Compito di Matematica II - 12 Settembre 2017

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1 Compito di Matematica II - Settembre 7 Corso di Laurea i Ottica e Optometria - A.A. 6/7 Soluzioi degli esercizi. Esercizio. a) Il domiio C è il cerchio di raggio uitario. La fuzioe fx y) = x + y è defiita e cotiua su tutto R. Pertato fx y) risulta itegrabile sul domiio C. Data la simmetria del domiio C e della fuzioe fx y) coviee calcolare l itegrale i coordiate polari. Il cambiameto di variabili è defiito da { x = ρ cosθ) y = ρ siθ) co determiate Jacobiao pari a ρ. Pertato π [ fx y) dxdx = ρ ) ] ρ dρ dθ = π C ρ 3 ρ) dρ = 3π b) Il domiio D è il rettagolo [ ] [ ]. La fuzioe fx y) = e x+y + y) è defiita e cotiua su tutto R. Duque fx y) è itegrabile su D. Per calcolare l itegrale si procede utilizzado le formule di riduzioe per domii rettagolari. Si ha ad esempio [ fx y) dx dy = e x+y + y ) ] dx dy Calcoliamo l itegrale itero Resta allora da calcolare e x+y + y ) dx = e x+y + xy ) = ey+ + y e y Troviamo quidi e y+ + y e y) dy = ) e y+ + y ey = fx y) dx dy = e 3 e e + 3

2 Esercizio. a) La serie = è ua serie a termii o egativi pertato o coverge o diverge. 6 Osserviamo che la codizioe ecessaria per la covergeza della serie è soddisfatta ifatti 6 = Tuttavia la serie è divergete. Per dimostrarlo possiamo utilizzare il criterio del cofroto asitotico co la serie armoica /. Ifatti troviamo 6 = 6 Le due serie hao lo stesso carattere. Essedo la serie armoica divergete lo è ache la serie data. b) La serie siπ/) = è a termii defiitivamete positivi quidi o coverge o diverge. π/ Si osserva che la codizioe ecessaria per la covergeza o è soddisfatta ifatti siπ/) π/ = come si può vedere itroducedo ɛ = π/ ed usado il ite otevole siɛ) ɛ ɛ Si coclude allora che la serie diverge. c)la serie = ) a co a = 9+7 è ua serie a termii a sego altero. Per studiare la covergeza assoluta della serie occorre studiare il carattere della serie = a ovvero di = = Applichiamo il criterio del cofroto asitotico co la serie divergete = = 4. Si ha Pertato le due serie hao lo stesso carattere e la serie = ) a è assolutamete divergete. E questo u caso i cui l iformazioe sulla covergeza assoluta o permette di cocludere ulla sulla covergeza ordiaria. Per la covergeza ordiaria si cerca allora di verificare se le ipotesi del criterio di Leibiz soo soddisfatte. -ite di a = -mootoia di a ) a a + = > Duque le ipotesi del criterio di Leibiz soo soddisfatte e la serie è covergete.

3 c) La serie 4 = è a termii positivi. La codizioe ecessaria per la covergeza è 3 soddisfatta: ifatti 4 3 = Per studiare il carattere della serie possiamo applicare il criterio del cofroto asitotico co la serie covergete =. Si ottiee 6 3 = Esercizio 3. a) La fuzioe fx y z) = e x +y +z ) è defiita su tutto R 3 ed è di classe C R 3 ). I puti critici di fx y z) soo idividuati dalla relazioe fx y z) =. Esplicitamete si ha x e x +y +z ) fx y z) = 4y e x +y +z ) z e x +y +z ) x fx y z) = 4y fx y z) z fx y z) Impoedo adesso fx y z) = si trova u solo puto critico P = ). Determiiamo adesso la atura del puto critico trovato calcolado la matrice Hessiaa Hx y z). Esplicitamete si trova 4x fx y z) fx y z) 8xyfx y z) 4xzfx y z) Hx y z) = 8xyfx y z) 6y fx y z) 4fx y z) 8zyfx y z) 4xzfx y z) 8yzfx y z) 4z fx y z) fx y z) simmetrica per il teorema di Schwarz. I P otteiamo HP ) = 4 HP ) è duque ua matrice diagoale co autovalori tutti egativi. Si coclude allora che il puto P = ) è u puto di massimo forte. b) La fuzioe fx y) = x + y x ) è defiita i tutto R ed è di classe C R ). Si idividuao i puti critici impoedo fx y) =. Si ha ) x + y fx y) = xy y Il gradiete si aulla i tre puti P = ) P = ) e P 3 = ). La matrice Hessiaa Hx y) su u geerico puto x y) di D vale ) y Hx y z) = y x simmetrica per il teorema di Schwarz. I P otteiamo HP ) = ) 3

4 Duque P è u puto di massimo forte. I P otteiamo HP ) M = ) co T rm) = e detm) = 8. Pertato gli autovalori di M soo o ulli e di sego opposto: M è u puto di sella. Ifie i P 3 si trova ) HP 3 ) N = co T rn) = e detm) = 8. Pertato gli autovalori di N soo o ulli e di sego opposto: ache N è u puto di sella. Esercizio 4. a) Si tratta di u equazioe differeziale omogeea del secodo ordie a coefficieti costati. Per determiare le due soluzioi liearmete idipedeti occorre trovare le radici del poliomio caratteristico associato P r) = r + 9 Ci troviamo el caso < e pertato troviamo due radici complesse: r = 3i e r = 3i. Si oti che tali radici soo immagiarie pure. Pertato l itegrale geerale si scriverà ella forma yx) = c e 3ix + c e 3ix Tale itegrale può essere ache scritto ella forma reale prededo ua combiazioe lieare diversa delle due soluzioi idipedeti ovvero yx) = c e 3ix + e 3ix) + c e 3ix e 3ix) = c cos3x) + c si3x) b) L equazioe i questioe è u equazioe differeziale del primo ordie o omogeea. Applicado la formula per l itegrale geerale scriviamo yx) = ce Ax) + e Ax) fx) e Ax) dx co Ax) primitiva di ax) =. Possiamo quidi scegliere Ax) = x. Pertato la soluzioe geerale è yx) = ce x + e x e x dx = ce x Ifie sostituedo la codizioe iiziale si ha da cui c = 3. Pertato otteiamo y) = c = Esercizio 5. yx) = 3 ex 4

5 a) La fuzioe fx y) ha come domiio l isieme D = R ) ed è differeziabile i tutto D. Il suo gradiete vale ) x x fx y) = +y ) y x +y ) b) Dato che f è differeziabile el puto ) esiste il piao tagete i tale puto. Applichiamo la formula geerale ) ) ) z = fx y ) + fx x x x y ) co = y y y Si ha Pertato ovvero f ) = ) z = x ) y ) z = x + y) + 3 c) Grazie alla differeziabilità si può applicare la formula del gradiete el puto ). Esplicitamete D v f ) = f ) v = f f ) cosθ) + ) siθ) = cosθ) x y Impoedo addesso cosθ) = si trova cosθ) = e duque θ =. 5