Università del Piemonte Orientale. Corsi di Laurea Triennale. Corso di Statistica e Biometria. Introduzione e Statistica descrittiva

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1 Università del Piemonte Orientale Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria Introduzione e Statistica descrittiva Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 1

2 Statistica Funzioni Descrittiva Induttiva (inferenziale) Statistica descrittiva : sintesi delle informazioni in pochi valori sintetici presentazione grafica (opzionale). descrizione della variabilità dei dati Statistica induttiva: formulazione di previsioni (leggi generali) sulle caratteristiche della popolazione (universo dei dati) partendo da un campione. Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 2

3 Popolazione: insieme di tutti i valori realizzati o possibili di una variabile insieme che raccoglie tutte le osservazioni possibili, relativamente ad una data variabile o ad un dato fenomeno. può essere finita (comunque molto grande) o infinita Attenzione i seguenti termini: individui, soggetti, unità statistiche sono sinonimi. Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 3

4 Campione: raccolta finita di elementi estratti da una popolazione scopo dell estrazione è quello di ottenere informazioni sulla popolazione pertanto il campione deve essere rappresentativo della popolazione da cui viene estratto ( non viziato ) per corrispondere a queste esigenze il campione viene individuato con un campionamento casuale (metodi descritti nelle lezioni successive). Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 4

5 La statistica opera su dati che definiamo variabili. I dati di interesse vengono raccolti (misurati) per tutti i soggetti inclusi nella popolazione o nel campione. Il termine variabile sottolinea che il valore cambia da un soggetto all altro. I dati che non cambiano di valore sono denominati costanti. Alcune definizioni di variabile : - una caratteristica che varia da un entità biologica ad un altra (J.H.Zar) - qualunque genere di misura di cui si eseguano rilievi individuali è detta variabile (P.Armitage) Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 5

6 Il valore delle variabili è conosciuto attraverso un processo di misurazione a livello di ciascun individuo (unità statistica). Livello di misurazione (categorie di variabili) Categoriche Nominale Solo classificazione, senza ordinamento Es sesso, specie, area geografica, scuola Ordinale Classificazione con ordinamento, ma con distanza tra i valori ignota Es. Punteggio scolastico, valutazioni cliniche Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 6

7 Numeriche Variabili numeriche continue: possono assumere tutti i valori in un intervallo, di regola sono prodotte da operazioni di misura (altezza, peso, valori di laboratorio. Variabili numeriche discrete (quando solo alcuni valori sono possibili, ad esempio i valori corrispondenti ai numeri reali interi come l età in anni compiuti; di regola sono prodotte da operazioni di conteggio). 1 1 Inoltre possiamo suddividere le variabili numeriche secondo l unità di misura. Intervallo Rapporto Distanza tra i valori nota, valori espressi su una scala arbitraria. Es. temperatura in gradi centigradi. Distanza tra i valori nota, su una scala naturale. Es. temperatura in gradi Kelvin, età, tempo Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 7

8 Quali statistiche possiamo applicare in relazione a ciascun tipo di variabili? Tipo di variabile Categoriche Numeriche Nominale Ordinale 1 sola variabile Frequenza SI SI SI Frequenza cumulativa NO SI SI Istogrammi SI (no istogrammi cumulativi) SI SI Media NO NO SI Mediana NO NO SI Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 8

9 Quali statistiche possiamo applicare in relazione a ciascun tipo di variabili? Tipo di variabile Categoriche Numeriche Nominale Ordinale 2 variabili insieme Frequenza SI SI SI Frequenza cumulativa NO SI SI Istogrammi SI (no istogrammi cumulativi) SI SI Correlazione NO NO SI Regressione NO NO SI Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 9

10 Distribuzione di frequenza Indichiamo come frequenza ( frequenza assoluta) il numero di osservazioni con la caratteristica in esame (ad es. con un dato valore della variabile in studio). Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 10

11 Distribuzione di frequenza: procedure Variabili categoriche: 1. definire i possibili valori della variabile 2. predisporre l elenco dei possibili valori (se ordinali in ordine crescente) 3. contare quante osservazioni per ciascun valore 4. calcolare le corrispondenti proporzioni (eventualmente come percentuali) 5. calcolare le frequenze cumulative (somma della frequenza delle osservazioni con valore della variabile inferiore od uguale al valore considerato) e le relative percentuali Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 11

12 1. e 2. Risultato scolastico Insufficiente Sufficiente Buono Distinto Ottimo Totale Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 12

13 3. Risultato frequenza scolastico Insufficiente 4 Sufficiente 8 Buono 7 Distinto 4 Ottimo 5 Totale 28 Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 13

14 Prima di procedere, rivediamo le definizioni di - Proporzione o frequenza relativa - Percentuale o frequenza relativa percentuale. La proporzione si esprime la relazione quantitativa tra una parte ed il tutto (peso di una fetta rispetto al peso dell intera torta). La si calcola con una frazione in cui il numeratore è compreso nel denominatore: p= parte / totale Es in un gruppo di studenti abbiamo 12 maschi e 24 femmine. Proporzione di maschi = 12 / è il numero totale di studenti ( ). I limiti di una proporzione sono 0 e 1 0 <= p <= 1 Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 14

15 Percentuale: indica una proporzione od una variazione riferiti ad una base di 100. In questo corso la percentuale è sempre utilizzata solo come proporzione riferita ad una base di 100. Percentuale= % = Proporzione * 100. Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 15

16 4. Risultato scolastico Frequenza Proporzione (frequenza relativa) Insufficiente Sufficiente Buono Distinto Ottimo Totale Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 16

17 Riepilogo: Come si calcola una proporzione? P = x / totale Dove: P = proporzione x = frequenza assoluta nella classe o categoria Totale = numero totale di soggetti La proporzione ha valori possibili compresi tra 0 e 1 Percentuale = proporzione * 100 Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 17

18 Nelle pagine seguenti sono presente alcune rappresentazioni grafiche (istogrammi e diagramma a torta) corrispondenti alle distribuzioni di frequenza considerate negli esempi precedenti. Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 18

19 esempio di diagramma a barre con variabile ordinale (totale= 28 osservazioni) numero di bambini (frequenza) Insufficiente Sufficiente Buono Distinto Ottimo risultato scolastico Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 19

20 esempio di diagramma a barre con variabile ordinale e distribuzione di frequenza relativa (proporzione) proporzione Insufficiente Sufficiente Buono Distinto Ottimo risultato scolastico Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 20

21 diagramma a torta, variabile categorica ordinale. Viene indicata la percentuale corrispondente a ciascun valore Ottimo 19% Insufficiente 14% Distinto 14% Sufficiente 28% Buono 25% Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 21

22 Esempio con variabile numerica discreta non riunita in classi ETA in anni compiuti Elenco di tutti i valori possibili (intervallo definito arbitrariamente da 30 a 99) Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 22

23 Segue (sono conteggiati solo i valori con almeno una osservazione ETA Frequenza totale 430 Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 23

24 Segue (sono conteggiati solo i valori con almeno una osservazione, per i restanti valori la frequenza ha valore 0) ETA Frequenza Percent Totale Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 24

25 Distribuzione di frequenza: Variabili numeriche (sia discrete sia continue) occorre definire gli intervalli dei possibili valori (classi) 1. gli intervalli debbono essere definiti in modo che tutte le possibili osservazioni cadano in una ed una sola classe 2. gli intervalli siano di uguale ampiezza (se possibile, semplifica la preparazione di istogrammi) Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 25

26 Se le variabili sono numeriche occorre definire i intervalli dei valori della variabile (classi) 1. gli intervalli debbono essere definiti in modo che tutte le possibili osservazioni cadano in una ed una sola classe 2. è opportuno che gli intervalli siano di uguale ampiezza (se possibile) Esempio: ETA ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ 30<=x<40 40<=x<50 50<=x<60 60<=x<70 70<=x<80 80<=x<90 90<=x<100 Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 26

27 I segni: = es x=1! include solo i soggetti con variabile X di valore 1 >= x>=1! include i soggetti con variabile X di valore 1 (incluso) o superiore ad 1 > x>1! include solo i soggetti con variabile X di valore superiore ad 1 < <= Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 27

28 3. calcolare le corrispondenti distribuzioni di frequenza e proporzioni semplici e cumulative Frequenza Cumulative ETA Frequenza Percent Cumulativa Percent ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ 30<=x< <=x< <=x< <=x< <=x< <=x< <=x< Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 28

29 Distribuzione di frequenza cumulative La frequenza cumulativa è somma della frequenza delle osservazioni con valore della variabile inferiore od uguale al valore considerato. Calcolata la frequenza cumulativa si può calcolare la corrispondente percentuale. Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 29

30 Esempio di calcolo di frequenza cumulativa ETA Frequenza Percent Frequenza Cumulativa = = = = = Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 30

31 Esempio.Frequenza Percentuale ETA Frequenza Percent Cumulativa Cumulativa totale Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 31

32 Istogrammi : rappresentazione grafica di distribuzioni di frequenza Vengono disegnati su un grafico dei rettangoli, uno per ciascun valore o intervallo di valori della variabile. L area dei rettangoli è proporzionale alla frequenza di osservazioni, E opportuno quindi che i rettangoli abbiano tutti base uguale Variabili categoriche: i rettangoli possono essere distanziati. Variabili numeriche: i rettangoli non devono essere distanziati. Come disporre i valori Ascisse: valori della variabile Ordinate: Frequenza (assoluta o percentuale, semplice o cumulativa, a scelta) Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 32

33 Per disegnare correttamente un istogramma è necessario avere l occorrente per tracciare rette parallele e perpendicolari: - 1 matita a punta fine - 2 squadre oppure 1 squadra ed 1 righello - gomma per cancellare Per i diagrammi a torta occorre un goniometro. Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 33

34 Attenzione, il modo di indicare gli intervalli di questo grafico non è corretto. Come esercizio riportare gli intervalli come indicato a lezione Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 34

35 Attenzione, il modo di indicare gli intervalli di questo grafico non è corretto. Come esercizio riportare gli intervalli come indicato a lezione Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 35

36 Attenzione, il modo di indicare gli intervalli di questo grafico non è corretto. Come esercizio riportare gli intervalli come indicato a lezione Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 36

37 Esempio di istogramma che rappresenta la distribuzione di frequenza di una variabile numerica discreta. Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 37

38 Esempio di istogramma che rappresenta la distribuzione di frequenza cumulativa di una variabile numerica discreta. Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 38

39 Esempio di distribuzione di frequenza ed istogrammi con variabile numerica continua. La tabella presenta la concentrazione di emoglobina (espressa in g/l) misurata in 51 campioni. Voglio: 1. Suddividere le osservazioni per classi 1 grammo per / 100 ml, definendo in modo esplicito i limiti di ciascuna classe. 2. Calcolare la distribuzione di frequenza e disegnare il grafico corrispondente. Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 39

40 Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 40

41 Fase 1: definizione delle classi classi 12 <= x < <= x < <= x < <= x < <= x < 17 Totale Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 41

42 Fase 2: frequenze assolute classi Frequenza 12<= x < <= x < <= x < <= x < <= x < 17 1 Totale 51 Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 42

43 Fase 3 Percentuali classi Frequenza (numeri Percentuale sul totale assoluti 12<= x < ,0% 13 <= x < ,6% 14 <= x < ,9% 15<= x < ,5% 16<= x < ,0% Totale ,0% Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 43

44 distribuzione di frequenza di una variabile numerica ti Numero osservazioni. (Frequenza) <= x < <= x < <= x < 15 15<= x < 16 16<= x < 17 Concentrazione di emoglobina (g/100ml) Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 44

45 Distribuzione di frequenza di 2 variabili Il procedimento è analogo a quanto descritto per una sola variabile ma più complesso per la necessità di classificare ciascun soggetto per due variabili contemporaneamente. Il procedimento segue queste fasi: 1. definire i possibili valori di ciascuna delle due variabili 2. scrivere una tabella con le due variabili a definire le righe e le colonne 3. scrivere i valori delle variabili in ordine crescente 4. contare quante osservazioni per ciascuna combinazione di valori 5. calcolare i totali di riga, colonna e tabella 6. calcolare le corrispondenti proporzioni (eventualmente come percentuali) riferite a: totale generale, totale di riga, tot. di colonna Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 45

46 Problema: descrivere l associazione tra arteriopatia ed abitudine al fumo (due variabili categoriche) in uno studio su 200 pazienti: 1. identifico le variabili ed i valori possibili Var. A (arteriopatia), nominale, valori possibili = 2 (es. malato, sano) Var B (fumo), nominale, valori possibili = 3 (es. non fumatore, ex fumatore, attuale fumatore) 2. preparo una tabella con le due variabili a definire le righe e le colonne Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 46

47 Fumo Mai Ex Malato Arteriopatia Sano Totale Attuale Totale Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 47

48 Fumo Arteriopatia Totale Malato Sano Mai Ex Attuale Totale Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 48

49 Percentuali sul totale delle osservazioni Arteriopatia % totale Malati Sani Totale Malati Sani % % F Mai ,0 21,5 U Ex ,0 22,5 M attuale ,0 24,0 O Totale ,0 Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 49

50 Istogrammi da tabella con 2 variabili Percentuali sul totale delle osservazioni 30,0 25,0 20,0 % 15,0 Malati Sani 10,0 5,0 0,0 Mai Ex attuale Malati 4,0 13,0 15,0 Sani 21,5 22,5 24,0 Fumo Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 50

51 Istogrammi da tabella con 2 variabili Percentuali sul totale delle osservazioni 25,0 20,0 15,0 % 10,0 5,0 Malati Sani 0,0 Sani Mai Fumo Ex attuale Malati Mai Ex attuale Malati 4,0 13,0 15,0 Sani 21,5 22,5 24,0 Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 51

52 Percentuali sul totale di riga F U M O Arteriopatia %riga Malati Sani Totale Malati Sani % % % Mai ,7 84,3 100,0 Ex ,6 63,4 100,0 attuale ,5 61,5 100,0 Totale 200 Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 52

53 Istogrammi da tabella con 2 variabili Percentuali di malati per ciascuna categoria di fumo 90,0 80,0 70,0 60,0 50,0 % Malati 40,0 Sani 30,0 20,0 10,0 0,0 Mai Ex attuale Totale Malati 15,7 36,6 38,5 32,0 Sani 84,3 63,4 61,5 68,0 Fumo Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 53

54 Istogrammi da tabella con 2 variabili Percentuali di malati per ciascuna categoria di fumo 90,0 80,0 70,0 60,0 % 50,0 40,0 30,0 20,0 Malati Sani 10,0 0,0 Sani Mai Ex Fumo attuale Totale Malati Mai Ex attuale Totale Malati 15,7 36,6 38,5 32,0 Sani 84,3 63,4 61,5 68,0 Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 54

55 Percentuali sul totale di colonna Arteriopatia %colonna Malati Sani Totale Malati Sani F Mai ,5 31,6 U Ex ,6 33,1 M Attuale ,9 35,3 O Totale ,0 100,0 Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 55

56 Istogrammi da tabella con 2 variabili Percentuali di fumatori tra malati e sani 50,0 45,0 40,0 35,0 % 30,0 25,0 20,0 Malati Sani 15,0 10,0 5,0 0,0 Mai Ex attuale Malati 12,5 40,6 46,9 Sani 31,6 33,1 35,3 Fumo Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 56

57 Istogrammi da tabella con 2 variabili Percentuali di fumatori tra malati e sani 50,0 45,0 40,0 35,0 30,0 % 25,0 20,0 15,0 10,0 Malati Sani 5,0 0,0 Sani Mai Fumo Ex attuale Malati Mai Ex attuale Malati 12,5 40,6 46,9 Sani 31,6 33,1 35,3 Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 57

58 Misure di tendenza centrale e di variabilità Media Deviazione Standard Coefficiente di variazione Mediana Moda Range Media e deviazione standard geometriche (trasformazione logaritmica) Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 58

59 Media: è la più comune misura di tendenza centrale. Può essere calcolata per variabili numeriche. Il valore medio di una variabile in un gruppo di osservazioni si calcola sommando il valore della variabile per ciascuna osservazione e dividendo il risultato per il numero di osservazioni. Media = Σx i / n = (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x x n-1 + x n ) / n La media viene indicata con X Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 59

60 Deviazione Standard: misura la variabilità delle osservazioni intorno alla Media. Per spiegare la deviazione standard è utile esaminare prima le statistiche Devianza e Varianza. La Devianza è la somma dei quadrati delle differenze (scarti) tra il valore della variabile e la media. Dev = Σ[(x i X )] 2 Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 60

61 La Varianza è la devianza divisa per il numero di osservazioni 1 (si può definire anche come la media degli scarti quadratici). Var = Dev / (n-1) = Σ(x i X ) 2 / (n-1) La Deviazione Standard è la radice quadrata della varianza. DS= [Var] 1/2 = [Dev / (n-1)] 1/2 = [Σ(x i X ) 2 / (n-1)] 1/2 Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 61

62 Coefficiente di Variazione CV% = ( DS / X ) * 100 Dove: DS= deviazione standard X = media Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 62

63 Esempio = Calcolo di media e deviazione standard Variabile = altezza - Campione = 20 soggetti x i x i - x (x i x) 2 1,64-0, , ,74 0, , ,65-0, , ,8 0, , ,58-0, , ,76 0, , ,55-0, , ,72 0, , ,6-0, , ,69-0, , ,75 0, , ,81 0, , ,58-0, , ,76 0, , ,57-0, , ,72 0, , ,7 0, , ,77 0, , ,71 0, , ,87 0, ,02941 somme 0,0 0,15246 Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 63

64 Media= 1,6985 Varianza= 0, DS= 0, CV%= 5,2739% Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 64

65 Mediana Dato un insieme di osservazioni ordinate per valori crescenti della variabile, la mediana corrisponde al valore dell osservazione che occupa la posizione centrale della distribuzione. Se il numero di osservazioni è dispari la mediana corrisponde al valore dell osservazione che occupa la posizione centrale della distribuzione. Se il numero di osservazioni è pari abbiamo due osservazioni centrali; la mediana sarà ottenuta calcolando la media del valore di tali (due) osservazioni centrali. Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 65

66 Procedura per identificare l osservazione o le osservazioni mediane: N=numero totale di osservazioni. Se N è pari: le due osservazioni che interessano sono quelle con posizione N/2 e (N/2)+1 Se N è dispari: l osservazione che interessa è quella con posizione intero(n/2)+1 Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 66

67 Mediana Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 67

68 Esempio = Calcolo di media e deviazione standard Variabile = altezza - Campione = 20 soggetti 1 1,55 2 1,57 3 1,58 4 1,58 5 1,60 6 1,64 7 1,65 8 1,69 9 1, , , , , , , , , , , ,87 Mediana= (1,71 + 1,72) /2 = 1,715 Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 68

69 Moda: è il valore o la classe di valori che si osserva con maggior frequenza in una serie di osservazioni. Possiamo avere distribuzioni con più mode (2 mode = bimodale). Range o campo di variazione= differenza tra il valore minimo e quello massimo. Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 69

70 Quanti decimali? Per i risultati usate un decimale in più di quanti ne sono stati usati per i dati corrispondenti. Per i calcoli usate due decimali in più Indicate le percentuali con un solo decimale Ricordate che i numeri debbono essere arrotondati, non troncati. Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 70

71 Esercizio: Calcolate media, mediana e deviazione standard per le seguenti osservazioni (concentrazione di emoglobina in decigrammi per 100 ml). Estraete un campione di tre osservazioni utilizzando la tavola dei numeri casuali Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 71

72 Campione: raccolta finita di elementi estratti da una popolazione scopo dell estrazione è quello di ottenere informazioni sulla popolazione pertanto il campione deve essere rappresentativo della popolazione da cui viene estratto ( non viziato ) per corrispondere a queste esigenze il campione viene individuato con un campionamento casuale. Metodo: tavola dei numeri casuali Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 72

73 Tavola dei numeri casuali (tavola esemplificativa) Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 73

74

75 Esempio: estrazione di un campione di 10 soggetti da una base di 100 soggetti (numerati da 1 a 100). La base è elencata nella tabella allegata Dovrò scegliere numeri di 3 cifre. Decido che procederò progressivamente per colonna, dall alto in basso. In modo casuale individuo il punto sottolineato come punto di partenza. I successivi valori compresi tra 1 e 100 sono annotati in grassetto. I valori 040, 011, 026, 045, 088 corrispondono ai soggetti da campionare. Tali soggetti sono evidenziati nella tabella successiva con indicati i valori di emoglobina. Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 75

76 Tavola dei numeri casuali Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 76

77 Num. Prog. Hb Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva

78 Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione e Statistica descrittiva 78

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