 1,, a n) D n appartiene ad una base di D n MCD(a 1,, a n) = 1 Dimostrazione : lo abbiamo già visto nel Corollario 45 : Se MCD(a 1,, a n) = 1, allora esiste una base in cui le coordinate di a sono (1, 0,, 0), cioè una base della quale è il primo elemento Nel caso D = Z, MCD(a 1,, a n) misura quanti punti si vedono tra (a 1,, a n) e l origine I vettori che appartengono a basi di D n sono tutti e soli quelli che vedono l origine Nel seguito, chiamerò MCD(a 1,, a n) la lunghezza dell elemento (a 1,, a n), e la indicherò con l(a 1,, a n) È importante osservare che l(a 1,, a n) è un elemento di D definito a meno di moltiplicazione per un invertibile La dimostrazione precedente rende chiaro che la lunghezza è indipendente dalla base nella quale sono calcolate le coordinate Si noti che 1 è la lunghezza minima, mentre 0 è quella massima (!)

7 ALGEBRA I 7 5 LA FUNZIONE LUNGHEZZA E LE SUE PROPRIETÀ Se a = (a 1,, a n) D n, dove D è un dominio ad ideali principali, poniamo l(a) = MCD(a 1, a 2,, a n) L applicazione l associa ad ogni n-upla un elemento definito a meno di invertibili (cioè un elemento dell insieme quoziente D/ ottenuto da D considerando la relazione di equivalenza di essere uguali a meno di invertibili) Lemma 51 l(a 1,, a n) a 1 Inoltre l(a 1,, a n) = a 1 a 1 divide tutti gli a i Dimostrazione Sono ovvie proprietà del MCD Dirò che un elemento a N ha lunghezza minimale Vi ricordo che in un insieme parzialmente ordinato (X, ) un elemento x X è minimale se y X, y x x = y, ed è minimo se x y y X Ogni elemento minimo è anche minimale, ma il viceversa è generalmente falso Proposizione 52 Se N D n è un sottomodulo e (d, 0,, 0) N è un suo elemento di lunghezza minimale, allora per ogni (a 1,, a n) N, d divide tutti gli a i Dimostrazione Innanzitutto, mostriamo che d divide a 1 Se d 1 = MCD(d, a 1), allora esistono h, k D tali che d 1 = hd + ka 1, per l identità di Bézout Allora b = h(d, 0,, 0) + k(a 1,, a n) è un elemento di N, poiché combinazione lineare di elementi di N Inoltre il suo primo coefficiente è d 1 e quindi, per il lemma precedente, l(b) d 1 d = l(d, 0,, 0) Per la minimalità della lunghezza di d, 0,, 0), deve essere l(b) = d e quindi d = MCD(d, a 1) In altre parole, d divide a 1 Mostriamo adesso che d divide anche gli altri coefficienti a i Poiché (a 1,, a n) N, abbiamo già mostrato che d a 1 e quindi che a 1 = hd Allora anche c = (a 1,, a n) (h 1)(d, 0, 0) = (d, a 2,, a n) è un elemento di N, e l(c) d, poiché d è il suo primo coefficiente Per la minimalità della lunghezza di d, 0,, 0) deve essere l(c) = d; ma allora d divide a 2,, a n Osservazione 53 nelle ipotesi della proposizione precedente, abbiamo mostrato che la lunghezza di (d, 0,, 0) è in realtà minimo, poiché se (a 1,, a n) N, allora d divide ogni a i e anche il loro MCD = l(a 1, n) Di conseguenza d l(n) per ogni n N Corollario 54 Sia N D n+1 = D D n un sottomodulo, e supponiamo che un elemento della forma (d, 0,, 0) sia in N, e abbia lunghezza minimale tra gli elementi di N Allora esiste un sottomodulo N D n tale che N = (d) N D D n = D n+1 Dimostrazione Sia N = {a 1,, a n) D n (0, a 1,, a n) N} Se (a 0, a 1,, a n) N abbiamo visto che d divide a 0 Ma allora, se a 0 = dh si ha: (a 0, a 1,, a n) = h(d, 0,, 0) + (0, a 1,, a n), e (0, a 1,, a n) N poiché è la differenza di elementi in N Di conseguenza (a 1,, a n) N In conclusione, (a 0, a 1,, a n) (d) N per ogni scelta di (a 0,, a n) N, cioè N (d) N L altra inclusione è ovvia 6 NOE La classificazione dei moduli finitamente generati su PID può essere fatta senza fare appello alla relazione di divisibilità, ma risulta a mio avviso meno leggibile da studenti del primo anno La relazione di divisibilità è transitiva, ma non è una relazione d ordine non appena esistano elementi invertibili diversi da 1 In Z si può curare questo problema limitandosi a considerare elementi > 0, ma in altri anelli la cosa può diventare più complicata Se a divide b in un anello, è naturale considerare a più piccolo di b Questo si scontra con due problemi fondamentali: - dovremmo decidere che 2 è più piccolo di 6 perché 2 6; - 0 è l elemento più grande di tutti Se ignoriamo lo 0, e i problemi con i segni, però, almeno in Z torna tutto: a divide b implica a b In ciò che segue la relazione di divisibilità sarà quindi indicata con a b (va bene usare il minore o uguale, ma non confondiamo eccessivamente la notazione!) Osservazione 61 (Attenzione!) a b (a) (b) Più grande è l ideale, più è piccolo il generatore! Chiaramente, a b, b a vuol dire che (a) = (b), ma quello non garantisce che a = b Utilizzeremo la notazione a b o a b per intendere che (a) = (b) Proposizione 62 Sia A un dominio d integrità, ed indichiamo con a b se a divide b, e a b se a b, b a Allora: è una relazione di equivalenza è una relazione transitiva è una relazione d ordine su A / Poiché a b x A invertibile tale che b = ax, useremo la notazione A / A invece di A /, dopo aver indicato con A l insieme degli invertibili di A Osservazione 63 (1) a 1 a è invertibile (2) se a n con n invertibile, allora a n, cioè anche a è invertibile (3) a 0 a A

8 8 ALGEBRA I Dimostrazione (1) a 1 vuol dire ceh a coincide con 1 a meno di moltiplicazione per un invertibile, ed è cioè invertibile (2) a n significa che a n, cioè n = ax Poiché n è invertibile, si ha 1 = nn 1 = a(xn 1 ) e quindi an 1 è l inverso di a (3) a 0 poiché 0 = a 0 Nelle notazioni scriveremo spesso a invece di [a] per indicare la sua classe di equivalenza in A / A Osservazione 64 (IMPORTANTE) Il MCD di elementi di A è un elemento di A / A, tanto è vero che abbiamo sempre parlato di UN MCD e non del MCD I vari MCD di due elementi di A differiscono per un invertibile, e coincidono quindi in A / A Quando scriviamo MCD(10, 15) = 5 intendiamo entrambi i membri in Z / Z, e quindi MCD(10, 15) = 5 ha lo stesso significato MCD(a, b) = d significa in realtà l uguaglianza di ideali (a, b) = (d), da cui segue l identità di Bézout d = ha + kb Teorema 65 Sia D un dominio a ideali principali Allora ogni catena crescente di ideali I 1 I 2 I 3 I n si stabilizza, cioè esiste N tale che I n = I N n N Dimostrazione È facile mostrare che l unione I = n=1 essendo D a ideali principali Poiché d n=1 allora, se i N si ha I N I i = (d) i N In è un ideale di D Ma allora I = (d) per qualche d I, In, deve appartenere ad almeno uno degli In, diciamo ad IN Ma, In = (d), abbiamo entrambe le inclusioni, e I i e quindi (d) = I i Poiché I i n=1 Commento: Il teorema appena mostrato spiega che non è possibile costruire una catena infinitamente lunga di ideali ciascuno contenuto strettamente nel successivo Se andiamo avanti a prendere ideali sempre più grandi, prima o poi arrivamo all intero anello (o se l intero anello è vietato, ad un ideale massimale) Questa condizione si chiama noetherianità, e abbiamo appena mostrato la noetherianità dei PID Corollario 66 Sia F una famiglia non vuota di ideali di un dominio a ideali principali D Allora F contiene elementi massimali Dimostrazione scegliamo un ideale I 1 F Se non vi sono altri ideali di più F grandi abbiamo finito Altrimenti possiamo trovare I 2 F tale che I 1 I 2 Questo processo non può continuare all infinito poiché non esistono catene strettamente crescenti di lunghezza infinita, e condurrà quindi ad individuare un elemnto massimale di F Poiché ideali in un PID D ed elementi di D / D sono la stessa nozionale, e (a) (b) si traduce in a b abbiamo: Corollario 67 ogni sottoinsieme non vuoto di D / D possiede elementi minimali rispetto a In altri termini, l unico modo di costrure catene infinite di divisibilità d n d 3 d 2 d 1 per elementi di D è di prenderli tutti associati tra loro, da un certo punto in poi (cioè uguali in D / D ) Questo innocuo corollario ci servirà nella dimostrazione del teorema di classificazione dei moduli finitamente generati su un PID, quando avremo bisogno di scegliere un elemento di D n di lunghezza minima, poiché la lunghezza sarà un MCD, e quindi un elemento di D / D 7 SOTTOMODULI DI MODULI LIBERI Sia D un dominio ad ideali principali, N D n un sottomodulo Teorema 71 esiste un D-omomorfismo invertibile φ : D n D n tale che: dove: φ(n) = (d 1) (d 2) (d n), d 1 d 2 d n+1 e d 1 = min n N l(n) Dimostrazione per induzione su n Se n = 1, allora N D è un ideale, ed è quindi della forma (d) d divide ogni altro elemento di N, e quindi d n n N Supponiamo che l enunciato valga per n e dimostriamolo per n + 1 Se N D n+1, sappiamo che esiste n N di lungezza minimale d 1 e che esiste φ 1 : D n+1 D n+1 tale che φ(n) = (d 1, 0,, 0) Poiché (d 1, 0,, 0) appartiene al sottomodulo φ 1(N) D n+1 e ha lunghezza minimale, allora la sua lunghezza è minima, e gli altri elementi di φ 1(N) hanno tutti lunghezza multipla di d 1 Abbiamo anche visto che φ 1(N) = (d 1) N con N D n sottomodulo Per ipotesi induttiva, esiste un A- omomorfismo inveritibile φ 2 : D n D n tale che φ 2(N ) = (d 2) (d 3) (d n+1) con d 2 d 3 d n+1 Inoltre d 1 d 2 poiché d 2 è il minimo della lunghezza degli elementi di N e tali elementi hanno lunghezza multipla di d 1 In conclusione: ((Id φ 2) φ 1)(N) = (d 1) (d 2) (d n+1), con d 1 d 2 d n e d 1 = min n N l(n)

9 ALGEBRA I 9 8 CLASSIFICAZIONE DEI MODULI FINITAMENTE GENERATI SU DOMINI A IDEALI PRINCIPALI Teorema 81 Sia D un dominio a ideali principali, e M un D-modulo finitamente generato, Allora esistono d 1 d 2 d n in D tali che: M D / (d 1) D / (d 2) D / (d n) Dimostrazione Siamo m 1,, m n M generatori Possiamo costruire un omomorfismo suriettivo D n f M Per il teorema di omomorfismo, M Dn/ ker f, dove ker f è un sottomodulo A meno di un isomorfismo di Dn, ker f è della forma (d 1) (d 2) (d n) con d 1 d 2 d n, e quindi: D / ker f DN/ (d 1) (d 2) (d n) = D D D/ (d 1) (d 2) (d n) = D/ (d 1) D/ (d 2) D/ (d n) Se d i è invertibile, (d 1) = D, D / D = (0) può essere rimosso dalla somma diretta Osservazioni 82 I moduli D / (d 1) sono D-moduli ciclici, e si può quindi dire che i moduli finitamente generati sono tutti somma diretta di moduli ciclici Gli elementi d 1, d 2,, d n sono univocamente determinati di M, sotto la condizione che d 1 d 2 d n e nessuno di essi è invertibile, ma questo segue dalla dimostrazione data DIPARTIMENTO DI MATEMATICA, UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA LA SAPIENZA address:

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