Una macchina ingenua per le divisioni. Strumenti di calcolo aritmetico ingenui ma ingegnosi,

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1 Una macchina ingenua per le divisioni Estratto da: Strumenti di calcolo aritmetico ingenui ma ingegnosi, Bruno Jannamorelli, Ed. Qualevita È l ultimo giorno di scuola. I miei alunni liceali sono già in vacanza, le operazioni di scrutinio finale sono quasi ultimate, saluto qualche collega e con un po di tristezza esco dall austero portone della mia scuola. L aria frizzante lasciata dal temporale della notte e il profumo dei tigli mi svegliano e mi fanno ricordare l impegno che avevo preso per quella mattina. Mi aspettano, per la festa di fine anno, i bambini ai quali avevo insegnato a costruire i regoli di Genaille. In venti minuti raggiungo la loro scuola con la mia auto e avverto subito un clima diverso da quello del mio Liceo. Lì ho lasciato il silenzio delle aule vuote, le chiacchiere dei colleghi sui progetti per le prossime vacanze, qui trovo la gioia dei bambini che non vedono l ora di abbandonare i libri per qualche mese e le loro maestre che mostrano di aver raggiunto il limite massimo di sopportazione. E proprio vero che le scuole senza alunni sarebbero uffici come tanti altri e gli insegnanti sarebbero impiegati al servizio della burocrazia. È una fortuna lavorare con bambini, ragazzi o giovani anche se noi insegnanti talvolta sottovalutiamo questa particolarità del nostro lavoro. La calorosa accoglienza riservatami da quei bambini mi rincuora e Raffaella, una delle maestre, sta facendo le mie stesse riflessioni perché mi dice: È vero che ci fanno sfegatare, ma sono tanto cari e mi mostra le poesie e i fiori che ha avuto dai bambini di quinta. Arriviamo così al momento dei regali e, ovviamente, il dono che quei bambini aspettano da me non può che essere una serie di regoli di Genaille stampati su asticelle di legno. Ma, evidentemente, non tutti sono soddisfatti di quel regalo. Azzurra e Sara non vengono per nulla attratte da quelle dieci asticciole di legno e continuano a fissare un ciliegio, oltre la finestra aperta, che sembra una palla di fuoco per le tantissime ciliege rosse, più numerose delle foglie. Mi avvicino a quelle due bambine sedute in fondo all aula dicendo: Che belle ciliege! ; tanto per prendere tempo e poter leggere nei loro occhi i motivi di quel disinteresse per il mio regalo. Ma Azzurra anticipa ogni mia domanda chiedendomi: Con la tua macchina si possono fare anche le divisioni?. Certo - rispondo - ma perché pensi alle divisioni proprio adesso che è l ultimo giorno di scuola?. Chiedilo alla maestra Raffaella!, interviene perentoria Sara. Segue un attimo di imbarazzante silenzio, poi è Guido a spiegarmi tutto: La

2 maestra ha assegnato ai bambini di quarta un quaderno di divisioni per l estate. E devono portarlo a settembre... ; ribadisce Marco. La maestra coglie il mio imbarazzo e ci tiene a chiarire: Gli alunni di quarta sbagliano sempre le divisioni e allora, durante l estate, dovranno esercitarsi. L abbiamo riempito anche noi un quaderno di divisioni la scorsa estate ; precisa Francesco, e Guido annuisce con la testa stringendo contemporaneamente le spalle per dare l immagine di quell ineluttabile fatica che va affrontata in estate per prepararsi alla quinta elementare. Ma come si fanno le divisioni con la tua macchina?, torna a chiedere Azzurra, assillata dal pensiero di dover passare l estate a dividere numeri. Se mi seguite lo scopriamo insieme, rispondo portandomi dietro la cattedra in prossimità della lavagna. Chiedo a Sara di scrivere sulla lavagna la prima divisione estiva da eseguire. La bambina scrive: : 356. Bene, cerchiamo con i regoli di Genaille i multipli di 356, riprendo, mentre dispongo sulla cattedra le asticelle della macchina moltiplicatrice come in fig.a.

3 I multipli di 356 calcolati con i regoli vengono scritti sulla lavagna e tra questi viene scelto 2136 che è il multiplo di 356 più prossimo a 2438: la prima cifra del quoziente è 6. Si procede quindi ad eseguire la divisione alla maniera usuale cercando sempre i multipli più prossimi a ciascun dividendo parziale. La mia spiegazione non riscuote successo, anzi qualcuno sbuffa e Marco non può trattenersi dal dire: Ma così si perde ancora più tempo!. Angelica, forse per farmi felice, ribatte: Però, usando i regoli di Genaille, possiamo fare le divisioni come vuole la maestra senza riportare solo il risultato che potremmo leggere su una calcolatrice elettronica. Si, ma è troppo macchinoso, aggiunge Guido con un fare disinteressato. È vero, è macchinoso - rispondo - ma... ci sarebbe un altra possibilità. Una macchina fatta apposta per le divisioni? ; chiede Marco con gli occhietti illuminati dalla luce della curiosità. Sì, una macchina per le divisioni, confermo estraendo dalla mia borsa alcune asticelle di legno diverse dai regoli di Genaille.

4 Anche su queste asticelle ci sono le colonnine di numeri ma.. invece dei triangoli qui ci sono tante linee ; osserva subito Guido mentre sistemo sulla cattedra la nuova macchina come in fig. B. Dopo qualche osservazione dei bambini, nell aula regna il silenzio: tutti sono ansiosi di scoprire come va utilizzata la macchina per le divisioni e finalmente posso iniziare: Calcoliamo il quoziente della divisione : 5. Anche in questa macchina c è una colonna-base alla quale vanno accostate le asticelle del 3, dell 8, del 7, del 6 e del 4. Fissiamo l attenzione sulla riga del 5 e, procedendo da sinistra verso destra, cominciamo a considerare il primo numero in alto a sinistra sulla colonnina del 3 : troviamo il numero 0. Seguiamo quindi il segmento che parte da questo 0 e individuiamo il numero 7 sulla colonnina dell 8: la prima cifra significativa del quoziente è 7. Il segmento che parte da questo 7 arriva su un altro 7 nella colonnina adiacente: la seconda cifra significativa del quoziente è 7. Procedendo allo stesso modo troviamo le altre cifre 5 e 2 del quoziente e, seguendo sempre il segmento che parte dall ultima cifra 2, troviamo il numero 4 sulla colonnina del regolo base: 4 è il resto della divisione. E scrivo sulla lavagna = 5 x Così come era successo con i regoli di Genaille per le moltiplicazioni, la rapidità del calcolo stupisce i bambini. Si fa prestissimo! ; esclama entusiasta Azzurra. Cambiamo il divisore, chiede Marco. Il quoziente della divisione : 8 è e il resto è 4 è Francesco ad eseguire il calcolo seguendo con la punta di una matita le linee riportate sulle asticelle della riga dell 8. Seguono altre prove, tutte verificate con la calcolatrice tascabile, ma qualcuno già sta cercando di capire il meccanismo che consente di calcolare quoziente e resto delle divisioni con quelle strane asticelle. È Sara la prima a chiedere: Ma come funziona?. Con mia grande sorpresa, Guido prende un asticciola, quella dell 8, e l accosta alla colonna-base (fig C ). Era stata questa la mossa fatta per scoprire il funzionamento dei regoli di Genaille. Proviamo a fissare la riga del 7 sulla colonna base - lo incoraggio - e tieni presente che ora bisogna dividere e non moltiplicare. Se faccio 8:7, ottengo il quoziente i e il resto 1 - osserva Guido -.. e quindi sull asticella dell S, all altezza della riga del 7, è stampato 1, che è il quoziente, e una linea porta sulla colonna-base ad individuare 1, che è il resto. Ma gli altri numeri. - e le altre linee?. Guido manifesta tutta la sua delusione dando una spinta a Matteo, ma appena gli suggerisco: Ricordati che il numero 8, il dividendo in testa all asticella, potrebbe diventare 18, 28, 68, mi interrompe bruscamente e riprende: La divisione 18:7 ha come quoziente 2 e resto 4. Infatti, sull asticella dell 8, all altezza della riga del 7, è stampato 2, che è il quoziente, e una linea porta sulla colonna base ad individuare 4, che è il resto.

5 Guido continua a spiegare agli altri la sua scoperta del meccanismo che fa funzionare la macchina delle divisioni. È impossibile riportare per intero il suo ragionamento interrotto da decine di osservazioni dei compagni ma, osservando la figura C dovrebbe essere comprensibile come vanno stampati i numeri e i segmenti su ogni asticella accostata alla colonna-base. Anche queste asticelle per le divisioni, che si chiamano regoli di Genaille-Lucas, non hanno più alcuna utilità pratica perché non reggono il confronto con la calcolatrice tascabile ma, se sono riuscite ad interessare un gruppetto di bambini nell ultimo giorno di scuola, forse qualche pregio continuano ad averlo: sono basate su un automatismo che può essere scoperto e quindi dominato dai bambini.