ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO 2005 CORSO DI ORDINAMENTO Sessione ordinaria Tema di MATEMATICA - 23 giugno 2005

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1 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO 005 CORSO DI ORDINAMENTO Sessioe ordiaria Tema di MATEMATICA - 3 giugo 005 Svolgimeto a cura del prof. Luigi Tomasi (luigi.tomasi@libero.it) RISPOSTE AI QUESITI DEL QUESTIONARIO Quesito. 1 (idetico al Quesito 1 PNI) Sia AB il lato del decagoo regolare iscritto i ua circofereza di cetro O. Vogliamo dimostrare che AB è la sezioe aurea del raggio OA (vedi figura seguete). Ifatti, uito O co i puti A e B, si ha che l agolo AOB è la decima parte di u agolo giro, ossia è u agolo di 36. Poiché il triagolo AOB è isoscele, essedo il suo agolo al vertice di 36, gli agoli alla base OAB, OBA soo di 7. Nel triagolo ABO si tracci ora la bisettrice dell agolo OBA e sia C la sua itersezioe co il lato OA. Si cosideri il triagolo ABC; esso è simile al triagolo AOC. Si dimostra ioltre facilmete che il triagolo OBC è isoscele; gli agoli CBO e COB soo uguali (a 36 ). Si ha quidi che AB=BC=CO. Dalla similitudie tra i triagoli OAB e BAC, si ottiee la seguete proporzioe OA : AB = AB : AC da cui si ricava, dato che AB=OC: OA : OC = OC : AC. Quidi OC è medio proporzioale tra il segmeto OA e il segmeto AC (che è la differeza tra il segmeto OA e OC), ossia OC è la sezioe aurea di OA. Chiamata la misura del segmeto OC, si ottiee: r : = : ( r ) da cui si ricava la seguete equazioe: = r( r ). Risolvedo l equazioe e scartado la soluzioe egativa, possiamo cocludere che: 1

2 5 1 = OC = l10 = r. Cosideriamo la circofereza goiometrica i cui AB è il lato del decagoo regolare i essa iscritto Si ha si18 = HA =. Da questa si ricava che cos18 = 1 si ( 18 ) =. Quidi, 10 5 si ottiee: si 36 = si18 cos18 =. Quesito. (idetico al Quesito del PNI) Il volume del cilidro circolare è dato da V = πr h. Poiché il volume è assegato, possiamo V ricavare l altezza h i fuzioe di r. Si ottiee h =. πr V V La superficie totale è data dalla fuzioe S tot ( r) = π r + πr = πr +. πr r 3 V πr V La derivata prima della fuzioe è: S' tot ( r) = π r =. r r Dallo studio del sego della derivata prima si ricava che la miima superficie totale si ha per V V r = 3 e quidi per h = 3. π π Sostituedo V=0, litri=00 cm 3, si ottiee che r cm e h cm. Quesito. 3 (idetico al Quesito del PNI)

3 Defiizioe di retta tagete a ua curva i u suo puto: se la fuzioe y = f ( ) è derivabile i u puto 0 si defiisce retta tagete alla curva che rappreseta il grafico di f ( ) i 0, la retta passate per il puto (, f 0 ( 0 )) e avete come coefficiete agolare f '( 0 ). Tale retta avrà per equazioe: y f ( 0 ) = f '( 0 )( 0 ) Sia f ( ) si =, avremo f '( ) si + cos =. Se si = 1 allora cos = 0 e π π π π = + kπ, co k Z ioltre f + kπ = + kπ e f ' + kπ = 1; la retta tagete al π π grafico di f i questi puiti sarà y + kπ = 1 + kπ, co k Z e quidi y = sarà la retta tagete. Si procede aalogamete per i puti i cui si = 1, trovado che la retta tagete i tali puti ha equazioe y =. Quesito. Chiamiamo p il semiperimetro del rettagolo e co la misura di u lato del rettagolo. Si ha: 0 p. L area del rettagolo sarà: A( ) = ( p ), co 0 p. Il grafico di questa fuzioe è u arco di parabola, che ha il suo massimo el vertice, quidi per p =, ovvero el caso i cui il rettagolo è u quadrato. Quesito. 5 (simile al Quesito 5 del PNI) Il umero di Nepero viee defiito come limite della successioe 1 e = lim a = 1 + : Si dimostra che la successioe a = 1 +, co N0, è mootoa crescete e limitata, co tutti i termii compresi tra e 3. Si può vedere che la covergeza ad e è piuttosto leta. Si ha ioltre + 1 = 1 + < 1 + La successioe b 1 + è ivece decrescete e tede ach essa ad e per eccesso

4 Questo umero è fodametale i matematica e i moltissime applicazioi. Si dimostra, ma ciò o è per ulla elemetare, che e è u umero irrazioale e trascedete. Il umero e viee assuto come base di u sistema di logaritmi detti eperiai o aturali. La fuzioe f ( ) = e è la fuzioe espoeziale più importate e possiede molte proprietà. Ad esempio, la sua derivata è la fuzioe stessa, la sottotagete al grafico è costate,. La fuzioe è ivertibile e la sua fuzioe iversa è y = l. La derivata della fuzioe f ( ) = e è u caso particolare della derivata della fuzioe f ( ) = a co a positivo e diverso da 1. La derivata della fuzioe f ( ) = a è f '( ) = a l a, che el caso particolare i cui a = e forisce f '( ) = e Quesito. 6 (idetico al quesito 7 del PNI) Dato u umero aturale o ullo, si defiisce fattoriale di e si idica co!, il seguete umero aturale! = ( 1)( )... 1, ovvero il prodotto di tutti i umeri aturali o ulli miori od uguali a. Per defiizioe si poe 0!=1. Il fattoriale di u umero si può defiire ache i modo ricorsivo: 1. se =0, si poe 0! = 1, altrimeti.! = ( 1)! I fattoriali soo umeri che crescoo molto i fretta. Nel calcolo combiatorio il fattoriale di u umero rappreseta il umero delle permutazioi di oggetti. Ua permutazioe è ua disposizioe semplice di oggetti di classe. Il legame tra il fattoriale e i coefficieti biomiali è strettissimo, perché la prima proprietà che si dimostra sui coefficieti biomiali, e dalla quale si ricavao tutte le altre, si chiama legge dei tre fattoriali:! = k k!( k )! che si dimostra facilmete ricordado la formula che forisce il umero delle combiazioi semplici a partire da oggetti, di classe k, co k. Quesito. 7 Per essu umero reale, come si vede ella figura. Ifatti il grafico della fuzioe 3 f ( ) = o iterseca la retta di equazioe y =.

5 3 3 Si potrebbe ache risolvere l equazioe =, che forisce = 0, che si può scrivere ella forma ( + ) + 1 = 0, ovvero ( ) + 1 = 0, dove il primo membro è sempre positivo. Quesito. 8 I cetri delle facce di u cubo soo i vertici di u ottaedro regolare, perché le facce soo triagoli equilateri, tutti cogrueti tra loro e i ogi vertice dell ottaedro covergoo spigoli. L ottaedro regolare è il poliedro duale del cubo. Il umero dei vertici dell ottaedro (6) è uguale al umero delle facce del cubo. Il umero degli spigoli è lo stesso. Vale la relazioe di Eulero: F+V-S= (si ha 8+6-1=). Il volume dell ottaedro è 1/6 del volume del cubo. Si ha ifatti, se s è lo spigolo del cubo: 1 1 s 1 3 V ( ottaedro) = s = s

6 Quesito. 9 Sappiamo che il si(55 ) = cos(35 ). Quidi il valore richiesto è: si (35 ) + cos (35 ) = 1. Quesito. 10 Il testo è errato. La fuzioe o è defiita i = 1. Si ottiee il grafico di ua fuzioe costate a tratti, co ua discotiuità di 1^ specie el puto = 1. La derivata della fuzioe è: 1 1 f '( ) = ( + 1) ( + 1) f '( ) = = (1 + ) ( + 1) Si vede che dove la fuzioe è cotiua, allora è costate. Tuttavia la fuzioe ha u puto di discotiuità di 1^ specie. Poiché la fuzioe è costate a tratti, possiamo calcolare i valori i due opportui puti del domiio, uo maggiore di -1 e l altro miore di -1 (valori otevoli ei quali sappiamo calcolare l arcotagete). 6

7 π Se = 0, si ha f ( ) =. 3π Se = 3, si ha f ( ) = La fuzioe è quidi defiita a tratti come segue: π se > 1 f ( ) =. 3π se < 1 7

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