Daniela Lera A.A

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1 Daniela Lera Università degli Studi di Cagliari Dipartimento di Matematica e Informatica A.A

2 Richiami Algebra Lineare Spazio normato Uno spazio lineare X si dice normato se esiste una funzione (chiamata norma) da X su R + tale che indicata con x la norma di x si ha 1. x 0 per ogni x X 2. x = 0 se e solo se x = 0 3. αx = α x per ogni x X, α R 4. per ogni x, y X vale la relazione x + y x + y disuguaglianza triangolare

3 Richiami Algebra Lineare Distanza Dato uno spazio normato X in esso si può definire la distanza tra due elementi qualsiasi x e y di X d(x, y) = x y Uno spazio normato è quindi anche uno spazio metrico. Pertanto possiamo definire la distanza tra 2 matrici nello spazio M nxn, 2 polinomi nello spazio P n (x), 2 funzioni nello spazio C[a, b].

4 Richiami Algebra Lineare Spazio seminormato Uno spazio lineare X si dice seminormato se esiste una funzione (chiamata seminorma) da X su R + tale che indicata con x la seminorma di x si ha 1. x 0 per ogni x X 2. αx = α x per ogni x X, α R 3. per ogni x, y X vale la relazione x + y x + y disuguaglianza triangolare Può assegnare lunghezza zero anche ad un vettore diverso da zero.

5 Richiami Algebra Lineare Spazio seminormato Un semplice esempio di seminorma che non è una norma è quello del modulo della prima coordinata del generico punto di R 2 Le proprietà (1.-3.) valgono ma la seminorma considerata si annulla su tutti i vettori della forma (0, x 2 ).

6 Richiami Algebra Lineare Esempi di norme di vettore in R n Norma 2 (norma euclidea) ( n ) 1/2 x 2 = (x i ) 2 i=1 Norma 1 (norma di Manhattan) n x 1 = x i x = (x 1, x 2,..., x n ) R n. i=1

7 Richiami Algebra Lineare Esempi di norme di vettore in R n Norma p, 1 p ( n ) 1/p x p = (x i ) p i=1 Norma infinito, per p = (norma del massimo) x = (x 1, x 2,..., x n ) R n. x = max 1 i n x i

8 Richiami Algebra Lineare Distanze in R 2 Ad ogni norma corrisponde una differente distanza Distanza euclidea d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 Distanza 1 d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 Distanza d(x, y) = max( x 1 y 1, x 2 y 2 ) x = (x 1, x 2 ) e y = (y 1, y 2 ) in R 2

9 Richiami Algebra Lineare La sfera unitaria in R 2 La sfera unitaria ha differenti rappresentazioni in corrispondenza alla distanza usata. determinarle. d(x, 0) = (x 1, x 2 ) (0, 0) 1

10 Richiami Algebra Lineare La norma di un vettore x R n è una funzione continua ovvero lim x i = x lim x i = x i i Esiste una relazione che lega tutte le possibili norme che si possono definire, si può dimostrare il Teorema di equivalenza Data una coppia di norme di vettore x e x, esistono 2 numeri positivi m e M tali che comunque x R n si ha m x x M x

11 Norme matriciali Le norme di vettori x R n possono estendersi alle matrici; infatti una matrice può essere vista come un vettore di nxn componenti. Esempio 1: estensione della norma 1 A = a 11 + a 12 + a 21 + a 22 Esempio 2: estensione della norma del massimo A = max( a 11, a 12, a 21, a 22 ) (1) Con ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22

12 Norme matriciali Le norme di matrici si richiede che siano submoltiplicative AB A B Tale proprietà non vale per la norma di matrice definita in (1). Controesempio ( ) ( ) A = B = C = AB = Risulta quindi: max c ij = 2 max a ij = max b ij = 1 2 = AB > A B = 1.

13 Norme matriciali Norma naturale di matrice Definizione Data la matrice A M nxn una norma matriciale si dice indotta da una norma vettoriale se Ax A = sup x 0 x o se, equivalentemente A = max x =1 Ax Una norma così definita viene anche detta naturale.

14 Norme matriciali Norma naturale di matrice Una norma naturale misura, in una data norma vettoriale, il mssimo allungamento relativo che un vettore può subire in seguito al prodotto per la matrice A. Essa è consistente con la norma che la induce, cioé Infatti dove x è un generico vettore Ax A x Ay A = sup Ax y 0 y x A Ax x Ax A x

15 Norme matriciali Norma naturale di matrice Si può dimostrare il seguente teorema Teorema Ogni norma indotta è submoltiplicativa AB A B

16 Norme matriciali Dimostrazione: Date A e B di dimensioni compatibili, si ha ABx ABx AB = sup = sup Bx x 0 x x 0 Bx x Ay Bx sup sup = A B y 0 y x 0 x dove la maggiorazione dipende dal fatto che non è detto che tutti i vettori y nel codominio di B si possano esprimere nella forma Bx.

17 Esempi di norme naturali di matrice Norma del massimo La norma del massimo per vettori x R n x = max 1 i n x i induce la norma per matrici A M nxn A = max i n a ij j=1

18 Esempi di norme naturali di matrice Per definizione si ha Dimostrazione A = max x =1 Ax Esiste un vettore y R n, con y = 1 tale che Si ha: max y r max r i A = Ay n A = max i a ij y j max i n j=1 j=1 a ij = y max i n j=1 n a ij y j j=1 a ij = max i n a ij j=1

19 Esempi di norme naturali di matrice Dimostrazione Per concludere la dimostrazione è sufficiente mostrare che esiste un vettore per cui viene raggiunta l uguaglianza. Tale vettore è x = (s 1, s 2,..., s n ) dove s j = sign(a ij ) con i indice massimo delle somme-riga. La funzione sign(x) vale 1 se x 0 e -1 se x < 0.

20 Esempi di norme naturali di matrice Norma 1 o di Manhattan La norma 1 per vettori x R n x 1 = n x i i=1 induce la norma per matrici A M nxn A 1 = max j n a ij i=1 Si dice anche che la norma è il massimo delle somme-riga e la norma 1 è il massimo delle somme-colonna della matrice A.

21 Norme matriciali Esempio A = A = max{9, 11, 5} = 11 A 1 = max{5, 12, 8} = 12

22 Esempi di norme naturali di matrice Norma 2 euclidea La norma 2 per vettori x R n ( n ) 1/2 x 2 = (x i ) 2 i=1 induce la norma per matrici A M nxn A 2 = ρ(a T A) dove ρ(b) indica il raggio spettrale della matrice B ρ(b) = max j λ j cioé il massimo del modulo degli autovalori di B.

23 Esempi di norme naturali di matrice Osservazioni La matrice A T A è simmetrica definita positiva quindi ha tutti gli autovalori 0. Se A è Hermitiana si ha ρ(a T A) = ρ(a 2 ) = (ρ(a)) 2 quindi A 2 = ρ(a) Dato il suo legame con gli autovalori la norma 2 per matrici viene anche detta norma spettrale.

24 Norme di matrice Norme non naturali Norma di Frobenius n A F = i=1 n (a ij ) 2 Tale norma è submoltiplicativa ma non è una norma naturale, infatti I F = n mentre per una norma indotta si ha I = 1. j=1

25 Norme matriciali Teorema Sia una norma naturale. Allora per ogni matrice quadrata A si ha ρ(a) A Dim. Per ogni autovalore λ di A esiste un autovettore v tale che Av = λv. Sfruttando la consistenza e la proprietà delle norme, si ottiene λ v = λv = Av A v, da cui, essendo v 0, segue λ A, per ogni autovalore λ e quindi la tesi.

26 Richiami Algebra Lineare Data una matrice A M nxn, si può considerare il prodotto A m = A A... A }{{} m Definizione. Una matrice A M nxn si dice convergente se lim m Am = 0 dove 0 indica la matrice nulla.

27 Richiami Algebra Lineare Proprietà Le seguenti proposizioni sono equivalenti nel senso che una implica l altra e viceversa: a) A è convergente b) lim m A m = 0 c) ρ(a) < 1

28 Richiami Algebra Lineare Dimostrazione che a) implica b) e viceversa lim m Am = 0 lim m Am = 0 Se A m 0 per la continuità della norma e poiché 0 = 0 si ha lim m Am = 0 Per l equivalenza delle norme esiste M > 0 tale che si ha A m M A m, cioé lim m Am = 0 lim m Am = 0 lim m Am = 0

29 Richiami Algebra Lineare Corollario Se per una norma naturale di matrice si ha A < 1 allora la matrice A è convergente. Infatti poiché A m A m allora lim m Am = 0

30 Prodotto scalare Spazio di Hilbert Uno spazio di Hilbert è uno spazio lineare X su cui è definito un prodotto scalare, cioè una funzione che ad ogni coppia x e y X associa un numero reale indicato con (x, y) tale che: 1 (x, x) 0 e (x, x) = 0 x = 0 2 (x, y) = (y, x) 3 (αx, y) = α(x, y) 4 (x + y, z) = (x, z) + (y, z) x, y, z X (linearità)

31 Prodotto scalare Proprietà Da uno spazio in cui è definito un prodotto scalare si può passare ad uno spazio normato ponendo x = (x, x) 1/2 Due vettori sono detti ortogonali quando il loro prodotto scalare è nullo.

32 Prodotto scalare Proprietà di Cauchy-Schwartz Per la norma indotta dal prodotto scalare vale la disuguaglianza di Schwartz: (x, y) x y

33 Prodotto scalare Esempi Il prodotto scalare comunemente usato in R n è il seguente n (x, y) = x T y = x i y i i=1 Esso induce la norma euclidea x 2. In R 2 si ha (x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 = x 2 y 2 cosθ θ angolo tra i due vettori x, y.

34 Prodotto scalare Esempi Il prodotto scalare nello spazio L 2 [a, b] è il seguente (f, g) = b a f (x)g(x)dx Esso induce la norma f 2 già definita precedentemente: ( b ) 1/2 f 2 = f (x) 2 dx a In particolare se P n (x) è l insieme dei polinomi di grado n (p, q) = b a p(x)q(x)dx

35 Prodotto scalare Esempio Data la definizione di prodotto scalare nell insieme dei polinomi di grado n I polinomi: (p, q) = 1 1 p(x)q(x)dx sono ortogonali. p(x) = x e q(x) = 3 2 x2 1 2