Università del Piemonte Orientale. Corsi di Laurea Triennale di area tecnica. Corso di Statistica Medica

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1 Università del Piemonte Orientale Corsi di Laurea Triennale di area tecnica Corso di Statistica Medica Campionamento e distribuzione campionaria della media Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 1

2 Argomenti della lezione - Perché estrarre un campione. - Definizione di popolazione e campione. - Relazione tra popolazione e campione - Proprietà delle statistiche campionarie. Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 2

3 Le statistiche campionarie fanno parte della vita di tutti i giorni - Il docente interroga un campione di allievi per verificare la comprensione della classe. - Il cuoco assaggia un campione di pasta per valutarne la cottura. - Il farmacologo valuta la risposta ad un farmaco su un campione di pazienti. - La ditta di sondaggi prevede l esito delle elezioni interrogando un campione della popolazione. - ecc. ecc. Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 3

4 I risultati campionari non interessano di per sé ma solo perché consentono di trarre conclusioni generali valide per tutta la popolazione da cui il campione è stato estratto. Questo processo si chiama inferenza statistica. Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 4

5 Campionamento ed inferenza sono due processi simmetrici Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 5

6 Il percorso dell inferenza statistica si svolge secondo le seguenti fasi: 1. estrazione di un campione della popolazione 2. calcolo delle statistiche campionarie, cioè dei valori corrispondenti ai dati contenuti nel campione 3. stima dei parametri nella popolazione in base ai risultati forniti dal campione. Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 6

7 Argomenti della lezione - Perché estrarre un campione. - Definizione di popolazione e campione. - Relazione tra popolazione e campione e proprietà delle statistiche campionarie. Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 7

8 Popolazione: insieme di tutti i valori realizzati o possibili di una data variabile insieme che raccoglie tutte le osservazioni possibili, relativamente ad una data variabile o ad un dato fenomeno. può essere finita (comunque molto grande) o infinita trattiamo come popolazioni anche insiemi che non sono enumerabili e che si realizzeranno nel futuro: es. quando ci riferiamo ai malati di una certa malattia vogliamo formulare una previsione valida anche per i casi che non sono ancora stati diagnosticati. Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 8

9 Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 9

10 Campione: raccolta finita di elementi estratti da una popolazione scopo dell estrazione è quello di ottenere informazioni sulla popolazione pertanto il campione deve essere rappresentativo della popolazione da cui viene estratto ( non viziato ) per corrispondere a queste esigenze il campione viene individuato con un campionamento casuale. Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 10

11 Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 11

12 Secondo quali modalità possiamo estrarre un campione? I principali metodi di campionamento: Campionamento casuale semplice Campionamento sistematico Campionamento stratificato Campionamento a grappoli Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 12

13 In un campionamento casuale semplice tutti gli individui nella popolazione hanno uguale probabilità di essere inclusi nel campione. - individui nella popolazione = "unità di campionamento" - popolazione oggetto dello studio = "popolazione bersaglio" - popolazione effettivamente campionabile (al netto dell'effetto di fattori di selezione) = "popolazione studio " o base di campionamento - distorsioni di selezione = errori che rendono non uniforme la probabilità di essere inclusi nel campione. (es un campionamento condotto tramite l'uso dell'elenco telefonico esclude le famiglie senza telefono, pertanto la popolazione bersaglio e la base di campionamento potrebbero non corrispondere, causando così una distorsione di selezione) Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 13

14 Nella pratica del campionamento debbo disporre di una base di campionamento. La base di campionamento corrisponde all elenco dei soggetti da cui materialmente estraggo il campione. Per effettuare un vero campionamento ho bisogno che la base di campionamento corrisponda ad un elenco (lista) di individui identificabili. Se la base di campionamento e la popolazione bersaglio discordano, si verifica una distorsione di selezione. Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 14

15 Assunzioni per la validità del campionamento I metodi della statistica campionaria assumono che: - non vi siano errori sistematici (bias) di selezione - la base di campionamento corrisponda alla popolazione bersaglio. Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 15

16 Il campionamento viene di solito condotto predefinendo la dimensione del campione. Si calcola quindi la frazione di campionamento, cioè la probabilità che un dato individuo sia estratto ed entri a far parte del campione. Data una popolazione con N individui ed un campione di C individui (dove N è molto grande rispetto a C) la probabilità per l i-esimo individuo è C/N. Frazione di campionamentoψ = dimensione del campione dimensione della popolazione Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 16

17 Nel campionamento casuale semplice la stessa frazione di campionamento viene applicata a tutta la popolazione. Se la frazione di campionamento è piccola (C << N), Ψ si mantiene praticamente costante anche se i soggetti campionati escono dalla popolazione. Altrimenti Ψ varia nel corso del campionamento ed occorre tenerne conto applicando una correzione (correzione per la popolazione finita) Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 17

18 Campionamento stratificato N. nella popolazione N. nel campione Frazione di campionamento Strato 1 Maschi N1 C1 ψ 1 Strato 2 Femmine N2 C2 ψ 2 Obiettivi : 1.tutti gli strati siano rappresentati nel campione con numerosità sufficiente 2. controllo della proporzione dei soggetti nei diversi strati, non lasciandola esposta alla variabilità casuale Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 18

19 Esempio: in uno studio epidemiologico sul tumore polmonare voglio che maschi e femmine siano rappresentati con la stessa numerosità. La frequenza relativa nella popolazione dei casi di tumore polmonare è di 10 uomini : 1 donna. Con un campione casuale semplice mi aspetto di trovare solo il 10% di donne. Procedo quindi ad un campionamento stratificato Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 19

20 Base di campionamento: i casi di tumore polmonare incidenti (cioè di nuova diagnosi) nella popolazione di Torino negli anni Debbo includere nel campione 100 uomini e 100 donne. Strato 1 Strato 2 N. nella popolazione N. campione Frazione di campionamento Maschi / 3355 = 0,0298 Femmine / 847 = 0,1181 Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 20

21 Il campionamento a grappolo (anche detto a cluster). Esempio: voglio verificare l efficacia di due diversi trattamenti per la disassuefazione dal fumo. Entrambi i trattamenti devono essere proposti dal medico di base. Procedo in due fasi: 1. campione dei medici (10 medici tra tutti i medici di base di Novara) 2. campione degli assistiti dei medici campionati nella fase 1 (20 assistiti per ciascun medico) Totale del campione : 10 medici x 20 assistiti = 200 assistiti. Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 21

22 Schema di campionamento a grappolo campione Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 22

23 Altri schemi di campionamento: Campionamento sistematico; Campionamento non probabilistico (selezione per quote). Metodi sconsigliati Campionamento sistematico ("a passo fisso", es. una osservazione ogni 10) potrebbe nascondere distorsioni di selezione. Campionamento non probabilistico o selezione per quote non è un campionamento Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 23

24 Un campione casuale corrisponde alla popolazione? Definiamo statistica campionaria la statistica calcolata per le osservazioni che compongono il campione. In generale, le statistiche campionarie sono definite in modo tale da essere degli stimatori non distorti della statistica calcolata per la popolazione. Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 24

25 Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 25

26 Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 26

27 Argomenti della lezione - Perché estrarre un campione. - Definizione di popolazione e campione. - Relazione tra popolazione e campione e proprietà delle statistiche campionarie. Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 27

28 Il campione casuale corrisponde alla popolazione? Esaminiamo il caso della media campionaria (la media calcolata per le osservazioni che compongono il campione). Un campione casuale ha le seguenti proprietà: - Il valore atteso della media calcolata sul campione (media campionaria) è la media della popolazione, in altre parole la media campionaria è una stima non distorta della media della popolazione. Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 28

29 Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 29

30 E per quanto riguarda la varianza campionaria? Il valore atteso della varianza campionaria (calcolata con n-1) è la varianza della popolazione, in altre parole la varianza campionaria (calcolata con n-1) è una stima non distorta della varianza della popolazione. Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 30

31 Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 31

32 La stima fornita dal singolo campione è comunque affetta da incertezza, a causa dell'errore casuale del campionamento. In generale quindi possiamo dire che la precisione della stima fornita da un campione (stima campionaria) sarà maggiore con: - inferiore variabilità nella popolazione - maggiore dimensione del campione Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 32

33 La distribuzione di probabilità dei valori delle medie campionarie Immaginiamo di ripetere un campionamento per molte volte. Per ciascuno dei campioni calcoliamo la media (la media campionaria ). Calcoliamo media e deviazione standard delle medie campionarie. Esaminiamo alcuni esempi di risultati con strumenti grafici: Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 33

34 Vediamo alcuni esempi relativi alle proprietà dei campioni n = 9 Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 34

35 Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 35

36 Osserviamo che: La media delle medie campionarie corrisponde alla media della popolazione (µ) La variabilità della distribuzione delle medie campionarie è inferiore alla variabilità nella popolazione. Campioni più grandi daranno una distribuzione con variabilità inferiore. La forma della distribuzione di frequenza delle medie campionarie è gaussiana, anche se la popolazione di partenza non lo è. Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 36

37 Variabilità della distribuzione delle medie campionarie La deviazione standard della distribuzione delle medie campionarie viene indicata anche come Errore Standard della Media (abbreviato in Errore Standard o ES). σ = dev. standard della popolazione ES = σ n ES dipende dalla variabilità nella popolazione e dalla dimensione campionaria Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 37

38 variabilità nella popolazione E. S. = σ n dimensione del campione Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 38

39 Conclusione / riepilogo Il valore atteso della media campionaria è la media della popolazione. Il valore atteso della varianza campionaria calcolata con il denominatore (n-1)è la varianza della popolazione. La variabilità della distribuzione delle medie campionarie è inferiore alla variabilità nella popolazione. Campioni più grandi avranno distribuzione con variabilità inferiore. La deviazione standard delle medie campionarie viene indicata anche come Errore Standard La forma della distribuzione di frequenza delle medie campionarie è normale. Questo accade anche se la distribuzione nella popolazione non è normale, purchè il campione sia abbastanza numeroso. Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 39

40 Vediamo alcuni esempi relativi alle proprietà dei campioni n = 9 Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 40

41 on campioni più grandi la distribuzione delle medie campionarie ha variabilità inferiore n = 40 Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 41

42 Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 42

43 Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 43

44 Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 44

45 Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 45

46 Applicazione: Estrazione di piccoli campioni: tavola dei numeri casuali Procedura per il campionamento con tavola dei numeri casuali: 1. Le osservazioni che compongono la popolazione (base di campionamento) vengono numerate in ordine progressivo da 1 a N; 2. Viene scelto un punto di partenza sulla tavola dei numeri casuali (es. a occhi chiusi si segna un punto); 3. Viene letto ( estratto ), a partire dal punto così individuato, un numero di M cifre, dove M è pari al numero di cifre del numero totale di osservazioni nella popolazione (es. se la popolazione è di 300 persone useremo numeri di 3 cifre, se di 4500 persone useremo numeri di 4 cifre); Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 46

47 . Viene inclusa nel campione l osservazione con numero progressivo pari al numero estratto; se il numero estratto è superiore a N si estrae un altro numero.. Si ripete la procedura leggendo i numeri successivi dalla tavola, fino a che non è stato estratto il numero richiesto di osservazioni. e tavole dei numeri casuali possono essere prodotte con appositi programmi di calcolo. Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 47

48 Tavola dei numeri casuali (esemplificativa) Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 48

49 Esempio: estrazione di un campione di 10 soggetti da una base di 120. La base è elencata nella tabella allegata Dovrò scegliere numeri di 3 cifre. Decido che procederò progressivamente per colonna, dall alto i basso. In modo casuale individuo il punto sottolineato come punto di partenza. I successivi valori inferiori a 120 sono annotati in grassetto. I valori 040, 011, 026, 045, 088 corrispondono ai soggetti da campionare. Tali soggetti sono evidenziati nella tabella successiva con indicati i valori di emoglobina. Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 49

50 Tavola dei numeri casuali Corsi di laurea triennale di area tecnica Corso di Statistica Medica Campionamento 50

51 Numero Hb Numero Hb Numero Hb progressivo progressivo progressivo Corsi 40 di laurea 142 triennale di area tecnica 80 - Corso 147 di Statistica Medica - Campionamento 51

52 I valori di emoglobina dei soggetti inseriti nel campione sono: 137, 141, 142, 142, 148 La media campionaria è: 142,0 La deviazione standard campionaria è: 3,9 Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 52

53 Esercizi consigliati da: Fowler et al, ed Edises. Cap 2 (p 209) es 5 Cap 2 (p 209) es 6 Cap 2 (p 209) es 8 Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Campionamento 53

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