Grandezze fisiche, vettori:

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1 Grandezze fiice, vettori: Generalità: oluzioni Problema di: Generalità - I0001 Sceda 3 Ripetizioni Cagliari di Manuele Atzeni info@ripetizionicagliari.it Eeguire le converioni di unità di miura Teto [I0001] Eegui le omme indicate qui di eguito, cegliendo a tuo piacimento l unità di miura del riultato tra le due già preenti. Immaginiamo di convertire in metri la quantità S = 10 km oppure in ore la quantità t = 90 min. Il procedimento da eguire prevede i eguenti paaggi, rappreentati poi di eguito: 4 m m =; 3 m +5cm =; 3 m + 18 mm =; 9 km m 2 =; 9 m cm 2 =; 9 m 2 +5dm 2 =; 12 Km m 3 =; 8 m cm 3 =; 2 m dm 3 =; 45 l + 50 dl =; 45 l + 50 cl =; 8 dl +2cl =; 7 kg g =; 3 kg +3g =; 3 g + 55 mg =; 3 +5min =; 3 min +2ec =; 3 +5ec =; 36 km + 30 m = 25 kg m g cm 3 = 2 kg m 8 kg m +5 g cm = +5 g km = 1. Ricrivere la parte numerica laciandola immutata. 2. Al poto delle unità di miura ce compaiono ricrivere il loro equivalente nella nuova unità di miura: al poto di km crivo 1000 metri (infatti in un kilometro ci ono 1000 metri) e al poto di min crivo 60 (infatti per crivere l equivalente di un minuto devo prendere un ora e dividerla per 60) 3. Eeguire le operazioni del cao ui numeri rimati 12 Km = m = m 90 min = =1.5 Spiegazione Tutte le omme indicate nell eercizio poono eere eeguite in quanto le grandezze fiice coinvolte ono empre omogenee; queto ignifica ce ogni volta vengono ommate due lungezze, oppure due tempi, oppure due mae, due denità, ecc. Per eeguire la omma devo traformare una delle due grandezze nell altra, preoccupandomi, ad ogni paaggio, di crivere qualcoa di divero ma equivalente. Speo quete ono ciamate infatti equivalenze in quanto quello ce ottengo è empre equivalente a quello da cui ero partito. Nel cao ce la converione ia più complea il procedimento in realtà non cambia. Oerviamo nel dettaglio quanto egue: la parte numerica viene copiata uguale, la linea di frazione viene copiata uguale, al poto di km crivo 1000 m ce rappreenta la quantità equivalente eprea un metri, al poto di (ore) crivo la quantità equivalente in econdi e cioè Analogamente avremo: 130 Km 1000 m = = 36.11m 7 Km = 7000 m = cm = = 4375 Migliaterretri =7, anniluce 130 Kg m 3 = 130 Kg m m m = g g =0, cm 100 cm 100 cm cm 3 15

2 16 Sceda3. Generalità: oluzioni 4 m m =4 100 m m = 700 m; 4 m m =4m m 100 =7m; 3 m +5cm =3 100 m +5cm = cm +5cm = cm; 3 m +5cm =3m +5 m 100 =3m +5 m =3, m; 3 m + 18 mm = mm + 18 mm = 3018 mm; 3 m + 18 mm =3m + 18 m 1000 =3, 018 m; 9 km m 2 =9 10 m 10 m + 10 m 2 = 900 m m 2 = 910 m 2 ; 9 km m 2 =9km km 10 km 10 =9km2 +0, 1 km 2 =9, 1 km 2 ; 9 m cm 2 =9 100 cm 100 cm cm 2 = cm cm 2 = cm 2 ; 9 m cm 2 =9m m 100 m 100 =9m2 +0, 02 m 2 =9, 02 m 2 ; 9 m 2 +5dm 2 =9 10 dm 10 dm +5dm 2 = 900 dm 2 +5dm 2 = 905 dm 2 ; 9 m 2 +5dm 2 =9m 2 +5 m 10 m 10 =9m2 +0, 05 m 2 =9, 05 m 2 ; 12 Km m 3 = m 10 m 10 m m 3 = m m 3 = m 3 ; 12 Km m 3 = 12 km km 10 km 10 km 10 = 12 km3 +0, 78 km 3 = 12, 78 km 3 ; 8 m cm 3 =8 100 cm 100 cm 100 cm + 15 cm 3 = cm cm 3 = cm 3 ; 8 m cm 3 = 8m m 100 m 100 m 100 = 8m3 +0, cm 3 = 8, cm 3 ; 2 m dm 3 =2 10 dm 10 dm 10 dm + 40 dm 3 = 2000 m dm 3 = 2040 dm 3 ; 2 m dm 3 =2m m 10 m 10 m 10 =2m3 +0, 04 m 3 =2, 04 m 3 ; 45 l + 50 dl = dl + 50 dl = 500 dl; l 45 l + 50 dl = 45 l = 50 l; 45 l + 50 cl = cl + 50 cl = 4550 cl; l 45 l + 50 cl = 45 l = 45, 5 l; 8 dl +2cl =8 10 cl +2cl = 82 cl; 8 dl +2cl =8dl +2 dl 10 =8, 2 dl; 7 kg g = g g = 7400 g; 7 kg g =7kg kg 1000 =7, 4 kg; 3 kg +3g =3 10 g +3g = 33 g; 3 kg +3g =3kg +3 kg 10 =3, 3 kg; 3 g + 55 mg = mg + 55 mg = 3055 mg; 3 g + 55 mg =3g + 55 g 1000 =3, 055 g; 3 +5min =3 60 min +5min = 185 min; 3 +5min = =3, 0833 ; 3 min +2ec =3 60 ec +2ec = 182 ec; 3 min +2ec =3min +2 min 60 =3, 0333 min; 3 +5ec = ec +5ec = ec; 3 +5ec = =3, 0014 ; 36 km + 30 m 36 km + 30 m = 36 km = m m = 40 m + 30 km = 144 km 25 kg m + 12 g 1000 g 3 cm = cm 100 cm 100 cm + 12 g cm = 12, 025 g 3 cm 3 25 kg m + 12 g 3 cm = 25 kg 3 m + 12 kg m m m = kg m 3 2 kg m 2 kg m 8 kg m 8 kg m +5 g cm +5 g cm +5 g km +5 g km = g 100 cm +5 g cm = g cm =2 kg m kg m =2, kg m 2 =8 =8 kg m 1000 g km g km = g km +5 kg m 1000 kg m =5, 0014

3 17 Sceda3. Generalità: oluzioni Problema di: Vettori - I0002 Problema di: Grandezze fiice - I0003 Teto [I0002] Dati due vettori e ripettivamente di moduli a = 12 e b = 16, diegnateli in modo tale ce la loro omma ia un vettore ~c il cui modulo valga c = 28. Ripetete l eercizio in modo tale ce c =4; c = 10; c = 20; c = 24. Teto [I0003] In un bicciere vengono verati un volume V H2 = 50 cm3 O di acqua ed un volume V a = 50 cm 3 di olio. L acqua a una denità = H2 O 1 kg dm e l olio a una denità 3 o =0, 8 g cm. Quanto volume di liquido i trova 3 nel bicciere? Quanta maa di liquido i trova nel bicciere? Spiegazione Il modulo della omma di due vettori dipende dai moduli di quei due vettori e dall angolo compreo tra i due vettori. Vito ce il teto dell eercizio mi dice quanto valgono i due vettori, per riolvere l eercizio biogna indicare quanto vale l angolo tra di ei. Queta è una diretta coneguenza della regola del parallelogrammo. Affincè il vettore omma c = 28 i due vettori devono eere paralleli e nello teo vero Affincè il vettore omma c = 24 i due vettori devono eere poizionati ad un angolo acuto Affincè il vettore omma c = 20 i due vettori devono eere poizionati ad un angolo retto = 90 Affincè il vettore omma c = 10 i due vettori devono eere poizionati ad un angolo ottuo Affincè il vettore omma c =4i due vettori devono eere poizionati ad un angolo piatto = 180 ~c = 24 ~c = 20 ~c = 10 Spiegazione In queto problema l unica coa da apere è coa ia la denità di un materiale. i volumi dei due liquidi ono tati dati dal problema; le mae i ricavano conocendo i valori della denità. La maa dell acqua è Il volume compleivo di liquido è emplicemente V tot = V H2 O + V olio = 100 cm 3 m = V =1 g H2 O H 2 O H 2 50 cm3 O cm3 Poiamo vedere ce le unità di miura non i emplificano come dovrebbero; dobbiamo quindi fare una converione di unità di miura prima di poter eeguire il conto m H2 O La maa dell alcool è kg dm3 =1 50 =0, 05 kg = 50 g dm m a = olio V olio =0, 8 La maa di liquido nel bicciere vale g cm 3 50 cm3 = 40 g m tot = m H2 O + m olio = 90 g

4 18 Sceda3. Generalità: oluzioni Problema di: Grandezze fiice - I0004 Problema di: Grandezze fiice - I0005 Teto [I0004] Un oggetto di cui non conociamo il materiale, occupa un volume V =8, 75 dm 3 ed a la tea maa di un blocco di ferro ce occupa un volume V Fe =3dm 3. Calcola la maa e la denità del materiale. La denità del ferro è Fe =7, 874 kg dm. 3 Spiegazione In queto problema l unica coa da apere è coa ia la denità di un materiale, definita come il rapporto tra maa e volume di un qualunque oggetto fatto di quel materiale = M V Vito ce la denità di un oggetto dipende olo dal materiale di cui è fatto, una volta trovato il valore della denità del materiale potremo capire quale materiale è. La maa dell oggetto di ferro vale M Fe = Fe V Fe =7, 874 kg dm 3 3 dm3 = 23, 662 kg Il problema ci dice ce l oggetto di cui non conociamo il materiale (indicato con l indice ) a la tea maa dell oggetto di ferro La denità del materiale vale quindi M = M Fe = 23, 662 kg = M V =2, 7 kg dm 3 Confrontando queto valore con le tabelle dei materiali troviamo ce il materiale conociuto è alluminio. Teto [I0005] Un cilindro graduato contiene un volume V i = 250 cm 3 di acqua. Dopo averci immero un oggetto di rame di denità ogg =8, 92 kg dm 3, il cilindro egna un volume V f = 375 cm 3. Quali ono il volume e la maa dell oggetto? Spiegazione Queto problema vogliamo miurare la maa di un oggetto tramite immerione in un liquido. Noi ne conociamo il materiale, quindi la denità. Nel cilindro graduato c è un certo quantitativo di luquido; immergendo l oggetto il livello del liquido ale. L unica coa da apere è coa ia la denità di un materiale, definita come il rapporto tra maa e volume di un qualunque oggetto fatto di quel materiale = M V Vito ce la denità di un oggetto dipende olo dal materiale di cui è fatto, è ufficiente confrontare le tabelle dei materiali. Il volume dell oggetto lo i ricava per differenza tra i livelli dei liquidi dopo e prima dell immerione. La maa emplicemente applicando la formula della denità di un materiale. Il uo volume i ricava per differenza V Cu = V f V i = 125 cm 3 =0, 125 dm 3 Il riultato l o traformato in decimetri cubi per poter meglio fare i conti con le unità di miura nei paaggi ucceivi. La maa dell oggetto vale M Cu = Cu V Cu =8, 92 kg dm 3 0, 125 dm3 =1, 115 kg

5 19 Sceda3. Generalità: oluzioni Problema di: Baricentro - I0006 Problema di: Vettori - I0007 Teto [I0006] Tre libri ono poizionati uno ull altro. I libri anno ripettivamente maa m 1 =1g, m 2 =2g, m 3 =3g ed anno tutti lo teo peore d =3cm. A ce altezza i trova il baricentro del itema? Teto [I0007] Eegui le operazioni indicate con i vettori e : Spiegazione In queto problema abbiamo un itema formato da tre oggetti ditinti poti uno ull altro. Il baricentro del itema arà la media peata ulla maa, delle poizioni dei baricentri dei ingoli oggetti. La poizione dei baricentri dei ingoli oggetti è: 1 =1, 5 cm ~c = + ~c =2 ~c =3 2 2 =4, 5 cm 3 =7, 5 cm Quindi l altezza da terra del baricentro del itema arà b = b = 1m m m 3 m 1 + m 2 + m 3 1, 5 g cm +9g cm + 22, 5 g cm 6 g =5, 5 cm Spiegazione In queto eercizio biogna eeguire due tipi di operazioni con i vettori: il prodotto di un vettore per uno calare e la omma di vettori. Prima i eegue il prodotto di un vettore per uno calare, e poi i fa la omma dei riultati. In roo troverete la oluzione del problema; in blu i vettori neceari per arrivare a trovare tale oluzione. ~c = + 2 ~c =2

6 20 Sceda3. Generalità: oluzioni Problema di: Vettori - I Teto [I0008] Diegna il vettore ce annulla i due vettori diegnati qui di eguito 2 ~c =3 2 Spiegazione Il vettore ~c ce annulla i vettori indicati e è quello per cui vale la relazione + + ~c =0 e quindi ~c = ~c = ~c = ~c =

7 21 Sceda3. Generalità: oluzioni Problema di: Vettori - I0009 Problema di: Miure - I0010 Teto [I0009] Scomponi i eguenti vettori lungo le direzioni indicate Teto [I0010] Miurate con un rigello lo peore di una moneta da 1 euro Spiegazione Eeguire una miura è un procedimento non banale ce deve eere fatto con attenzione. Non bata trovare un riultato, biogna oprattutto aper timare in modo adeguato gli errori di miura. Per prima coa utilizziamo una ingola moneta. Sul rigello vediamo indicati un po più di 2 millimeteri, quindi l altezza vale Spiegazione La compoizione di un vettore conite nel trovare i due vettori ce ommati danno il vettore dato. =2, 5 mm ± 0, 5 mm e adeo prendiamo una pila di 10 monete ul rigello vediamo indicati un po più di 23 millimetri. 10 = 23, 5 mm ± 0, 5 mm =2, 35 mm ± 0, 05 mm Otteniamo quindi una preciione 10 volte maggiore.

8 22Ripetizioni Cagliari di Manuele Atzeni info@ripetizionicagliari.it Problema di: Vettori - I0011 Teto [I0011] Diegna, e calcolane il valore, il vettore F ~ 3 ce annulla la omma dei vettori F ~ 1 e F ~ 2 di valore ripettivamente F 1 =1, 5 kn e F 2 = 800 N poti perpendicolari tra loro. Spiegazione I due vettori dati poono eere ommati. La omma tra il vettore riultato ed il vettore ce voi dovete indicare, deve dare come riultato zero. Quindi il vettore ce dovete indicare deve eere uguale e oppoto al vettore omma tra i due vettori indicati nel problema. ~F 2 ~F 1 ~F 1 ~F 2 ~F 3 = ~ F 1 ~ F2 Il modulo del vettore ~ F 3 deve eere uguale al modulo del vettore ~ F 1 + ~ F 2 e i calcola ~ F 1 + ~ F 2 = p (1500 N) 2 + (800 N) 2 = 1700 N