Sistemi dinamici. Fondamenti di Automatica Prof. Silvia Strada

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1 Sisemi dinamici Fondameni di Aomaica Prof. Silvia Srada

2 Dai modelli di sisemi elemenari a sisemi dinamici Semplici sisemi fisici Formleremo il corrispondene modello Individeremo i rai comni delle eqazioni scrie Formleremo in generale n sisema dinamico Prof. S. Srada Fondameni di Aomaica Sisemi dinamici

3 Sisemi elerici Resisore R : i : resisenza correne v : ensione Modello v Ri Indore L : i : indanza correne v : ensione Modello L i v 3 Prof. S. Srada Fondameni di Aomaica Sisemi dinamici

4 Sisemi elerici Condensaore C : i : capacia correne v : ensione Modello C v i 4 Prof. S. Srada Fondameni di Aomaica Sisemi dinamici

5 Sisemi meccanici Massa s Massa-molla-smorzaore oscillaore armonico M : s : : : massa posizione v velocia a accelerazione F : forza eserna Modello s v v a F Ma s s posizione massa F forza Mmassa kcosane elasica molla hcoefficiene d ario Modello s v v a Ma ks hv + F 5 Prof. S. Srada Fondameni di Aomaica Sisemi dinamici

6 Sisemi meccanici Pendolo m : : l : : : α : τ : massa g accelerazione di gravià lnghezza asa priva di massa ϑ posizione angolare ω velocià angolare accelerazione angolare coppia forzane Modello ϑ ω ω α m αl τ m sg in l ϑ 6 Prof. S. Srada Fondameni di Aomaica Sisemi dinamici

7 Sisemi idralici Serbaorio cilindrico h h livello liqido w e poraa enrane w poraa scene ρ densia dell acqa cos. A area sezione del serbaoio cos. A Modello dh ρa we αh d αh w Hp di moo laminare la poraa in scia dipende secondo la cosane α proporzionalmene dal livello 7 Prof. S. Srada Fondameni di Aomaica Sisemi dinamici

8 Sisemi idralici Serbaorio cilindrico con valvola di efflsso A h h livello liqido w e poraa enrane w poraa scene ρ densia dell acqa cos. A area sezione del serbaoio cos. kcosane caraerisica valvola A v area di efflsso valvola cos. Modello dh ρa we kρ d w kρ g A h v g A v h Hp di moo rboleno la poraa in scia dipende secondo na cosane dalla radice qadraa del livello 8 Prof. S. Srada Fondameni di Aomaica Sisemi dinamici

9 Ingressi e scie i VARIABILI D INGRESSO y i VARIABILI DI USCITA Sisema in generale m ingressi p scie considereremo praicamene solo mp... m y y... y p y m y y y p ingresso veoriale scia veoriale Ci occperemo solo di sisemi dinamici con variabili reali Prof. S. Srada Fondameni di Aomaica Sisemi dinamici 9

10 Rappresenazione di n modello ingresso/scia Consideriamo ingresso e scia. La dinamica del sisema fisico è ipicamene governaa da n eqazione differenziale scalare di ordine n n d y n d n n d y d y ϕ... n n d d dy d m d y m d... d d + c. i. E possibile converire l eq. diff. scalare di ordine n in n eqazioni diff. di ordine f f Cosa sono le nove variabili i? n y fn g n n Prof. S. Srada Fondameni di Aomaica Sisemi dinamici

11 Variabili di sao Le i sono variabili dipendeni dal empo la ci conoscenza all isane iniziale cosiisce la minima informazione necessaria per deerminare y per > a parire dalla conoscenza di per > i : variabili di sao e riassmono in sè la soria passaa del sisema fino all isane il veore si chiama veore di sao il nmero n di variabili di sao si chiama ordine del sisema dinamico n Prof. S. Srada Fondameni di Aomaica Sisemi dinamici n n

12 Prof. S. Srada Fondameni di Aomaica Sisemi dinamici Sisema massa-molla-smorzaore M h k F s s s / e Esempio F hs ks s M + Si ponga M h k F s s / Scegliendo come ovvio ingresso la forza F e scia y la posizione s della massa si pò scrivere così [ ] + / / y M M h k

13 Perchè dnqe si chiamano variabili di sao? è lo STATO DEL SISTEMA all isane generico perché: l scia fra dipende solo dallo sao correne e dall ingresso fro l scia fra dipende dall ingresso passao solo araverso lo sao lo sao riassme l effeo dell ingresso passao sll scia fra proprio come na memoria del sisema 3 Prof. S. Srada Fondameni di Aomaica Sisemi dinamici

14 g y f g y f f f n f n f f f n n Rappresenazione di sao di n sisema dinamico eqazione di sao differenziale ordine rasformazione di scia algebrica sao iniziale Prof. S. Srada Fondameni di Aomaica Sisemi dinamici Rappresenazione veoriale n n

15 Classificazione dei sisemi dinamici INVARIANTE o STAZIONARIO f e g non dipendono da y f g La risposa a è y e la risposa a - è y- Molo spesso le fnzioni f i g i non cambiano nel empo LINEARE f e g sono lineari in e 5 Prof. S. Srada Fondameni di Aomaica Sisemi dinamici

16 6 Classificazione dei sisemi dinamici STRETTAMENTE PROPRIO g non dipende da g y f S I N G L E S I N G L E I N P U T O U T P U T mp MIMO m e/o p Prof. S. Srada Fondameni di Aomaica Sisemi dinamici L ingresso non inflenza direamene l scia Alrimeni il sisema si dice PROPRIO.

17 Sisemi elerici Resisore v : y i : ingresso scia Sisema saico y R sisema lineare invariane SISO saico e proprio Indore v : y i : : i ingresso scia sao Sisema dinamico L y sisema lineare invariane SISO di ordine e sreamene proprio Prof. S. Srada Fondameni di Aomaica Sisemi dinamici 7

18 Sisemi elerici Condensaore c i : y v : v : ingresso scia sao Sisema dinamico C y sisema lineare invariane SISO di ordine e sreamene proprio 8 Prof. S. Srada Fondameni di Aomaica Sisemi dinamici

19 Sisemi meccanici Massa s Massa-molla-smorzaore oscillaore armonico s F : y s : Sai: F : y s : Sai: ingresso scia s ingresso scia s s s Sisema dinamico M y sisema lineare invariane SISO di ordine e sreamene proprio Sisema dinamico y sisema lineare invariane SISO di ordine e sreamene proprio k M h M + M 9 Prof. S. Srada Fondameni di Aomaica Sisemi dinamici

20 Sisemi meccanici Pendolo τ : ingresso y ϑ : scia ϑ ω Sai: Sisema dinamico y g l sin + m l sisema non lineare invariane SISO di ordine e sreamene proprio Prof. S. Srada Fondameni di Aomaica Sisemi dinamici

21 Serbaorio cilindrico Sisemi idralici h dh ρa we αh d αh w A w e : y w : h : ingresso scia sao Sisema dinamico α ρa ρa y α sisema lineare invariane SISO di ordine e sreamene proprio Prof. S. Srada Fondameni di Aomaica Sisemi dinamici

22 Sisemi idralici Serbaorio cilindrico con valvola di efflsso h w e : y h : h : ingresso scia sao A Sisema dinamico y k g A ρa v + ρa sisema non lineare invariane SISO di ordine e sreamene proprio Prof. S. Srada Fondameni di Aomaica Sisemi dinamici

23 Slla scela delle variabili di sao Il nmero di variabili di sao ossia l ordine del sisema è fissao? No il nmero di variabili di sao è deerminao solo na vola che si siano sceli i fenomeni fisici che si vogliono modellizzare 3 Prof. S. Srada Fondameni di Aomaica Sisemi dinamici

24 Esempio masse connesse con molle In analogia con la massa singola visa si riconosce essere n sisema del 4 ordine divena però del ordine se si sppone rigida na delle de molle se è rigida la prima k e m è indisingibile dalla erra; se è rigida la seconda k e m è indisingibile agli effei dinamici da m E spesso ile considerare modelli diversi per scopi. diversi per il progeo del conrollore meglio n sisema dinamico di ordine basso per la simlazione meglio ordine elevao 4 Prof. S. Srada Fondameni di Aomaica Sisemi dinamici

25 Slla scela delle variabili di sao La scela è nivoca? No na vola deerminao il nmero di variabili di sao la loro scela è arbiraria esisono diverse infinie scele che danno logo a sisemi dinamici del o eqivaleni dal pno di visa ingresso/scia Esisono crieri generali per la scela delle variabili di sao? Sì esse racchidono la soria passaa del sisema ed è narale sceglierle come variabili a ci sono associai fenomeni di accmlo di massa e/o energia nel sisema Prof. S. Srada Fondameni di Aomaica Sisemi dinamici 5

26 Crieri per la scela delle variabili di sao Accmlo di: Sisemi elerici Sisemi meccanici Sisemi ermici ensioni si condensaori correni negli indori posizioni velocià emperara il loro qadrao è proporzionale all energia Energia elerica Energia magneica Energia poenziale Energia cineica Energia inerna Serbaoi idralici livello Massa 6 Prof. S. Srada Fondameni di Aomaica Sisemi dinamici

27 7 Crieri per la scela delle variabili di sao Prof. S. Srada Fondameni di Aomaica Sisemi dinamici Oppre si pò ilizzare n crierio maemaico : se nella cosrzione del modello si arriva ad n eqazione differenziale di ordine n del ipo è narale porre come variabili di sao y e le se prime n- derivae n n n d y d d dy y 3 y n n ϕ eqazioni di sao rasformazione di scia

28 8 Prof. S. Srada Fondameni di Aomaica Sisemi dinamici Movimeno Movimeno dello sao: na fnzione ale che p m n R y R R g y f f n R Movimeno dell scia: na fnzione ale che f y p R y

29 Eqilibrio Tra i movimeni assmono paricolare imporanza gli eqilibri Sao di eqilibrio: n movimeno dello sao cosane nel empo n R Uscia di eqilibrio: n movimeno dell scia cosane nel empo p y y R Prof. S. Srada Fondameni di Aomaica Sisemi dinamici 9

30 Eqilibrio Come rovare sai e scie di eqilibrio? f Risolvere l eqazione algebrica implicia In paricolare per i sisemi dinamici invariani nel empo f Qesa eqazione pò ammeere n nmero finio infinio o nllo di solzioni. In corrispondenza a ciascno sao di eqilibrio si avrà l scia di eqilibrio y g Prof. S. Srada Fondameni di Aomaica Sisemi dinamici 3

31 Esempio Circio RC y C + R C y y Si ha eqilibrio solo se l ingresso è nllo. In al caso lo sao pò assmere valore arbirario 3 Prof. S. Srada Fondameni di Aomaica Sisemi dinamici

32 3 Prof. S. Srada Fondameni di Aomaica Sisemi dinamici Esempio Sisema massa-molla-smorzaore oscillaore armonico Qindi il pno di eqilibrio è caraerizzao da velocià nlla e da na posizione deerminaa dal rapporo ra la forza impressa cosane e la cosane elasica della molla. s M M h y M k + + k y k h y k

33 Esempio Pendolo y g l sin + ml Spponiamo nlla la coppia: g sin l y y π y π Pendolo fermo in basso Pendolo fermo in alo Il sisema ammee qindi pni di eqilibrio per il dao ingresso cosane e nllo. Prof. S. Srada Fondameni di Aomaica Sisemi dinamici 33

34 Sabilià Definizione: proprieà dei sisemi dinamici o di alcni movimeni del sisema di reagire a perrbazioni riornando nella condizione preesisene o comnqe senza allonanarsene. Perrbazioni: qelle che prenderemo in considerazione coinvolgono lo sao iniziale del sisema qeso ipo di approccio è dovo al maemaico rsso Lyapnov Nella definizione di sabilià faremo riferimeno solo a sisemi empo invariani. Inolre seremo la nozione di norma eclidea di n veore: n Prof. S. Srada Fondameni di Aomaica Sisemi dinamici 34

35 Sabilià del movimeno Si consideri n sisema dinamico invariane genericamene non lineare n p sao iniziale e il corrispondene movimeno dello sao deo nominale è n sao iniziale e il corrispondene movimeno dello sao deo perrbao è p Un movimeno nominale n si dice sabile se ε > δ > : p n δ risla p n ε Prof. S. Srada Fondameni di Aomaica Sisemi dinamici 35

36 36 Prof. S. Srada Fondameni di Aomaica Sisemi dinamici Sabilià del movimeno risla : > > n p n p ε δ δ ε Un movimeno n si dice sabile se

37 Sabilià del movimeno Un movimeno n si dice insabile se non è sabile Prof. S. Srada Fondameni di Aomaica Sisemi dinamici 37

38 Sabilià del movimeno Un movimeno n si dice asinoicamene sabile se è sabile e se in più risla lim p n Prof. S. Srada Fondameni di Aomaica Sisemi dinamici 38

39 Sabilià dell eqilibrio Il conceo di sabilià di n movimeno si pò applicare anche a qei paricolari movimeni che sono gli sai di eqilibrio. Si parlerà di sai di eqilibrio sabili insabili asinoicamene sabili Per sai di eqilibrio asinoicamene sabili si pò definire anche il conceo di regione di arazione Prof. S. Srada Fondameni di Aomaica Sisemi dinamici 39

40 Esempio. Caraerizzazione della sabilià di eqilibri in modo iniivo Pendolo Si è viso che il pendolo ammee qindi sai di eqilibrio per y Pendolo fermo in basso π y π Pendolo fermo in alo Non abbiamo ancora gli srmeni maemaici per mosrarlo ma è iniivo che il primo eqilibrio è sabile se h no ario ed è asinoicamene sabile se h c è dissipazione di energia menre il secondo eqilibrio è insabile. Prof. S. Srada Fondameni di Aomaica Sisemi dinamici 4

41 Esempio. Caraerizzazione della sabilià di eqilibri in modo grafico Sisema dinamico del ordine soggeo a n ingresso cosane Si spponga che il legame non lineare ra sia dao dalla relazione e sia rappresenao in figra. e f 3 5 il sisema ha 3 pni di eqilibrio Il pno è insabile perché perrbando lo sao iniziale ad n valore di poco speriore lo sao avendon derivaa posiiva enderà ad allonanarsi sempre più da o viceversa per perrbazioni negaive. è asinoicamene sabile e la sa -5 5 Prof. S. Srada Fondameni di Aomaica Sabilià è insabile 3 per lo sesso moivo di 3 regione di arazione è daa dall insieme [ ] 4