le dimensioni dell aiuola, con le limitazioni 0 x λ λ

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1 PROBLEMA a) idicate co e co che e esprime l area è: le dimesioi dell aiuola, co le limitazioi 0 A( )., la fuzioe Per la ricerca del massimo si studia il sego della derivata prima Si ha: 0 / / A' ( ). Si ha la massima area per. Poiché la fuzioe rappresetativa è u poliomio di secodo grado il massimo relativo è ache massimo assoluto. Allo stesso risultato si poteva giugere i modo diretto cosiderado che si tratta di u problema simmetrico e che il valore estremo si ha el cetro della simmetria. È oto ifatti che fra tutti i rettagoli di dato perimetro il quadrato è quello di area massima. b) Idicate rispettivamete co e co le due parti i cui è suddiviso il filo, co le limitazioi 0, le aree dell aiuola circolare e dell aiuola quadrata soo, rispettivamete: essedo π ( ) S( ) + e risulta 6 π Dallo studio del sego di S' ( A C ( ) ( ) e π A Q ( ) 6 ed, rispettivamete raggio e lato del quadrato. La somma delle aree è: S'( ) 8 π ) si ha: 0 / ( π + ) Pertato il miimo di S() si ha per e, poiché la fuzioe S() è u poliomio di π + grado, tale valore è ache miimo assoluto.

2 c) L evetuale massimo di S(), per la atura di tale fuzioe, può essere solo i corrispodeza degli estremi dell itervallo. Si ha S (0) e S ( ). Il massimo richiesto si ha i u estremo, cioè per 0, quado π 6 cioè tutto il filo viee utilizzato per l aiuola circolare. Idicate a, b, c le dimesioi di u parallelepipedo rettagolo, il suo volume è V a b c. Aumetado del 0% ogi dimesioe il volume risulta V (, ) a b c, V. L aumeto è duque del,%. PROBLEMA. La codizioe di tageza tra le due fuzioi impoe che sia: log a a a log e a e Essedo e l ascissa del puto di tageza. Le soluzioi dell equazioe log a soo le ascisse dei puto di itersezioe delle due fuzioi Per a < 0 l equazioe log a ha sempre ua ed ua sola soluzioe. Per a 0 la g() è l asse e quidi ua sola soluzioe. Per 0 < a si hao due soluzioi. ) log log. Area ABCD ( ) d [ ] log ( 0

3 . Scelto, ad esempio a si ottiee Dai risultati acquisiti al puto, la h( ) h() è ovuque egativa. log defiita per > 0. Poiché è u ifiitesimo di ordie superiore rispetto a log si ha: lim h ( ) ; + 0 e poiché è u ifiito di ordie superiore rispetto a log si ha: lim h ( ) ; + Le derivate h '( ) e h ''( ) evideziao u puto di massimo i ; e l asseza di flessi poiché h' '( ) è ovuque egativa. QUESTIONARIO. La somma S dei chicchi di grao è data dalla somma dei primi 6 termii di ua progressioe geometrica di primo termie, di ragioe q. Risulta pertato. Trattadosi di u problema cocreto procediamo co criteri di approssimazioe. Itato possiamo assumere 6 S. Sapedo che 0 0 può essere approssimato co 0, si ha: Il peso totale i grammi è 8 8. Per avere il peso i toellate si deve dividere questo umero per 0. Si ha pertato che il grao richiesto 5 8 pesa circa 8 toellate. Ache ricorredo al calcolo logaritmico si possoo 0 calcolare le approssimazioi richieste.. La superficie di u poliedro regolare è costituita da poligoi regolari tutti dello stesso tipo e i ogi vertice di ciascu agolo solido cocorre lo stesso umero di poligoi. È duque ecessario che la somma degli agoli che cocorroo i vertice sia miore di 60. Si hao così i segueti casi possibili. a. el vertice dell agolo solido cocorroo tre triagoli equilateri (somma 80 ) si ha il tetraedro (quattro facce) b. el vertice dell agolo solido cocorroo quattro triagoli equilateri (somma 0 ) si ha il l ottaedro (otto facce) c. el vertice dell agolo solido cocorroo cique triagoli equilateri (somma 00 ) si ha l icosaedro (veti facce). Sei triagoli dao 60 e o formao agolo solido. d. el vertice dell agolo solido cocorroo tre quadrati (somma 70 ) si ha l esaedro o cubo (sei facce). Quattro quadrati dao 60 e o formao agolo solido e. el vertice dell agolo solido cocorroo tre petagoi (somma ) si ha il dodecaedro (dodici facce). Quattro petagoi dao e o formao agolo solido. I cique poliedri regolari soo ache detti solidi platoici.. Posto AB BC y, si ha: A B B C y 8 S 6 0 6

4 Si ha, co riferimeto alla figura a lato, z area(abcd) y 50 e area(a B C D ) ( )(y 8)50 da cui y + 8 che sostituito i z dà: z + da cui z ' 8 ( ) Studiado il sego della derivata prima si ha l area miima richiesta per 9 cm e y 8cm. La diagoale d del cubo è data dal diametro della sfera. Pertato lo spigolo del cubo è d ed il suo volume V m. Poiché m 000litri, la capacità del 9 serbatoio è circa 9,5 litri. a + b 5. Si ha ( ) a b Poedo ella formula 0 a b si ottiee 0 6. Il quesito coduce sistema misto parametrico: 5 cos co 0 < < 90 0 < cos < Pertato il sistema ammette ua soluzioe per i valori di che soddisfao il sistema: 5 > 0 5 < cioè per < < La fuzioe f ( ) è u poliomio di grado, ovuque cotiua e derivabile, pertato le codizioi poste dal teorema soo verificate. Essedo f '( ), il valore ξ richiesto f ( b) f ( a) è soluzioe dell equazioe f '( ξ ) ovvero ξ ξ + 0. Le soluzioi di tale b a equazioe soo ξ e ξ. Per le codizioi poste dal teorema la secoda o è accettabile.

5 π 8. Si perché la fuzioe f ( ) tg preseta ua discotiuità el puto itero all itervallo. La fuzioe f ( ) tg assume valore π π e poi fio a (escluso ) è π π sempre crescete. Oltre il e fio a è crescete, ma il suo valore massimo è. 9. La fuzioe richiesta è la fuzioe f ( ) e 0. Le codizioi poste coducoo al seguete sistema lieare elle icogite a e b a b a + b 0 la cui soluzioe è a b Prof. Giafraco Pistoi Liceo scietifico Archimede Prof. Ferrucio Rohr Liceo scietifico Nometao