ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO Sessione suppletiva

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1 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO Sessione suppletiva 00 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA Se il polinomio f () si divide per si ottiene come quoziente ed come resto. a) Determinare f (). b) Studiare la funzione y = f () e disegnare il grafico G in un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oy), dopo aver trovato, in particolare, i suoi punti di massimo, minimo e flesso e i suoi asintoti. c) Trovare l equazione della retta t tangente a G nel suo punto di ascissa d) Determinare le coordinate dei punti comuni alla retta t e alla curva G. e) Dopo aver determinato i numeri a, b tali che sussista l identità: = a + + b, calcolare una primitiva della funzione f ().. PAROLE CHIAVE Informazioni come quoziente ed come resto I suoi punti di massimo, minimo e flesso e i suoi asintoti 3 Sussista l identità: = a + + b Obiettivi Determinare f () Aver trovato i suoi punti di massimo, minimo e flesso e i suoi asintoti 3 Studiare la funzione y = f () 4 Disegnarne il grafico G in un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oy) 5 Trovare l equazione della retta t tangente a G nel suo punto di ascissa 6 Determinare le coordinate dei punti comuni alla retta t e alla curva G 7 Aver determinato i numeri a, b tali che sussista l identità... f () 8 Calcolare una primitiva della funzione 57 SCIENTIFICO 00

2 Relazione di divisione Quando un termine A si divide per B con quoziente Q e resto R, allora vale la relazione: A/B = Q + R/B La funzione f () si determina imponendo la relazione di divisione: Da questa relazione si ricava f () = 3 obiettivo f () = +. La funzione y = f () ha come insieme di definizione { ;}, è una funzione dispari, ossia simmetrica rispetto all origine, in quanto f ( ) = f (). Passa per l origi- = 3 ne, in cui ha un intersezione tripla. Il segno di f () è positivo per < < 0 > (figura ). Nel suo insieme di definizione la funzione è continua > Figura Risulta anche essere derivabile, e la sua derivata vale: y () = 4 3 sull insieme di ( ), definizione { ;}. Tale derivata si annulla per =± 3 (soluzione semplice) e = 0 (soluzione doppia) e ha segno positivo per < 3 > 3, da cui si deduce che la funzione in questi intervalli è crescente, e che ha un massimo di coordinate 3, 3 3 e un minimo di coordinate 3, 3 3 Inoltre ha un flesso a tangente orizzontale nell origine, poiché in questo punto la derivata si annulla ma non cambia di. segno ( ) > Figura Essendo i limiti negli estremi dell insieme di definizione i seguenti: 3 3 lim = e lim la funzione ha un asintoto verticale di equazione + =+ = e il suo simmetrico di equazione =. 3 Essendo lim la funzione non ha asintoti orizzontali. Ha invece un asintoto + =+ obliquo, in quanto il grado del polinomio a numeratore supera di il grado del polinomio a denominatore. ESAME DI MATEMATICA 58

3 Per determinarlo si calcolano i limiti: y() 3 e 3 lim y() m = lim + + lim = = 0 + ( ) = e l equazione dell asintoto è y =, che per simmetria è la stessa nell intorno di. obiettivo Con le precedenti informazioni la funzione risulta studiata e il suo grafico è rappresentato in figura 3. y y = 3 O 3 Figura 3 obiettivi 3 e 4 Il punto G di ascissa ha ordinata La retta tangente alla curva nel punto G si determina con la formula: y() y( che diventa: y() + 6. ossia: y = = 9 0) = y (, 0 )( 0 ), 9. obiettivo 5 I punti comuni alla curva e alla retta si ottengono risolvendo il sistema: y = 3 y = da cui si ottiene l equazione risolvente: = 0. Tale equazione ha una radice di molteplicità per = (punto di tangenza) quindi, con la regola di Ruffini, si abbassa di grado: 59 SCIENTIFICO 00

4 L equazione diventa così: e ha per soluzioni, oltre a = con (0 +6) = 0 molteplicità, anche = 4 con molteplicità. 5 obiettivo 6 Trasformando l identità data si ottiene (a + b) a + b =, da cui, applicando il principio d identità dei polinomi, si ricavano a e b: a = b =. obiettivo 7 Per ricavare una primitiva della funzione data, ci si serve del risultato di cui all obiettivo precedente. Infatti: 3 d = + d = d + d = + d( ) = obiettivo 8 = + ln + c PROBLEMA Una piramide di vertice V, avente per base il trapezio rettangolo ABCD, è tale che: il trapezio di base è cricoscritto ad un semicerchio avente come diametro il lato AB perpendicolare alle basi del trapezio; lo spigolo VA è perpendicolare al piano di base della piramide; la faccia VBC della piramide forma un angolo di 45 col piano della base. a) Indicato con E il punto medio del segmento AB, dimostrare che il triangolo CED, è rettangolo. b) Sapendo che l altezza della piramide è lunga a, dove a è una lunghezza assegnata, e che BC = AD, calcolare l area e il perimetro del trapezio ABCD. c) Determinare quindi l altezza del prisma retto avente volume massimo, inscritto nella piramide in modo che una sua base sia contenuta nella base ABCD della piramide. d) Stabilire se tale prisma ha anche la massima area laterale. ESAME DI MATEMATICA 60

5 PAROLE CHIAVE Informazioni Trapezio rettangolo ABCD Semicerchio avente come diametro il lato AB perpendicolare alle basi 3 Lo spigolo VA è perpendicolare al piano di base della piramide 4 La faccia VBC della piramide forma un angolo di 45 col piano della base 5 E il punto medio del segmento AB 6 L altezza della piramide è lunga a 7 BC = AD 8 Prisma retto inscritto nella piramide in modo che una sua base sia contenuta nella base ABCD della piramide Obiettivi Dimostrare che il triangolo CED è rettangolo Calcolare l area e il perimetro del trapezio ABCD 3 Determinare l altezza del prisma retto avente volume massimo 4 Stabilire se tale prisma ha anche la massima area laterale Il trapezio ABCD è rappresentato in figura 4. Il triangolo CED è rettangolo in quanto i due triangoli ADE e DET sono congruenti per una proprietà dei segmenti di tangenza da un punto esterno a una circonferenza, lo stesso dicasi per i triangoli TEC e ECB. Quindi l angolo piatto di vertice E risulta diviso in due coppie di angoli congruenti, allora l angolo DEC è retto perché formato dalla somma di due elementi di tali coppie. A D T E B C Figura 4 obiettivo V Se il piano VBC forma un angolo di 45 con il piano di base della piramide, allora la faccia VAB è un triangolo rettangolo con un angolo di 45, quindi è isoscele, da cui AB = VA = a (figura 5). B a a A Figura 5 6 SCIENTIFICO 00

6 Per la similitudine dei triangoli BCE e DET, che hanno gli angoli congruenti, si ha la proporzione tra i lati corrispondenti: EB : BC = DT : TE, da cui l equazione: a : = : a, avendo indicato con = AD. Quindi Il perimetro risulta: E l area: In figura 6 si vede la piramide con un prisma retto ad essa inscritto. Il volume della piramide vale: Figura 6 Scegliendo un punto A sull altezza VA,e tracciando il piano parallelo alla base della piramide, si ottiene un trapezio simile ad ABCD, che costituisce sia la base di una piramide simile a quella data, sia la base di un prisma retto che si ottiene tracciando i sementi di perpendicolare dai suoi vertici al piano di base. Le due piramidi (di uguale vertice V e basi rispettivamente ABCD e A B C D ) sono simili, quindi il rapporto tra le loro aree di base e il quadrato delle loro altezze è costante: A(ABCD) : A(A B C D ) = (a) : Da questa proporzione si ricava l area di A B C D. A(A B C D ) = Essendo anche l area di base del prisma retto (che ha altezza pari a a ) è possibile calcolare il suo volume: V (prisma) = Esso si presenta come una funzione di, che derivata rispetto a dà: ESAME DI MATEMATICA 6

7 L area laterale del prisma vale p VA. Dalla proporzione tra i perimetri di base delle due piramidi simili e le loro altezze: p :p = a : si può ricavare il perimetro di base della piramide piccola, p, che è anche il perimetro di base del prisma: p = ( 3 + ). L area laterale del prisma in funzione di vale quindi: p VA = ( La sua deri- 3 + )(a ). vata come funzione di è: (, si annulla per = a è positiva per < a, 3 + )(a ) che non corrisponde al valore del massimo del volume trovato precedentemente. Quindi per il valore che rende massimo il volume, il prisma non ha massima l area laterale. obiettivo 4 QUESTIONARIO. Si consideri la seguente equazione in, y. + y + + y + k = 0, dove k è un parametro reale. La sua rappresentazione in un piano, riferito ad un sistema monometrico di assi cartesiani ortogonali: A è una circonferenza per ogni valore di k; B è una circonferenza solo per k < ; C è una circonferenza solo per k < 4 ; D non è una circonferenza qualunque sia k. Una sola alternativa è corretta: individuarla e giustificare la risposta. La risposta corretta è la B, in quanto, data una circonferenza di equazione + y + a + by + c = 0, il suo raggio è dato da: r = a e la quantità sotto radice deve essere maggiore di zero affinchè la circonferenza abbia raggio reale non nullo. + b c Quindi, nell equazione data, si pone: da cui k < k > 0,.. Considerata la funzione di variabile reale: f () = +, dire se esiste il limite di f ( ) per tendente ad e giustificare la risposta. La funzione data ha come insieme di definizione l intersezione degli insiemi di definizioni delle due radici, quindi solo il punto =, in quanto deve essere contemporaneamente e. Quindi non ha senso calcolare il limite, poichè = non è punto di accumulazione. 63 SCIENTIFICO 00

8 3. Sia f() una funzione reale di variabile reale. Si sa che: f() è derivabile su tutto l asse reale; f ( ) = 0 solo per = 0; f ( ) 0 per ± ; f () = 0 soltanto per = e = ; f ( ) = ed f ()=. Dire, dandone esauriente spiegazione, se le informazioni suddette sono sufficienti per determinare gli intervalli in cui la funzione è definita, quelli in cui è continua, quelli in cui è positiva, quelli in cui è negativa, quelli in cui cresce, quelli in cui decresce. Si può dire qualcosa circa i flessi di f ( )? Le informazioni date sono sufficienti per determinare gli intervalli in cui la funzione è definita, in quanto essendo derivabile su tutto l asse reale, la funzione è continua su tutto l asse reale e quindi definita in esso. Sono sufficienti per determinare gli intervalli in cui è continua per il motivo precedente. Anche per la positività, poichè se la funzione ha un solo zero ed è ovunque continua, al di fuori dello zero sarà da una parte positiva e dall altra negativa. Dato che f( ) e f() = si può concludere che la funzione è positiva per < 0, negativa per > 0. Se la derivata prima si annulla solo in due punti, in essi la funzione può ammettere massimo o minimo o eventualmente flesso a tangente orizzontale. Vista la tendenza a zero negli estremi del dominio, saranno un massimo ( = ) e un minimo ( = ): la condizione è perciò sufficiente. Per i flessi, si può dire che negli intervalli tra e, tra e e tra e + ci saranno tre flessi, ma le condizioni non sono sufficienti a dire se ve ne sono altri. 4. Sia f ( ) una funzione di variabile reale definita nel modo seguente: a sen per 0 < < π f () = + a per π sen < < 0 dove a è un parametro reale non nullo. Stabilire se esiste un valore di a per il quale il dominio della funzione possa essere prolungato anche nel punto = 0. + a In generale i limiti destro e sinistro in = 0 sono: lim e lim 0 sin = ± 0 + a sin = 0 se il numeratore è positivo o negativo. Se invece è nullo, ossia a =, allora è 0. Quindi è il valore di a cercato. 5. Un titolo di borsa ha perso ieri l % del suo valore. Oggi quel titolo, guadagnando l y%, è ritornato al valore che aveva ieri prima della perdita. Esprimere y in funzione di. Indichiamo con T 0 il valore del titolo prima della perdita, T il suo valore ieri e T il suo valore oggi. Le relazioni tra questi valori sono: T = T 0 00 T = T + y 00 T = T 0 che danno y in funzione di come: y = ESAME DI MATEMATICA 64

9 6. Come si sa, la condizione che la funzione reale di variabile reale f () sia continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b] è sufficiente per concludere che f () è integrabile su [a,b]. Fornire due esempi, non concettualmente equivalenti, che dimostrino come la condizione non sia necessaria. Per esempio una funzione definita a tratti come: f () = 0 < nell intervallo < 4 [0,4] {} oppure una funzione come la parte intera di : f () = E[] nell intervallo,4. y y 4 3 O 3 4 O 3 4 Figura 7 7. Una primitiva della funzione f () = è: A) ln B) ln + ; C) ln + ; D) ln +. + ; Una sola alternativa è corretta: individuarla e fornire una spiegazione della scelta operata. La primitiva corretta è C, in quanto la funzione da integrare è la somma dei reciproci di due polinomi di primo grado, dunque la funzione primitiva deve essere la somma di due logaritmi di funzioni di primo grado, con lo stesso coefficiente (/) che diventa la potenza dell argomento di un solo logaritmo, pari al prodotto dei due argomenti. Non è la D in quanto i polinomi in questione sono e +, che moltiplicati danno S n rappresenta la somma dei primi n numeri naturali dispari. La successione di termine generale a n tale che a n = S n è: n, A) costante; B) crescente; C) decrescente. Una sola alternativa è corretta: individuarla e fornire una spiegazione della scelta operata. 65 SCIENTIFICO 00

10 La successione di termine generale a n è decrescente, in quanto: a n = n + n + = n + n + n ed essendo risulta a n > a n+ per ogni n. n > n + e n > (n +), 9. Dato un tetraedro regolare, si consideri il quadrilatero avente per vertici i punti medi degli spigoli di due facce. Dimostrare che si tratta di un quadrato. P B S A C R D Q Figura 8 Nella figura 8 si vede che occorre scegliere i punti medi degli spigoli di facce, ad eccezione dello spigolo comune. Si ottiene un quadrilatere ABCD, in cui i lati opposti AD e BC sono paralleli perché rispettivamente complanari e paralleli allo spigolo PQ. Lo stesso si può dire per i lati opposti AB e DC. Si tratta quindi di un parallelogramma. Inoltre, per un teorema sui triangoli, conseguenza del teorema di Talete, applicato al triangolo PQS, si ha che BC = perché unisce i punti medi di due lati. Lo stesso PQ dicasi per AB = Essendo PQ = RS perché il tetraedo è regolare, si ottiene RS. BC = AB. Il parallelogrammo ABCD,avendo due lati consecutivi uguali, è un quadrato. 0. Di due rette a, b assegnate nello spazio ordinario si sa soltanto che entrambe sono perpendicolari ad una stessa retta p. a) È possibile che le rette a, b siano parallele? b) È possibile che le rette a, b siano ortogonali? c) Le rette a, b sono comunque parallele? d) Le rette a, b sono comunque ortogonali? Per ciascuna delle quattro domande motivare la relativa risposta. a) è possibile che le rette siano parallele, se stanno su uno stesso piano. b) è possibile che siano ortogonali, se si incontrano nello stesso punto sulla retta p. c) non sono comunque parallele, in quanto potrebbero appartenere a piani diversi. d) non sono comunque ortogonali, perchè possono intersecare p in punti diversi. ESAME DI MATEMATICA 66