Fluidi I. Stati della materia Densità e pressione Idrostatica Idrodinamica

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1 Fluidi I Stati della materia Densità e pressione Idrostatica Idrodinamica

2 Stati della materia 1. Solido: indeformabile e incomprimibile 2. Liquido: deformabile e incomprimibile 3. Gassoso: deformabile e comprimibile Le proprietà della materia dipendono fortemente dalla struttura atomica, cioè dalla disposizione degli atomi gli uni rispetto agli altri e dall entità delle forze con cui interagiscono fra loro.

3 Fluidi I fluidi (dal latino fluere = scorrere) sono i corpi deformabili, cioè quei corpi che oppongono scarsa resistenza al cambiamento di forma. Rientrano in questa definizione i liquidi e i gas: i liquidi sono praticamente incomprimibili per cui hanno un volume proprio; i gas sono facilmente comprimibili e il volume che occupano dipende dalla pressione a cui sono sottoposti. La meccanica dei fluidi si divide in due capitoli: idrostatica e idrodinamica.

4 Densità Dato un corpo di massa m distribuita in un volume V, si definisce densità volumica il rapporto ρ= m/v densità volumica Nel SI la densità si misura in kg/m 3 nel sistema CGS in g/cm³ o in maniera equivalente in g/ml (1l = 1dm 3 ). In condizioni normali la densità dell acqua è di circa 1000 kg/m³, mentre quella dell aria è all incirca mille volte più piccola (~1.2 kg/m³).

5 Densità e fasi della materia In generale la densità della materia diminuisce dalla fase solida alla fase liquida e poi da questa a quella gassosa Un materiale molto comune e conosciuto fa eccezione a questa regola

6 Densità e fasi della materia In generale la densità della materia diminuisce dalla fase solida alla fase liquida e poi da questa a quella gassosa Un materiale molto comune e conosciuto fa eccezione a questa regola

7 Ghiaccio e acqua Nel ghiaccio (acqua in fase solida) la struttura regolare mostra dei buchi che diminuiscono la densità rispetto al valore dell acqua allo stato liquido

8 Volume e Massa Siccome i fluidi non hanno volume proprio, ci si deve domandare quale sia la massa di un fluido che occupa un volume V. Esempio: abbiamo una sostanza in una siringa che occupa un volume di 3 ml. Che massa ha? Dipende dalla densità: maggiore è la densità, maggiore sarà la massa d=m/v => m=d*v => m=d*3ml Se abbiamo acqua allora (d = 1 g/cm 3 ): m=??? Se abbiamo una sostanza con d= 1.2 g/cm 3 m=???

9 Pressione atmosferica: esperienza di Torricelli

10 Pressione Consideriamo una forza F che agisce su un elemento di superficie ΔS. Si definisce pressione esercitata da F su ΔS la quantità scalare: p = F n /ΔS (dove F n è la componente di F perpendicolare a ΔS).

11 Unità di misura della pressione Nel SI la pressione si misura in Pascal (1Pa=1N/m 2 ). Altre unità di misura utilizzate per la pressione: 1 atmosfera (atm) = Pa 1 bar = 10 5 Pa 1 millibar = 10-3 bar = 10 2 Pa 1 torr = 1/760 atm = 133 Pa

12 Legge di Stevino Consideriamo un fluido incomprimibile (con densità ρ costante punto per punto). La legge di Stevino descrive la variazione della pressione con la profondità h. Le forze laterali si controbilanciano. Consideriamo le forze che agiscono sulle superfici superiore e inferiore. F inf = F sup + P p inf ΔS = p sup ΔS + mg p inf ΔS = p sup ΔS + ρ ΔS h g p inf = p sup + ρ g h

13 Legge di Stevino La pressione esercitata da una colonna di fluido con densità costante ρ in un suo punto di profondità h (distanza dal pelo libero del fluido, ossia la superficie del liquido che è a contatto con l'aria dell'ambiente esterno pressione esterna) è direttamente proporzionale alla profondità h e alla accelerazione di gravità. p h = p sup + ρ g h Δp = ρ g h

14 Esercizio Qual è la pressione esercitata su un sub che scende alla profondità di 10 m rispetto al livello del mare?

15 Esercizio Qual è la pressione esercitata su un sub che scende alla profondità di 10 m rispetto al livello del mare? p = p 0 + ρ acqua,mare g Δh p 0 =1 Atm = Pa = N/m 2 Ρ acqua,mare = Kg/m 3 g = 9.81 m/s 2 Δh = 10 m P = ρ acqua,mare g Δh = Pa = = Pa ~ 1 atm. Per ogni 10 m di acqua di profondità si ha un incremento della pressione di circa 1 atm.

16 Principio di Pascal Conseguenza della legge di Stevino p = p 0 + ρ g h Supponiamo di aumentare la pressione esterna sulla superficie di un liquido: p 0 p 0 = p 0 +Δp 0 Se il fluido è incomprimibile la pressione in Un punto qualunque varierà come: p p = p 0 + ρ g h Δp = p - p = p 0 - p 0 = Δp 0 La pressione esercitata in una regione qualsiasi di un fluido si trasmette in tutte le direzioni con la stessa intensità.

17 Principio di Pascal Nel fare un'iniezione, si preme sul pistone della siringa esercitando una pressione sul liquido. Tale pressione si trasmette a tutto il liquido, preme con la stessa intensità contro le pareti della siringa ed esce dall'ago con una velocità dipendente dalla pressione esercitata. Infatti un fluido sottoposto ad una forza di compressione esercita, sulle pareti del recipiente e su qualsiasi oggetto immerso, forze che sono sempre perpendicolari alle superfici di contatto, indipendentemente dalla loro orientazione.

18 Applicazioni del principio di Pascal In un sistema di recipienti comunicanti è possibile sfruttare il principio di Pascal per ottenere forze di intensità diversa per superfici diverse del liquido. Applicando una forza F 1 sulla superficie S 1, la pressione è F 1 /S 1 Tale pressione si trasmette dal basso verso l'alto sul pistone di destra di sezione S 2 su cui agisce la forza normale F 2. Poiché F 1 /S 1 = F 2 /S 2, si ottiene F 2 = F 1 (S 2 /S 1 )

19 Principio dei vasi comunicanti Il principio dei vasi comunicanti è quel principio fisico secondo il quale un liquido contenuto in due o più contenitori comunicanti tra loro, raggiunge lo stesso livello indipendentemente dalla forma dei recipienti.

20 Applicazioni Pressa idraulica, freni idraulici,

21 Pressione atmosferica: esperienza di Torricelli p 0 = 1 Atm = Pa ~1kg/cm 2 p 0 = p Hg p 0 ΔS = m Hg g p 0 ΔS = ρ Hg ΔS Δh g p 0 =ρ Hg g Δh (ρ Hg = Kg/m 3 ) Δh=p 0 /(ρ Hg g) = ( )/( )=760mm Per bilanciare la pressione p 0 occorre il peso di una colonna di mercurio di 760 mmhg = 760 torr.

22 Principio di Archimede La spinta di Archimede è la conseguenza della diversa pressione idrostatica agente sulle superfici inferiore (verso l alto) e superiore (verso il basso) del corpo di altezza Δh immerso in un fluido di densità ρ. F A = p 2 S p 1 S = ρ g h 2 S - ρ g h 1 S = ρ g S (h 2 h 1 ) = ρ g S Δh = ρ g V = mg Un corpo immerso in un fluido riceve una spinta dal basso verso l alto pari al peso del liquido spostato (infatti i corpi immersi in un liquido sembrano essere più leggeri )

23 Equilibrio dei galleggianti Si consideri un corpo di densità ρ c immerso in un fluido di densità ρ f. La parte di volume immersa sia V i e sia il corpo all equilibrio. La risultante delle forze in gioco, forza peso P e spinta di Archimede A è nulla: F P +F A =0. P = ρ c V g A = ρ f V i g Dall equazione P-A=0: V i /V = ρ c /ρ f

24 Equilibrio dei galleggianti Si consideri un corpo di densità ρ c immerso in un fluido di densità ρ f. La parte di volume immersa sia V i e sia il corpo all equilibrio. La risultante delle forze in gioco, forza peso P e spinta di Archimede A è nulla: F P +F A =0. P = ρ c V g A = ρ f V i g Dall equazione P-A=0: V i /V = ρ c /ρ f < 1 Per poter galleggiare, un corpo deve avere densità minore di quella del fluido in cui è immerso.

25 Esempi Iceberg: ρ ghiaccio = kg/m 3 ρ acqua,mare = kg/m 3 V i /V = ρ ghiaccio / ρ acqua,mare = 0.920/1.025 ~ 0.90 Circa il 90% del volume di un iceberg è immerso.

26 Fluidi in movimento Consideriamo un fluido ideale: incomprimibile (ρ non dipende dalla pressione a cui è sottoposto), privo di viscosità (non vi è dissipazione di energia per attrito) e in moto stazionario (con velocità v che, punto per punto, non varia nel tempo). Per descriverne il moto si applica il concetto di linea di flusso, definita come la traiettoria seguita da ciascun elemento di fluido.

27 Fluidi in movimento Elementi di fluido che giungono in un punto vi transitano sempre con la stessa velocità. Per definizione, le linee di flusso non si intersecano. Il loro insieme costituisce una superficie tubolare detta tubo di flusso.

28 Fluidi in movimento

29 Portata volumetrica Si definisce portata il volume di fluido che attraversa la sezione di un condotto nell unità di tempo: Q = ΔV/Δt Nel SI la portata si misura in m 3 /s, ma frequentemente si riporta in l/min. Si dimostra che la portata può essere espressa come il prodotto fra la sezione S e la velocità v del fluido. Infatti, se l è lo spessore dell elemento di fluido che attraversa la sezione S nel tempo Δt, la portata è Q = ΔV/Δt = S l/δt = S v

30 Costanza della portata (legge di Leonardo) m 1 = m 2 V 1 = V 2 S 1 l 1 = S 2 l 2 S 1 v 1 Δt = S 2 v 2 Δt S 1 v 1 = S 2 v 2 = costante Legge di conservazione della portata (massa): la portata è la stessa in tutte le sezioni di un tubo di flusso. Il tubo di flusso si comporta come un condotto rigido, all interno del quale non si può accumulare materia: la massa m 1 che entra nel condotto in un certo tempo Δt deve essere uguale a quella m 2 che esce nello stesso intervallo di tempo.

31 Esercizio Si consideri un condotto di raggio R che si dirama in 3 condotti derivati di stesso raggio R. Se il liquido nel condotto primario ha velocità v, quale sarà la velocità v nei condotti derivati?

32 Esercizio Si consideri un condotto di raggio R che si dirama in 3 condotti derivati di stesso raggio R. Se il liquido nel condotto primario ha velocità v, quale sarà la velocità v nei condotti derivati? Dalla legge di Leonardo si ottiene la portata volumetrica in ingresso: Q = (π R 2 ) v che deve essere uguale a quella in uscita: Q = 3 (π R 2 ) v da cui (π R 2 ) v = 3 (π R 2 ) v v =v/3

33 Se S è costante anche v è costante, se il condotto presenta variazioni di sezione allora a S maggiore corrisponde v minore e viceversa: v 1 /v 2 =S 2 /S 1

34 Teorema di Bernoulli Esprime il principio di conservazione dell energia meccanica per un fluido ideale che si muove sotto l azione delle forze di pressione e della forza peso. p + ρ g h+ ½ ρ v 2 = costante p: pressione esercitata sulle pareti del condotto; ρgh: pressione di gravità esercitata da una colonna di fluido di altezza h; ½ ρ v 2 : pressione cinetica che il fluido in scorrimento esercita contro un ostacolo che si oppone al moto.

35 Teorema di Bernoulli: dimostrazione Chiamiamo p 1 e p 2 le pressioni esercitate rispettivamente su S 1 e S 2 e l 1 e l 2 le distanze percorse nell'intervallo Δt. La sezione S 1 verrà spinta dal fluido esterno al volumetto e si avrà un lavoro fatto sul fluido interno pari a p + ρ g h+ ½ ρ v 2 = costante Le energie in gioco sono: il lavoro fatto dalla pressione l energia cinetica l energia potenziale L 1 = p 1 S 1 l 1 In S 2 è il fluido interno che spinge in avanti la superficie e il lavoro fatto dal fluido sarà pari a L 2 = -p 2 S 2 l 2

36 Teorema di Bernoulli: dimostrazione Il lavoro totale compiuto sul volume di fluido compreso fra S 1 e S 2 sarà dunque la somma dei lavori L 1 e L 2 : L = p 1 S 1 l 1 - p 2 S 2 l 2 Ma per il principio di conservazione dell energia meccanica L=ΔE, dove E=K+U è l energia meccanica. Dunque si ha: L = E 2 E 1 = (1/2 m v 22 + m g h 2 ) (1/2 m v 12 + m g h 1 ) Ed essendo m=ρ S 1 l 1 = m=ρ S 2 l 2 S 1 l 1 = S 2 l 2 Si ha: p 1 S 1 l 1 -p 2 S 2 l 2 = =(1/2m v 22 +m g h 2 ) (1/2m v 12 + m g h 1 ) p 1 S 1 l 1 +1/2m v 12 +m g h 1 = =p 2 S 2 l 2 +1/2m v 22 + m g h 2 p 1 S 1 l 1 +1/2ρ S 1 l 1 v 12 +ρ S 1 l 1 g h 1 = p 2 S 2 l 2 +1/2ρ S 2 l 2 v 22 +ρ S 2 l 2 g h 2 p 1 +1/2ρv 12 +ρgh 1 =p 2 +1/2ρv 22 +ρgh 2 =cost.

37 A sezione maggiore corrisponde pressione maggiore e viceversa. Quando in un condotto c è una strozzatura si ha una caduta di pressione e un aumento della velocità (effetto Venturi). Casi particolari p 1 +ρgh 1 +½ρv 12 =p 2 +ρgh 2 +½ρv 2 2 Condotto orizzontale a S costante: essendo h 1 =h 2 e v 1 =v 2 si ha p 1 =p 2 Condotto obliquo a S costante: essendo h 2 -h 1 =h e v 1 =v 2, p 1 =p 2 +ρgh Condotto orizzontale a S variabile: essendo h 1 =h 2, si ha p 1 =p 2 +½ρ(v 22 -v 12 ) Se S 2 <S 1, v 2 >v 1 e quindi p 1 >p 2.

38 Esempi Soffiando tra due fogli di carta questi si avvicinano. Porta che sbatte con il vento: come varia la velocità angolare durante la chiusura?

39 p ρv 12 +ρgy 1 = p ρv 22 +ρgy 2 Esempi Dato che y1=y2, rimangono pressione e En. Cine<ca P ext +K ext =P int +K int La velocità dell aria che scorre sulla parte esterna della vela è maggiore di quella che scorre sulla parte interna: Quindi si ha che: K ext > K int allora P ext < P int Forza efficace (F vento ) che spinge sulla vela! La forza che agisce sulla barca è poi la risultante di questa forza + la forza di resistenza dell acqua sulla chiglia (F acqua ) Le barche a vela navigano controvento! Stesso principio per le ali degli aeroplani! Barca a vela