ORDINAMENTO 2008 SESSIONE STRAORDINARIA - QUESITI QUESITO 1

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1 ORDINAMENTO 28 SESSIONE STRAORDINARIA - QUESITI QUESITO Si determinino le costanti a e b in modo ce la funzione F() = a cos + b cos 3 una primitiva della funzione f() = 3 sen 2sen 3. sia F() è una primitiva di f() se F ()=f(). Quindi: F () = a sen 3b cos 2 sen = 3 sen 2sen 3 a sen 3b ( sen 2 )sen = a sen 3b sen + 3bsen 3 = 3 sen 2sen 3 se: a 3b = 3 3b = 2 a = ; b = 2 3 Quindi F() è una primitiva di f() se a = e b = 2 3. QUESITO 2 Si determinino le equazioni degli asintoti della curva f() = arctan + 2. La funzione è definita e continua su tutto R, quindi non ci sono asintoti verticali. lim (arctan ) = π y = π lim + (arctan ) = + π y = + π asintoto orizzontale per asintoto orizzontale per + Essendoci gli asintoti orizzontali sia per sia per + non possono esserci asintoti obliqui. / 6

2 QUESITO 3 Fra tutti i cilindri inscritti in un cono circolare retto, avente raggio di base r e altezza, si trovi quello di volume massimo. Indicata con la distanza della base superiore del cilindro dal vertice del cono si a: V(cilindro) = πr 2 = π FG 2 ( ) Troviamo FG, raggio del cilindro, in funzione di : AH: FG = VH: VF, Quindi: r: FG = :, FG = r r 2 V(cilindro) = π ( ) ( ) = Tale volume è massimo se lo è: π r2 2 ( ) 2 y = 2 ( ), con Il problema è di facile soluzione con l uso delle derivate, proponiamo un metodo elementare. Ricordiamo ce se a + b = costante il prodotto di due potenze di a e b è massimo quando le basi sono proporzionali agli esponenti. Nel nostro caso: a= e b=-. Quindi 2 ( ) è massimo se: =, = 2 2, = / 6

3 Per tale valore di l altezza del cilindro è: = 3. Il cilindro di volume massimo è quindi quello la cui altezza è un terzo dell altezza del cono. Si consideri la funzione: QUESITO 4 42 f() = 3 + 2, =. Se ne studi la continuità per = e poi si tracci il suo grafico. Calcoliamo i seguenti limiti: lim lim 42 ( (3 + ) ) 2 (3 + ) = 2 = f() continua da destra + 2 (3 + ) = 2 non continua da destra + La funzione NON è continua per =, dove c è una discontinuità di prima specie con salto 4. QUESITO 5 Si consideri la seguente proposizione: Due piani α e β sono tra loro perpendicolari se e solo se ogni retta di α è perpendicolare a ogni retta di β. Si dica se è vera o falsa e si motivi esaurientemente la risposta. La proposizione è FALSA. Due piani α e β si dicono perpendicolari se esiste ALMENO UNA retta di α ce sia perpendicolare a β. Se ne esiste una poi ne esistono infinite. Un altra possibile definizione, generalizzazione della perpendicolarità fra rette del piano, è la seguente: due piani si dicono perpendicolari se, incontrandosi, formano quattro angoli diedri congruenti. 3/ 6

4 QUESITO 6 Si determini, in base alla definizione, la derivata della funzione f() = sen 2 in = π 4. lim f( +) f( ) f ( π 4 ) f ( π 4 + ) f (π 4 ) (sen = f ( ) ; nel nostro caso: sen 2 π ( π 4 cos + cos π 4 sen)2 2 2 ( + sen2) ) π sen2 4 = 2 (cos2 + 2sen cos + cos 2 ) 2 = 2 sen2 = 2 2 = = f ( π 4 ). QUESITO 7 Si provi ce alla funzione f() = tan + sen nell intervallo π, non è applicabile il teorema di Rolle. La funzione tan non è continua in π quindi f() non è continua nell intervallo ciuso e 2 limitato π come riciede il teorema di Rolle: il teorema non è quindi applicabile. QUESITO 8 Si calcoli il valor medio della funzione y = nell intervallo. Ricordiamo ce il valor medio di una funzione f() continua in un intervallo [a; b] è dato da: b b a f()d = d = d = d d = a = (2 )( 2 + ) 2 d + + 2[arctg] = ( 2 )d + 2 ( π 4 ) = [3 3 ] + π 2 = = π / 6

5 QUESITO 9 Si determini il campo di esistenza della funzione y = log( ) > ; ; > 4 Risolviamo la seconda disequazione, ce equivale ai due seguenti sistemi: < ; 2 < > ( 4) > 6 ; 2 < 4 4 Unendo le soluzioni si a: ; 2 Torniamo al sistema iniziale: ; > 4 ; ; 2 ; 2 Il campo di esistenza della funzione è: < ; 2 < +. Si calcoli il limite della funzione quando tende a. QUESITO e sen cos e cos e log ( + e), Il limite si presenta nella forma indeterminata /. Trasformiamo la funzione (intendiamo il logaritmo nella base e): 5/ 6

6 e sen cos e cos e log( + e) = (esen ) + ( cos) (e sen ) + ( cos) e cos e log (e ( + = e )) e cos e (loge + log ( + = e )) = (esen ) + ( cos) e cos e e log ( + e ) ~ sen e(e cos ) e ~ 2 2 e(cos ) ~ e e ( ~ 2 2 ) ~ se. Il limite della funzione per ce tende a è -. N.B. Ricordiamo ce in base ai limiti notevoli si anno i seguenti asintotici quando f() : e f() ~f(), cos~ 2 2, ln( + f())~f() Con la collaborazione di Angela Santamaria 6/ 6