Sistemi retroazionati: criterio di Nyquist e margini di stabilità

Transcript

1 Corsi di Laurea in Ingegneria Elettronica, Informatica e delle Telecomunicazioni Lezione n. 12 di Controlli Automatici A rof. Aurelio Piazzi Sistemi retroazionati: criterio di Nyquist e margini di Università degli Studi di Parma a.a

2 La buona connessione nei sistemi retroazionati Un metodo grafico er lo studio della nei sistemi retroazionati: il criterio di Nyquist Una misura della distanza dall in: i margini di 2

3 Sistemi retroazionati: il requisito di buona connessione r + Gs () H () s y T ry Gs () () s = 1 + Ls ( ) ( ) Ls ( ) : = GsHs ( ) ( ) g. di anello Def. (buona connessione) Il sistema retroazionato è ben connesso se lim 1 + Ls ( ) 0. s + La buona connessione è una condizione necessaria er la realizzabilità fisica dell anello di retroazione. E una condizione che assumiamo sia semre soddisfatta. 3

4 Esemi di sistemi in retroazione non ben connessi : G Gs () = 1, Hs () = 1 Try = = =! 1+ GH y = e y = r+ y eq. imossibile con r 0 e = r ( 1) y s + 2 s+ 2 s+ 2 G 2. Gs () =, Hs () = T s 1 ry = = + s+ 1 s GH s+ 2 s+ 2 1 s + 1 s + 5 s + 2 s + 1 ( s+ 2)( s+ 5) Try = = 2 ( s+ 1)( s+ 5) ( s+ 2) 2 2 s + 6s+ 5 ( s + 4s + 4) ( s + 1) ( s + 5) ( s+ 2)( s+ 5) 1 ( s+ 2)( s+ 5) = = 2s s + 2 sistema imrorio! 4

5 r Il criterio di Nyquist È un criterio grafico er lo studio della asintotica dei sistemi retroazionati. + Gs () H () s y T ry Gs () () s = 1 + Ls ( ) ( ) Ls ( ) : = GsHs ( ) ( ) g. di anello Il sistema retroazionato è stabile asintoticamente se e solo se l eq. caratteristica 1 + L(s) = 0 ha tutte le radici a arte reale negativa. Il criterio di N. richiede il tracciamento del diagramma olare (o di N.) di L(jω). 5

6 Teorema dell indice logaritmico (Princile of the Argument) Sia Γ una curva chiusa del iano comlesso e D la regione ad esso interna ( Γ = D ). Sia F(s) una funzione analitica su D ad eccezione di un numero finito di oli. Inoltre F(s) non abbia su Γ né oli né zeri. Vale quindi la relazione: 1 arg Fs ( ) nz n 2π Δ = dove Δarg F(s) denota la variazione dell argomento di F(s) al variare di s lungo Γ er un giro comleto in senso antiorario ed n z e n sono risettivamente il numero degli zeri e dei oli di F(s) su D comutati con le loro moltelicità. 6

7 Nota: Se la curva Γ fosse ercorsa in senso orario la relazione sarebbe: 1 Δ arg Fs ( ) = nz n 2π Esemio: iano s s Γ iano immagine curva immagine Fs () θ i ( ) Δ arg Fs ( ) = θ θ = θ + 2 2π θ = 4π n z f i i i = 3, n = 1 (zeri e olo con moltelicità unitaria) 1 4 π = 3 1 2π Con la ercorrenza oraria di Γ avremmo: 1 Δ arg Fs () = θ f θi = ( θi 22 π) θi = 4 π ( 4π) = 3 1 2π 7

8 Corollario (formulazione geometrica del teorema dell indice log.) Assunte le iotesi del teorema dell indice log. con la ercorrenza di Γ antioraria vale la relazione: numero di giri, in senso antiorario, = nz n della curva immagine intorno all'origine oure, assunte le iotesi del teorema dell indice log. con la ercorrenza di Γ oraria vale la relazione: numero di giri, in senso orario, = nz n della curva immagine intorno all'origine 8

9 { s s } : = + : Re > 0 Alicazione del teorema dell indice log. alla dei sistemi retroazionati: La curva chiusa di figura ercorsa in senso orario è detta contorno di Nyquist: è comosta da una semicirconferenza all infinito, semicirconferenze infinitesime aggiranti oli o zeri immaginari di L(s) e da segmenti dell asse immaginario. Si osservi che er ρ 0 + e R + D + ρ R ρ 0 R 9

10 Alichiamo il teorema dell indice logaritmico nella sua formulazione geometrica scegliendo la funzione 1 + L(s) e il contorno di Nyquist quale curva del iano comlesso: n z : = n. degli zeri di 1 + L( s) aartenenti a n : = n. dei oli di 1 + L( s) (o di L( s) ) aartenenti a n. di giri in senso orario della ψ : = curva immagine di 1 + Ls ( ) sul contorno = nz n di Nyquist intorno all'origine

11 Def. (diagramma olare comleto) Il diagramma olare comleto è la curva chiusa immagine di L(s) sul contorno di Nyquist. Quindi ψ = n n dove z { n. di giri in senso orario del d..c. intorno al unto 1 j0} ψ = + Infatti n. di giri in senso orario della n. di giri in senso orario del curva immagine di 1 + Ls ( ) sul contorno = d..c. intorno al unto 1+ j0 di Nyquist intorno all'origine 11

12 Esemio : Ls () = 60 ( s+ 1)( s+ 2) 2 R Contorno di Nyquist R + diagramma olare comleto (d..c.) curva immagine di 1 + Ls ( ) sul contorno di Nyquist ψ = 2, n = 0 ψ = n n n = 2 Il sistema retroazionato è instabile! z z 12

13 Deduzione del Criterio di Nyquist Il sistema in retroazione è asintoticamente stabile se e solo se 1. Non esistono radici uramente immaginarie di 1 + L(s) = n z = 0 L affermazione 1. uò essere trasformata in accordo alla seguente catena di equivalenze: { jω j 1 + L( jω) = 0 } { jω j 1 + L( jω) = 0} { ω L( jω) 1} { Il diagramma olare di L( jω) assa er 1 j0} { Il d..c. assa er 1 j0} { Il d..c. non assa er 1 j0} = L affermazione 2. uò essere sostituita: { n = 0} { ψ = n } z ψ = n z n 13

14 È quindi rovata la roosizione: Il sistema in retroazione è asintoticamente stabile se e solo se (1) il d..c. non tocca 1+ j0 e (2) ψ = n Criterio di Nyquist Condizione necessaria e sufficiente affinché il sistema in retroazione sia asintoticamente stabile è che il diagramma olare comleto non tocchi il unto critico 1 ma lo circondi tante volte in senso antiorario quanti sono i oli del guadagno di anello con arte reale ositiva. Nota: Il criterio di Nyquist è valido er una classe di funzioni L(s) iù amia delle sole funzioni razionali: in articolare è valido er L(s) = R(s) e Ts con R(s) funzione razionale 14

15 Dal criterio generale discende immediatamente il corollario: Corollario (caso articolare del Criterio di Nyquist) Nell iotesi che il guadagno di anello non abbia oli a arte reale ositiva, condizione necessaria e sufficiente affinché il sistema in retroazione sia asintoticamente stabile è che il diagramma olare comleto non tocchi né circondi il unto critico 1. Nota: Il corollario non è da associarsi ai sistemi stabili ad anello aerto 15

16 Margini di La rorietà di (asintotica) di un sistema retroazionato è di er sé una rorietà on/off. Tuttavia è oortuno e necessario inserire nelle secifiche tecniche associate ad un sistema retroazionato una misura della distanza dall in. Esemio: L(s) asintoticamente stabile 1 1 sistema r. vicino all in sistema r. distante dall in 16

17 La distanza dall in nei sistemi retroazionati è tradizionalmente affidata ai cosiddetti margini di frequenziali ovvero il margine di amiezza (M A ) e il margine di fase (M F ). M F 1 1 M A M ω M 1 : = dove ω arg L( jω ) = π L( jω ) A F ulsazione di fase i greco : = π ϕ c dove ϕ = arg L( jω ) e ω L( jω ) = 1 c c c c ϕ ( π,0), ω ulsazione critica c c M (1, + ) a volte esresso in decibel: M 20log M (db) M A A A F > 0 esresso usualmente in gradi sessagesimali 17

18 L( jω) (db) Margini di amiezza e di fase misurati sui diagrammi di Bode M A ω (log) 20log M = 20log L( jω ) A arg L( jω) ω (log) π M F 18

19 Problemi con le definizioni tradizionali dei margini di Esemio 1.2 Ls () = = s s ( 1+ s) = 2 2 s s ( 1+ s) L( jω) = 2 2 ω jω ( 1+ jω ) M = 1.11 M A F o o = 8,59 e non 127,65 8, ,

20 Definizioni generalizzate dei margini di Il sistema retroazionato sia stabile asintoticamente: 1 M A : = su M > 1: 1 + γl( jω) > 0 γ, M e ω 0 M [, ] { jϕ φ ω ϕ φ φ e ω 0} M : = su > 0: 1 + e L( j ) > 0 + F I margini di sono norme che misurano la distanza del unto critico 1+j0 dal diagramma olare di L(jω). 20

21 Prorietà 1 Sia M > 1. Vale la disequazione 1 + γl( jω) > 0 γ, M e ω 0 M se e solo se il segmento dell'asse reale comreso fra M e 1 M non interseca il diagramma olare di L( jω). Dim. : γl( jω) > 0 γ, M e 0 M ω L( jω) > 0 γ, M e ω 0 γ M Si noti che γ M M M γ M 1 γ M 1 L( jω) + γ 1 M L( jω) 21

22 Prorietà [ ] jϕ Sia φ > 0. Vale la disequazione 1 + e L( jω) > 0 ϕ φ, + φ e ω 0 ( π+ ϕ) ϕ [ φ + φ] j se e solo se l'arco di circonferenza di equazione e,, non interseca il diagramma olare di L( jω). Dim. : jϕ { 1 + e L( jω) > 0 ϕ [ φ, + φ] e ω 0} jϕ jϕ ( e L j ) e [ ] { 1 + ( ω) > 0 ϕ φ, + φ e ω 0} jϕ { L( jω) + e > 0 ϕ [ φ, + φ] e ω 0} { j( π+ ϕ) L( jω) e > 0 ϕ [ φ, + φ] e ω 0} L( jω) φ φ ( + ) j e π ϕ j( ) e π + ϕ 1 L( jω) 22

23 Procedura generale er il calcolo dei margini di 1 1 M 1 { } M = min M, M A 1 2 M 2 M F = { φ φ } min, 1 2 φ 2 φ 1 23

24 Punti salienti della lezione: Il teorema dell indice logaritmico Il contorno di Nyquist ed il diagramma olare comleto Margine di amiezza e margine di fase 24