Reticoli, basi e strutture cristalline in 1D

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Carmelo Tonelli
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1 Reticoli, basi e strutture cristalline in 1D a a vettore primitivo del reticolo diretto (o di Bravais) R = na n=1,2,. vettori principali del reticolo diretto di Bravais, unidimensionale e di parametro a base, biatomica Cristallo unidimensionale con base biatomica: soddisfa una simmetria traslazionale, ossia non cambia per traslazioni di un qualsiasi vettore principale del reticolo diretto

2 Reticoli, basi e strutture cristalline in 2D Una struttura cristallina e simmetrica per traslazione di un vettore R del reticolo diretto: in 2D, la disposizione degli atomi di un cristallo non cambia quando gli atomi sono visti dal ' generico punto r o dal punto r r R r n a n b. 1. Un cristallo e pertanto formato da atomi disposti secondo un reticolo ordinato definito dai due vettori di traslazione fondamentali, o primitivi, a, b (la cui scelta e, in parte, arbitraria). 1 2 Un reticolo e l insieme di tutti i punti r definiti dalla (1) per tutti i valori interi di n 1, n 2, ovvero e una disposizione regolare e periodica di punti nello spazio.

3 Reticolo diretto di Bravais in 2D In 2D possono esistere solo 5 reticoli di Bravais distinti che soddisfano la simmetria traslazionale [obliquo (1), rettangolare (2), rettangolare centrato (3), esagonale (4), e quadrato (5), che costituiscono anche i gruppi di simmetria di punto del reticolo].

4 Simmetrie proibite di un cristallo Possono far parte del gruppo puntuale di un cristallo solo rotazioni di 2 n, n 1,2,3,4,6.e loro multipli. NON sono possibili simmetrie puntuali quinquenarie o settenarie.

5 Reticolo di Bravais in 2D: vettori e celle primitive Vettori primitivi sono detti le coppie di vettori di traslazione fondamentali (a 1, b 1 ), (a 2, b 2 ), e (a 3, b 3 ) che portano da un punto del reticolo diretto a qualsiasi altro punto equivalente del reticolo con una traslazione R=n 1 a+n 2 b per un opportuna scelta degli interi n 1 e n 2. a 4 e b 4 NON sono pertanto una coppia di vettori primitivi. Celle primitive sono le celle definite dalle coppie di vettori primitivi (a i, b i ). Sono le celle di volume minimo che mappano esattamente tutto il volume del cristallo, senza sovrapposizioni, per traslazioni R.

Cella primitiva di Wigner-Seitz Cella unitaria e una cella che riempe tutto il cristallo per operazioni di traslazione, anche con sovrapposizioni.

6 Cella primitiva di Wigner-Seitz Cella unitaria e una cella che riempe tutto il cristallo per operazioni di traslazione, anche con sovrapposizioni. La cella primitiva e la piu piccola cella unitaria ossia la cella unitaria di volume minimo. Per costruzione, contiene un solo punto reticolare e i soli atomi della base. Spesso i vettori di traslazione primitivi vengono usati per definire gli assi cristallografici, che formano i tre spigoli adiacenti di un parallelepipedo. A volte si usano assi non primitivi, quando sono piu convenienti o piu semplici.

Pertanto contiene un solo punto reticolare ed e una cella primitiva.

7 Cella di Wigner-Seitz in 2D Fra tutte le possibili celle primitive, la cella di Wigner-Seitz e quella cella contenente tutti i punti piu vicini a un singolo sito reticolare. Pertanto contiene un solo punto reticolare ed e una cella primitiva. E data dalla minore delle superfici chiuse ottenute tagliando a meta con segmenti le congiungenti un punto del reticolo con tutti i suoi vicini.

8 Reticoli, basi e strutture cristalline in 2D Una struttura cristallina viene definita quando a ciascun punto del reticolo viene associata una stessa base di atomi reticolo + base = struttura cristallina

9 Cristalli: reticolo diretto di Bravais in 3D Come in 2D, in 3D un reticolo diretto di Bravais definisce la ripetizione spaziale regolare e periodica di unita strutturali identiche singoli atomi, gruppi di atomi, ioni, etc disposte in ciascun punto reticolare: queste unita costituiscono la base del reticolo. Un reticolo tridimensionale consiste di tutti i punti definiti dal vettore posizione R n a 1 1 n2a2 n3a3 con, a e terna di vettori di traslazione fondamentali e n, n e interi a1 2 a3 1 2 n3 Ogni terna di vettori definisce una cella unitaria. Quella di volume minimo e detta cella primitiva e i vettori che la definiscono sono detti i vettori primitivi. La densita di punti reticolari in una cella primitiva e pari a 1 (come evidente per la cella di Wigner e Seitz). N.B. la densita di atomi e invece pari al numero di atomi della base e la densita di massa e data, anche, dalla massa degli atomi della base diviso il volume della cella primitiva

A causa della natura periodica del reticolo di Bravais ogni punto ha lo stesso numero di primi vicini.

10 Cristalli: reticolo diretto di Bravais in 3D In 3D i gruppi puntuali sono associati a 14 reticoli di Bravais distinti. Si chiamano primi vicini i punti del reticolo più vicini ad un dato punto del reticolo stesso. A causa della natura periodica del reticolo di Bravais ogni punto ha lo stesso numero di primi vicini. Si chiama numero di coordinazione il numero di primi vicini: cs (6), ccc(8), cfc (12). Tale grandezza è una proprietà fondamentale del reticolo. Il numero di punti (siti) per cella unitaria e invece 1, 2, 4. Relazione fra reticolo esagonale e cella primitiva trigonale

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