1 Esonero di GEOMETRIA 2 - C. L. Matematica Aprile 2009

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1 1. Si consideri la matrice 1 Esonero di GEOMETRIA 2 - C. L. Matematica Aprile 2009 A = ( Sia g : R 2 R 2 R la forma bilineare e simmetrica avente A come matrice associata rispetto alla base canonica di R 2. (a) Si verifichi che g è un prodotto scalare su R 2. (b) Considerato il sottospazio vettoriale V = (1, 0) di R 2, si determini il complemento ortogonale di V rispetto a g. ). (c) Si verifichi che l endomorfismo f : R 2 R 2, tale che non è autoaggiunto rispetto a g. f(x, y) = (x y, 2y), (d) Si determini l endomorfismo t f aggiunto di f rispetto a g. 2. Si consideri la seguente matrice simmetrica: A = Si determini una matrice M SO(3) tale che M 1 AM sia diagonale. 3. Fissato un riferimento affine R = (O, B) nello spazio affine reale (R 3, R; f), si considerino le rette di equazioni in R { x = t + 1 x + 2z 1 = 0 r :, s : y = 3 t. y z + 3 = 0 z = 2t 1 (a) Si stabilisca la posizione reciproca delle rette r e s. (b) Si determini una equazione cartesiana del piano π parallelo alle rette r e s e passante per il punto A(0, 1, 0). (c) Si determinino equazioni cartesiane del fascio proprio di rette, di centro A, contenute nel piano π. 4. Nello spazio affine reale (R 4, R; f) si fissi un riferimento affine R = (O, B). Si considerino la varietà lineare α e la retta r di equazioni in R, rispettivamente, α : { x 2z + t = 4 2x y 3z = 1, r : OP = λu, dove u = (3, 0, 2, 1). (a) Si deteminino la dimensione e lo spazio direttore di α. (b) Si stabilisca la posizione reciproca di α e r.

2 2 Esonero di GEOMETRIA 2 - C. L. Matematica 3 Giugno Fissato in E 2 un riferimento cartesiano R = (O, B), si consideri in E 2 i la conica γ : x 2 + 2y 2 + 2xy 2y = 0. Sia Q il generico punto della retta r : x y = 0. Siano p Q la retta polare di Q rispetto a γ e t la retta per Q perpendicolare alla retta s : 3x 2y +5 = 0. (a) Si determini un equazione del luogo L descritto dal punto di intersezione della retta p Q con la retta t, al variare di Q su r. (b) Si classifichi L e se ne determinino centro, assi ed eventuali asintoti. 2. Fissato in E 2 un riferimento cartesiano R = (O, B), si determinino equazioni delle coniche γ 1 e γ 2, in E 2 i, aventi il punto F (1, 1) come fuoco, la retta a : x y + 2 = 0 come asse, e tali che i punti A(1, 0) e B(0, 1) siano coniugati rispetto ad esse. Si verifichi che una delle due coniche è un iperbole e se ne determinino gli asintoti, i vertici ed il secondo fuoco. 3. Fissato in E 3 un riferimento cartesiano R = (O, B), si considerino le rette r : { x = 2y z = 0 { x = z + 1, s : y = 2. (a) Verificato che tali rette sono sghembe, si determinino la minima distanza e la retta t di minima distanza tra r e s. (b) Siano A e B i punti in cui la retta t incide rispettivamente le rette r e s. Si determini un equazione della circonferenza C tangente r in A e passante per B. (c) Si determini un equazione della superficie descritta dalla rotazione di r intorno ad s. 4. Fissato in E 2 un riferimento cartesiano R = (O, B), sia Γ l insieme delle coniche, in E 2 i, aventi le rette d : y = 1 e d : x y + 1 = 0 come diametri coniugati. (a) Si dica, giustificando la risposta e senza effettuare calcoli, se esistono in Γ coniche non degeneri passanti per A (1, 1, 0). (b) Considerate le coniche di Γ passanti per Y, si stabilisca se tali coniche ammettono contestualmente equazioni canoniche.

3 Appello di GEOMETRIA 1 e 2 - C. L. Matematica 26 Giugno Sia q : R 4 R la forma quadratica definita da e sia b la sua forma polare. q(x, y, z, t) = 2x 2 2xy + 2yz + y 2 + 3z 2 + t 2 (a) Detto U = {(x, y, z, t) x + y = 0, z 2t = 0}, verificare che R 4 = U U. (b) Determinare una base di R 4 ortogonale rispetto a b e scrivere l espressione di b in tale base. (c) Verificare che b è un prodotto scalare su R Si considerino le applicazioni lineari f : R 3 R 4 e g : R 3 R 4 tali che f(1, 1, 0) = 0, f(1, 2, 0) = 0, f(0, 0, 1) = (0, 1, 1, 0) g(0, 2, 1) = (0, 1, 1, 0), g(0, 2, 1) = (0, 1, 1, 0), g(1, 0, 0) = 0. (a) Mostrare che f = g. (b) Determinare una base di f 1 (W ) dove W = L(( 1, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)). (c) Denotata con g : R 4 R 3 l applicazione lineare associata, rispetto alle basi canoniche, alla matrice A = , k k k k stabilire per quali valori di k R, l endomorfismo f g End(R 4 ) è diagonalizzabile. 3. Fissato in E 2 un riferimento cartesiano R = (O, B), si consideri in E 2 i il fascio di coniche di equazione (a) Si determini il tipo di fascio. F : x 2 + y 2 + (k 3)xy + y = 0, k R. (b) Si classifichino le coniche del fascio al variare del parametro reale k. (c) Sia γ la conica del fascio passante per A (1, 1, 0). Si determinino centro, assi, vertici ed eventuali asintoti di γ. (d) Si determini una equazione della curva simmetrica di γ rispetto alla retta di equazione y = Fissato in E 3 un riferimento cartesiano R = (O, B), si consideri la circonferenza { (x 2) C : 2 + (y + 1) 2 + (z 1) 2 = 2. x + z 2 = 0 (a) Si determinino centro e raggio di C. (b) Si determini un equazione della sfera S contenente C e passante per O. (c) Si determini un equazione del piano π tangente in O a S. (d) Si determinino { equazioni delle rette tangenti in O a S e tali che la minima distanza x = 2 dalla retta s : sia uguale a 1. z = 0

4 Appello di GEOMETRIA 1 e 2 - C. L. Matematica 14 Luglio (a) Determinare esplicitamente un endomorfismo f : R 4 R 4 tale che Ker(f) =< (1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (2, 1, 1, 0) >. (1) (b) Stabilire se f è diagonalizzabile. (c) Stabilire se il sottoinsieme L di End(R 4 ) definito da: L = { f End(R 4 ) f soddisfa (1) oppure f = 0 } è un sottospazio vettoriale. 2. Sia A = 3 2λ + 1 µ λ µ , con λ, µ R. (a) Determinare i valori di λ e µ per cui A individui una forma quadratica q degenere e, per tali valori, determinare il rango, l indice di nullità con una base del nucleo e la segnatura di q. (b) Scrivere l espressione canonica (di Sylvester) di q e, detta B la relativa matrice, scrivere A = t MBM, con M opportuna matrice non singolare. 3. Si fissi in E 2 un riferimento cartesiano R = (O, B). (a) Si determini un equazione della parabola γ, in E 2 i, avente la retta a : x 2y+1 = 0 come asse e tangente alla retta r : 3x + 4y 4 = 0 nel punto P (0, 1). (b) Considerato il punto A(1, 0) e detto V il vertice di γ, si determini il baricentro dei punti A, P, V. (c) Si determinino i movimenti di E 2 che trasformano γ in se stessa e le applicazioni lineari associate. 4. Fissato in E 3 un riferimento cartesiano R = (O, B), si consideri la sfera S : (x 1) 2 + y 2 + (z 1) 2 = 2. (a) Si determinino equazioni dei piani π 1 e π 2 contenenti la retta r : tangenti alla sfera S. { y z 3 = 0 x + z = 0 (b) Detti P 1 e P 2 i punti di tangenza di S con π 1 e π 2, si determinino equazioni della circonferenza C passante per P 1 e P 2 e avente centro sull asse y. (c) Si determini un equazione del cilindro circolare retto contenente C. e

5 Appello di GEOMETRIA 1 e 2 - C. L. Matematica 4 Settembre Si consideri l endomorfismo f : R 3 R 3 definito da: f(a, b, c) = (2b, a b, b). (a) Stabilire per quali valori di k R esiste una base B tale che M B (f) = 0 k k + 1 (b) Posto W =< 3e 1 e 2, 3e 1 + e 2 >, si denoti con g : W R 3 la restrizione di f a W. Si consideri inoltre la base B = {(0, 1, 1), (1, 0, 1), (0, 1, 1)} di R 3. Stabilire se esiste una base B o di W tale che M B B o (g) = Sia data la forma quadratica q : M 2 (R) R definita da: (( )) x y q = x 2 4xy + 6xz 2yz + 2yt + 4zt. z t (a) Verificare che q è non degenere ma non determina un ( prodotto ) scalare su M 2 (R). x y Determinare poi l insieme dei vettori isotropi non nulli con y = t = 0. z t (b) Determinare la segnatura di q e la sua espressione canonica. {( ) } x y (c) Detto U = M z t 2 (R) x y = 0, determinare U rispetto alla forma bilineare associata a q e, osservato che U non è un supplementare di U, determinare un vettore non nullo in U U. 3. Fissato in E 2 un riferimento cartesiano R = (O, B), si consideri la conica γ : 3y 2 + 6xy + 2x 2y = 0. (a) Si determini in E 2 i un equazione del fascio F di coniche iperosculatrici γ in O. (b) Si classifichino le coniche del fascio. (c) Denotata con γ l unica parabola del fascio, se ne determinino centro, asse e vertice. 4. Fissato in E 3 un riferimento { cartesiano R = (O, B), si considerino i punti A(2, 1, 2) e x z + 1 = 0 B(2, 0, 1) e la retta r :. y = 0 (a) Si determinino equazioni della circonferenza C passante per A e B e avente centro sulla retta r. (b) Si determinino equazioni della retta s tangente la circonferenza C in A. (c) Si determini un equazione della superficie ottenuta dalla rotazione di r intorno a s.

6 Appello di GEOMETRIA 1 e 2 - C. L. Matematica 21 Settembre Data la matrice reale si consideri l applicazione lineare k k k 1 1 f k : R 3 R 4 tale che A = M B B (f) con B = {( 1, 1, 0), (0, 2, 0), (0, 1, 1)} e B base canonica di R 4. (a) Detto U = {(x, y, z, t) R 4 x + y + z = 0, x y z = 0, z = t}, determinare i valori di k, se esistono, per cui R 4 = Im(f k ) U. (b) Considerata l applicazione lineare g : R 4 R 3 tale che g(x, y, z, t) = (x + z, y, z + t), stabilire se l endomorfismo g f 0 è diagonalizzabile., 2. Sia q : R 4 R la forma quadratica data da q(x, y, z, t) = x 2 2xy 2xz + 2y 2 + 2yz + z 2 + t 2. (a) Determinare la segnatura di q e una base di R 4 che fornisce l espressione canonica di q. (b) Detto U = {(x, y, z, t) x 2y = 0, z + t = 0}, determinare q U e il suo cono isotropo. Stabilire se q U determina un prodotto scalare su U. 3. Fissato in E 2 un riferimento cartesiano R = (O, B), si determini in E 2 i un equazione dell iperbole equilatera γ passante per il punto Q(1, 1) e avente la retta a : 3x + y 1 = 0 come asse e il punto C(0, 1) come centro. 4. Fissato in E 3 un riferimento cartesiano R = (O, B), si considerino i piani π 1 : y + z = 0 e π 2 : x + 2y + 2 = 0. (a) Si determinino equazioni delle rette r e s contenute nel piano π 1 e aventi distanza 5 da π 2. (b) Si determinino equazioni della circonferenza C tangente le rette r e s e avente centro sul piano π 3 : x + z + 2 = 0. (c) Detto C il centro della circonferenza C, si determini un equazione del cono di vertice x = 2t C e curva direttrice γ : y = t 1. z = t 2

7 Appello di GEOMETRIA 1 e 2 - C. L. Matematica 11 Gennaio Sia data la matrice reale k A = k 0 0 2k 1 0 (a) Determinare l endomorfismo f : M 2 (R) M 2 (R) tale che A = M B (f) e dim Ker(f) = 2, dove B è la base canonica di M 2 (R), e verificare che M 2 (R) = Ker(f) Im(f). (b) Determinare lo spettro di f e dire se M 2 (R) è somma diretta degli autospazi di f. Dedurre se f è diagonalizzabile. 2. Si considerino le forme quadratiche q i : M 2 (R) R, i = 1, 2, tali che q 1 (A) = tr( t AA) q 2 (A) = tr(a 2 ). (a) Stabilire che q 1 è definita positiva e determinare la segnatura di q 2. (b) Stabilire che l endomorfismo f : M 2 (R) M 2 (R) definito da f(a) = A + t A è simmetrico rispetto al prodotto scalare associato a q 1 e determinare una base ortonormale di autovettori di f. 3. Fissato in E 2 un riferimento cartesiano R = (O, B), si determini un equazione della parabola γ avente la retta d : x + y 2 = 0 come direttrice e il punto O come vertice. 4. Fissato in E 3 un riferimento cartesiano R = (O, B), si considerino le rette x = t r 1 : y = t 1 z = 2t 1, r 2 : { 3x + y + z 2 = 0 x + y 1 = 0, r 3 : { 2x y = 0 x z = 0. (a) Si verifichi che r 1, r 2 e r 3 sono complanari e si determini un equazione del piano che le contiene. (b) Si determinino le circonferenze aventi centro sulla retta r 1 e tangenti le rette r 2 e r 3.

8 Appello di GEOMETRIA 1 e 2 - C. L. Matematica 28 Gennaio Si considerino i sottospazi V 1 e V 2 di R 4 così definiti: V 1 = {(x, y, z, t) R 4 y = t, 2y + t = z }, V 2 = (1, 1, 0, 1), (0, 1, 0, 2). (a) Mostrare che R 4 = V 1 V 2. (b) Posto, per ogni v R 4 : v = v 1 + v 2 con v 1 V 1, v 2 V 2, si consideri l endomorfismo f : R 4 R 4 tale che v R 4 f(v) := v 1 + 3v 2. Stabilire se f è diagonalizzabile e se è surgettivo. 2. Sia data la matrice 1 2 k 0 A = k 1 1 0, k R (a) Determinare l espressione della forma quadratica q : R 4 R associata alla matrice A nella base canonica e tale che lo spazio sia contenuto nel cono isotropo di q. (b) Determinare la segnatura e il nucleo di q. W 1 = {(x, y, z, t) R 4 y = 0, x = z} (c) Detto W 2 = {(x, y, z, t) R 4 x + y z = 0}, determinare l espressione di q W2, verificare che è degenere e calcolarne il rango. 3. Fissato in E 2 un riferimento cartesiano R = (O, B), si consideri la circonferenza C : x 2 + y 2 = 2. (a) Si determini un equazione del fascio F di coniche tangenti C nei punti A(1, 1) e B( 1, 1), e si classifichi la generica conica del fascio. (b) Denotati con γ la generica conica non degenere del fascio e con C il suo centro, si determini il luogo L descritto dal punto C al variare di γ. Si determinino, inoltre, gli assi di γ. 4. Fissato in E 3 un riferimento cartesiano R = (O, B), si considerino le rette { { x = 1 y = 1 r : z = 2y, s : z = x. (a) Si stabilisca la posizione reciproca delle rette r e s. (b) Si determinino equazioni delle sfere aventi centro sul piano π : x + y + z = 0, tangenti la retta r nel punto A(1, 0, 0), e tangenti la retta s.

9 Appello di GEOMETRIA 1 e 2 - C. L. Matematica 15 Febbraio Sia data la matrice k A = k k 1 0, k R k 1 (a) Studiare la diagonalizzabilità di A al variare di k. (b) Sia f k l endomorfismo di R 4 associato alla matrice A rispetto alla base B = {(1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1)}. Determinare la dimensione di Im(f k ) al variare di k e determinare, se esistono, i valori di k per cui R 4 = Ker(f k ) Im(f k ). 2. Si consideri la forma quadratica q : M 2 (R) R definita da q(a) = tr(ba 2 C), con 0 1 B = 1 0 C = 1 1 ( ) (a) Siano date le applicazioni b i : M 2 (R) M 2 (R) R, i = 1, 2, 3, definite da b 1 (X, Y ) = tr(b(xy )C), b 2 (X, Y ) = 1 4 tr(b(x + Y )2 C), b 3 (X, Y ) = 1 tr(b(xy + Y X)C). 2 Dire quale tra b 1, b 2, b 3 è la forma bilineare simmetrica associata a q. (b) Stabilire se q è degenere e determinare una base del nucleo di q. 3. Si fissi in E 2 un riferimento cartesiano R = (O, B). (a) Si determini un equazione dell iperbole equilatera γ passante per il punto A(2, 2), avente la retta a : x y + 1 = 0 come asintoto, e tale che i punti P (2, 0) e Q(0, 3) siano coniugati rispetto a essa. (b) Si determinino l altro asintoto di γ, gli assi e i vertici. 4. Fissato in E 3 un riferimento cartesiano R = (O, B), si considerino i piani π 1 : x + y z = 0, π 2 : x + y = 0. (a) Si determini un equazione della sfera S tangente il piano π 1 nel punto A(1, 1, 2) e avente centro sul piano π 2. (b) Detta C la circonferenza intersezione della sfera S con il piano π 2, si determini la retta tangente la circonferenza C nel punto B(1, 1, 4).

10 10 Giugno Sia f un endomorfismo di R 3 avente 1 come unico autovalore e sia B = {v 1, v 2, v 3 } una base di R 3 tale che f(v 1 ) = v 1, f(v 2 ) = v 2. (a) Si stabilisca se f è un automorfismo e si calcoli il determinante di M B (f). (b) Nel caso in cui v 1 = (1, 1, 0), v 2 = (0, 1, 2), v 3 = (0, 0, 1), f(v 3 ) = v 1 v 3, si stabilisca se f è diagonalizzabile e si calcoli la matrice di f rispetto alla base canonica. 2. Sia b : R 3 R 3 R la forma bilineare simmetrica associata alla matrice nella base canonica. (a) Verificare che il vettore v = ( 1, 0, 2) è non isotropo e si determinino i vettori v 1 v e v 2 v tali che (0, 1, 0) = v 1 + v 2. (b) Si determini la segnatura di b. 3. Si fissi in E 2 un riferimento cartesiano R = (O, B). (a) Si determini un equazione del fascio di coniche di centro O e tangenti la retta r : x = 1 nel punto A(1, 0). Si classifichino le coniche del fascio e si determinino gli asintoti della generica iperbole del fascio. (b) Detta γ la generica conica del fascio, sia P il polo della retta s : 3x + y 2 = 0 rispetto a γ. Si determini il luogo L descritto dal punto P al variare di γ. 4. Si fissi in E 3 un riferimento cartesiano R = (O, B). (a) Si determini un equazione della sfera S tangente il piano π : x + y 2 = 0 nel punto P (1, 1, 0) e passante per Q(2, 1, 1). (b) Si determinino { le circonferenze C 1 e C 2 contenute in S, di raggio 1, e tangenti la retta x + y 2 = 0 r :. x y = 0

11 29 Giugno (a) Si consideri l applicazione lineare f : R 4 R 3 la cui matrice associata, rispetto alla base canonica di R 4 ed alla base B = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} di R 3 è la seguente: M = Determinare una base di Im(f) ed una base di Ker(f). (b) Stabilire se l endomorfismo F : M 2 (R) M 2 (R) definito da A M 2 (R) F (A) = tr(a)i 2 A è diagonalizzabile. 2. Si consideri la forma quadratica q : R 3 R definita da: q(x, y, z) = x 2 y 2 + 4xy. Stabilire per quali valori di k R esiste una base di R 3 rispetto alla quale la matrice associata a q è k D = 0 2k k Si fissi in E 2 un riferimento cartesiano R = (O, B). (a) Si determinino equazioni delle parabole γ 1 e γ 2, in E 2 i, aventi fuoco F (0, 1), centro C (1, 1, 0) e passanti per il punto A( 1 2, 1 2 ). (b) Si determinino l asse e il vertice di ciascuna parabola. 4. Fissato in E 3 un riferimento cartesiano R = (O, B), si consideri la circonferenza { x C : 2 + (y 1) 2 + (z + 2) 2 = 2 x = 1. (a) Si determinino equazioni della retta t tangente C in A(1, 2, 2). (b) Si determinino le sfere di raggio 5 contenenti C.

12 16 Luglio Posto W := < x 2, x + 1 > R 2 [x], si consideri l applicazione lineare F : W R 2 [x] la cui matrice associata, rispetto alla base B = {x 2, x + 1} di W e ad alla base B = {x 1, x 2, x + 1} è: 0 0 MB B (F ) = (a) Stabilire se F è ingettiva. (b) Sia G : R 2 [x] R 2 [x] l endomorfismo tale che Stabilire se G è diagonalizzabile. G(x 1) = 0, G W = F. 2. Sia b : R 4 R 4 R la forma bilineare simmetrica associata, rispetto alla base canonica, alla matrice 1 k A = 0 1 2k 1 0 2k k 1 dove k R e si ponga U = < (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0) >. (a) Verificare che per ogni valore di k per cui b è non degenere risulta U U = {0}. (b) Determinare i valori di k per cui il vettore u = (1, 0, 1, 4) appartiene a U ; in corrispondenza di tali valori determinare la segnatura di b e scrivere l insieme dei vettori isotropi di U come unione di due sottospazi vettoriali. 3. Fissato in E 2 un riferimento cartesiano R = (O, B), si consideri il fascio di coniche di equazione: F : kx 2 + (1 + k)y 2 + (1 + k)xy 2kx 2y = 0, k R. (a) Si determinino le coniche degeneri e i punti base del fascio, specificando il tipo di fascio. (b) Si classifichino le coniche non degeneri del fascio e se ne determini l unica iperbole equilatera. 4. Fissato in { E 3 un riferimento cartesiano R = (O, B), si considerino il punto P (1, 1, 1), la x 2 = 0 retta r : e il piano π : 2x + y + z + 3 = 0. 2y + z = 0 (a) Si determinino equazioni della retta s passante per P, incidente r e parallela al piano π. (b) Si determini un equazione del cono circolare retto ottenuto dalla rotazione della retta r intorno alla retta s.

13 21 Settembre Si consideri l endomorfismo f : R 4 R 4 associato, rispetto alla base canonica, alla matrice k A = dove k R. a) Posto v = (s 1, 0, 1, 1), con s R, stabilire per quali coppie (k, s) risulta v Im(f). b) Stabilire per quali valori di k f è diagonalizzabile. 2. Sono date una forma bilineare simmetrica b : R 3 R 3 R la cui forma quadratica è denotata con q, ed una base {u 1, u 2, u 3 } tali che b(u 2, u 3 ) = 2, b(u 1, u 2 ) = b(u 1, u 3 ) = 0, q(u 1 ) = 1, q(u 2 ) = 3, q(u 3 ) < 0. a) Calcolare q(2u 1 u 2 ). b) Determinare la segnatura di b. 3. Si fissi in E 2 un riferimento cartesiano R = (O, B). (a) Si determini un equazione dell iperbole equilatera γ avente il punto C(0, 3) come centro, e tangente in O alla retta r : 3x 4y = 0. (b) Si determinino gli assi di γ. 4. Fissato in E 3 un riferimento cartesiano { R = (O, B), si determinino equazioni della circonferenza C tangente alla retta r : in O, e avente centro sulla retta x + 2y = 0 2x z = 0 { y + z 1 = 0 s : x + z + 1 = 0.

14 15 Novembre Si considerino i sottospazi di M 2,3 (R): ( ) U =, ( ) V =, ( ) 0 0 1, ( ) ( ) (a) Determinare la dimensione ed una base di U V e la dimensione di U + V. (b) Considerata l applicazione lineare F : U V tale che ( ) F = ( ) 2 1 1, F ( ) = ( ) 4 2 2, F ( ) ( = ) si determini una base di Ker(F ). 2. Si consideri la forma quadratica q : R 4 R definita da q(x 1,..., x 4 ) = x x kx x kx 1 x 4. (a) Stabilire per quali valori di k q è non degenere. (b) Stabilire per quali valori di k q è definita positiva. (c) Determinare, al variare di k, la dimensione di (R 4 ) dove il complemento ortogonale è fatto rispetto alla forma bilineare simmetrica associata a q. 3. Si fissi in E 2 un riferimento cartesiano R = (O, B). Si determini un equazione della parabola γ avente la retta d : 2x y + 3 = 0 come diametro, tangente in O a r : x y = 0 e tale che la retta s : 5x 2y + 1 = 0 sia coniugata a d. 4. Fissato in E 3 un riferimento cartesiano R = (O, B), si considerino i piani e la sfera π 1 : 2x y + z = 0, π 2 : 2x y + 5 = 0 S : (x + 1) 2 + (y + 3) 2 + z 2 = 20. Si determinino i piani tangenti alla sfera S e ortogonali sia a π 1 che a π 2.

15 17 Gennaio È dato un endomorfismo diagonalizzabile f : R3 R 3 avente base diagonalizzante B = {v 1, v 2, v 3 } dove v 1 = (1, 2, 0), v 2 = (0, 1, 1), v 3 = (0, 1, 1). Si assuma che 3 Sp(f) ed inoltre f(v 1 ) = f(v 2 ). a) Determinare una base di Im(f) ed una base di Ker(f). b) Calcolare esplicitamente f(x, y, z) per ogni (x, y, z) R Si consideri la forma quadratica q : R 3 R definita da q(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 + 2xz + yz. (a) Stabilire se la restrizione di q al sottospazio W := {(x, y, z) R 3 y = z} è degenere. (b) Determinare un vettore v tale che q(v) = Fissato in E 2 un riferimento cartesiano R = (O, B), si consideri la conica γ : x 2 + 2y 2 + 2xy 2x 2y = 0. (a) Si determini un equazione del fascio F di coniche osculatrici γ in O, tale che i punti A( 2, 0) e B( 2 3, 0) siano coniugati rispetto alla generica conica del fascio. (b) Si determinino le coniche degeneri del fascio e i punti base. Si classifichino le coniche non degeneri del fascio. 4. Fissato in E 3 un riferimento cartesiano R = (O, B), si consideri la circonferenza { x C : 2 + y 2 + z 2 = 2 x + y = 1. (a) Si determinino centro e raggio di C. (b) Si determinino equazioni delle rette t 1 e t 2 tangenti C e incidenti la retta { x = 0 r : z = 2.

16 2 Febbraio Si consideri l endomorfismo f : R 4 R 4 associato, rispetto alla base canonica, alla matrice dove k R A = 0 k a) Stabilire per quali valori di k risulta (0, 1, 1, 0) Im(f). b) Stabilire per quali valori di k f è diagonalizzabile. 2. Si consideri la forma quadratica q : M 2 (R) R definita da ( ) x1 x q 2 = (x x 3 x 1 x 2 ) 2 + (x 2 x 3 ) 2 + (x 3 x 4 ) 2. 4 a) Determinare la segnatura di q. b) Mostrare ( ) che ogni base diagonalizzante B per q contiene esattamente una matrice del α α tipo, α 0. α α 3. Si fissi in E 2 un riferimento cartesiano R = (O, B). (a) Si determini un equazione del fascio di coniche aventi la retta a : x y 1 = 0 come asse, il punto F (1, 0) come fuoco e tali che F sia coniugato al punto A(0, 2). (b) Si classifichino le coniche non degeneri del fascio. 4. Fissato in E 3 un riferimento cartesiano R = (O, B), si considerino il piano π e la retta r di equazioni { x + y = 0 π : x y + z = 0, r :. z = 2 (a) Si determinino equazioni della retta s contenuta in π, incidente la retta r e ad essa perpendicolare. (b) Detto P il punto di intersezione di r e s e α il piano contenente r e s, si determinino le sfere di raggio 2 tangenti ad α in P.

17 17 Febbraio Sia f : M 2 (R) M 2 (R) l endomorfismo associato, rispetto alla base canonica, alla matrice A = (a) Verificare che f ha due autovalori λ 1, λ 2 ma non è diagonalizzabile. (b) Determinare una base B di M 2 (R) e due opportuni α, β R tali che la matrice di f rispetto alla base B sia triangolare superiore della forma λ 1 0 α 0 0 λ 2 0 β 0 0 λ λ Siano date le matrici A 1 = 2 0 1, A 2 = Sia b : R 3 R 3 R la forma bilineare simmetrica associata alla matrice A 1 rispetto alla base canonica di R 3 e sia f : R 3 R 3 l endomorfismo associato alla matrice A 2 rispetto alla base canonica. Si consideri l applicazione q : R 3 R definita da q(v) = b(f(v), f(v)) v R 3. (a) Verificare che q è una forma quadratica. (b) Determinare la segnatura di q e una base del nucleo. (c) Determinare il cono isotropo di q e scriverlo come unione di sottospazi di R Si fissi in E 2 un riferimento cartesiano R = (O, B). (a) Si determini un equazione del fascio F di coniche aventi il punto V (1, 0) come vertice, la retta a : y = 0 come asse e passanti per A(0, 2). (b) Si classifichino le coniche non degeneri del fascio. Detta γ l iperbole equilatera del fascio, si determinino il centro e gli asintoti di γ. 4. Si fissi in E 3 un riferimento cartesiano R = (O, B). (a) Si determinino equazioni delle rette r 1 e r 2 passanti per O, parallele al piano π : x + z 3 = 0 e aventi distanza 1 dal punto P (0, 2, 0). (b) Si determini la circonferenza C di centro P e tangente alle rette r 1 e r 2.

18 Esonero di GEOMETRIA 1 - C. L. Matematica 28 Febbraio Si considerino i due sottospazi di R 3 [x] U = {p R 3 [x] p(0) = p( 1) = 0}, V = {p R 3 [x] p(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d, a + c = 0, b d = 0}. (a) Determinare la dimensione e una base dei sottospazi vettoriali U, V, U V, U + V. (b) Determinare un supplementare di V in U + V. 2. Sia f : R 4 R 4 l endomorfismo definito da f(x, y, z, t) = (hkx y, x + (h + 1)z, (h + 1)z, ky + (h + 1)t) (x, y, z, t) R 4. (a) Determinare i valori dei parametri reali h e k per i quali dim(ker(f)) = 2 e il polinomio caratteristico di f è interamente scomponibile e ammette due radici doppie. (b) In corrispondenza di tali valori di h e k, stabilire se f è diagonalizzabile. 3. Si consideri la matrice 2 h 1 0 A = h 0 k 0 1 k 1 h + 1 M 4(R). 0 0 h Sia b : R 4 R 4 R la forma bilineare simmetrica associata alla matrice A rispetto alla base canonica di R 4. (a) Determinare i valori dei parametri reali h e k per i quali il vettore v = (0, 2, 0, 1) appartiene al nucleo di b. (b) In corrispondenza di tali valori di h e k, determinare una base del nucleo di b, la segnatura di b e la sua espressione canonica con una base che la determina. (c) Determinare la restrizione di b al sottospazio U = {(x, y, z, t) R 4 2x + y t = 0, y + z = 0} e di essa determinare il cono isotropo.

19 14 Aprile Si considerino le matrici k A = 1 k k k 1 dove k R. k 1 2 3(1 k) 2 ( ) , B = a) Denotata con f : R 2 R 4 l applicazione lineare associata ad A rispetto alle basi canoniche, stabilire per quali valori di k si ha (4, 4, 6, 4) Im(f). b) Denotata con g : R 4 R 2 l applicazione lineare associata a B rispetto alle basi canoniche, stabilire per quali valori di k g f è diagonalizzabile. 2. Sia q : R 3 R 3 R la forma quadratica definita da dove k R. a) Diagonalizzare q al variare di k q(x 1, x 2, x 3 ) = (2 + k)x x kx x 1 x 2 2kx 1 x 3 b) Stabilire per quali valori di k risulta q(x) 0 x R Si fissi in E 2 un riferimento cartesiano R = (O, B). (a) Si determini un equazione del fascio di parabole di centro C (1, 1, 0) e tangenti in A(1,0) alla retta t : 2x y 2 = 0. (b) Detta γ la generica parabola del fascio, determini l asse di γ. 4. Fissato in E 3 un riferimento cartesiano R = (O, B), si considerino i punti A(2, 0, 2) e B(1, 1, 2). (a) Si determinino equazioni della circonferenza C passante per O, A e B. (b) Si determinino equazioni della retta t tangente C in O.

20 10 Giugno Si considerino le applicazioni lineari f : R 2 [x] R 2 e g : R 2 R 2 [x] associate rispettivamente alle matrici ( ) k 1 A =, B = 0 1 k rispetto alla base B = {1, x, x 2 } di R 2 [x] e alla base canonica di R 2, con k R. (a) Determinare, al variare di k, la dimensione e una base di Ker(f) e Im(f). (b) Stabilire per quali valori del parametro reale k l endomorfismo g f di R 2 [x] è diagonalizzabile. 2. È dato un endomorfismo simmetrico f : R2 R 2 tale che det(f) > 0. Si supponga che esista una base ortonormale B = {v 1, v 2 } tale che f(v 1 ) f(v 2 ) = 0. Verificare che B è una base diagonalizzante per f. 3. Si fissi in E 2 un riferimento cartesiano e si considerino i punti F (0, 0) e P (0, 1) e la retta d : x + y + 1 = 0. (a) Si determini un equazione del fascio di coniche aventi F come fuoco e d come direttrice. (b) Detta γ la generica conica del fascio, siano r P la retta polare di P rispetto a γ e s la retta per P ortogonale a r P. Determinare un equazione del luogo L dei punti di intersezione di r P e s, al variare di γ. Osservato che L è una conica non degenere, la si classifichi. 4. Fissato in E 3 un sistema di riferimento cartesiano, si considerino il punto P (1, 1, 1) e le rette { { x = 2 x + y 3z + 2 = 0 s :, t : 3y + z 6 = 0. 2x 2y + 5 = 0. (a) Determinare equazioni cartesiane e parametriche della retta r passante per P, ortogonale a s ed incidente t. (b) Determinare la minima distanza tra la retta t e la retta s.

21 27 Giugno Sia f : M 2 (R) M 2 (R) l applicazione lineare f(a) = tr(a)j + k t A k R, dove tr(a) denota la traccia di A, t A la matrice trasposta di A e ( ) 0 1 J =. 1 0 Stabilire per quali valori di k l applicazione f è diagonalizzabile e, in corrispondenza di tali valori, determinare una base di M 2 (R) costituita da autovettori di f. 2. Sia b : R 4 R 4 R una forma bilineare simmetrica e sia v 0 un vettore non isotropo rispetto a b. a) provare che l applicazione f : R 4 R, tale che f(v) = c v0 (v) coefficiente di Fourier di v rispetto a v 0 è un epimorfismo. b) Se la forma bilineare b è determinata dalla matrice nella base canonica e v 0 = ( 1, 2, 0, 1), determinare una base di Ker f e la segnatura di b. 3. Si determini una equazione della parabola γ passante per il punto A = (1, 2), avente come centro il punto P = (1, 0, 0) e tale che la polare di O rispetto a γ sia la retta r : x = 1. Inoltre, si determinino l asse, il vertice e il fuoco di γ. 4. Fissato in E 3 un sistema di riferimento cartesiano, si considerino i punti A = (1, 1, 0) B = (0, 1, 2) e C = (3, 0, 1). a) Determinare l equazione del piano π passante per i punti A, B e C. b) Determinare la retta s proiezione otorgonale su π della retta passante per il punto C e per il punto P = (1, 0, 1). c) Determinare il punto N proiezione ortogonale del punto A su s. d) Calcolare l area del triangolo i cui vertici sono i punti A, C e N.

22 15 Luglio Sia V spazio vettoriale reale di dimensione 3 e sia f : V V endomorfismo il cui polinomio caratteristico è p f = t(t k) 2, k R. Sia B = {e 1, e 2, e 3 } base di V tale che f(e 1 ) = e 1 + e 2, f(e 2 ) = e 1 e 3, f(e 3 ) L(e 1, e 2 ). a) Determinare f(e 3 ), la dimensione e una base di Ker(f) e Im(f). b) Stabilire se f è diagonalizzabile. 2. Sia g : R 3 R 3 R la forma bilineare simmetrica avente la matrice A = come matrice associata rispetto alla base canonica di R 3. a) Verificare che g è un prodotto scalare. b) Posto W = L((1, 2, 0), (0, 1, 1)), determinare W e una sua base ortonormale. 3. Si fissi in E 2 un riferimento cartesiano R = {O, B}. Si determini un equazione dell iperbole γ avente centro O, un asintoto parallelo alla retta r : x y + 1 = 0 e vertice V (1, 2). Si determinino assi e asintoti di γ. 4. Fissato in E 3 un sistema di riferimento cartesiano, si considerino i punti A(1, 0, 0), B(0, 1, 2) ed il piano p di equazione x 2y + z + 2 = 0. a) Determinare l equazione del piano π passante per i punti A e B e ortogonale al piano p. b) Determinare l equazione della circonferenza, contenuta nel piano π, tale che il segmento AB sia un diametro. c) (facoltativo) Determinare l equazione della circonferenza, contenuta nel piano π, passante per i punti A e B e di raggio minimo.

23 15 Novembre Si considerino i sottospazi vettoriali di R 3 [x]: U = 1 + x 2, 1 x, V = x 2 + x, x 3. (a) Determinare la dimensione e una base di U V e di U + V. (b) Sia f : R 3 [x] R 3 [x] l endomorfismo tale che Ker(f) = U, f(1) = 1 + k + x 2, f(x 3 ) = 1 + k + kx 3, k R. Stabilire per quali valori di k, f è diagonalizzabile. Determinare, in corrispondenza di tali valori, una base di R 3 [x] costituita da autovettori di f. 2. Sia q : R 4 R la forma quadratica definita da q(x, y, z, t) = x 2 + y 2 + z 2 + 3t 2 2xy + 2xz. (a) Determinare una base di R 4 diagonalizzante per q. (b) Determinare un sottospazio vettoriale W di R 4 di dimensione massima su cui q è definita positiva. 3. Si fissi in E 2 un riferimento cartesiano R = (O, B). Si determini un equazione della parabola γ avente la retta a : 2x y + 3 = 0 come asse e passante per i punti A(0, 1) e B( 1, 0). 4. Fissato in E 3 un riferimento cartesiano R = (O, B), si consideri la retta { x + y = 0 r : z = 2. (a) Si determinino equazioni della retta s passante per il punto P (1, 0, 0), perpendicolare a r e parallela al piano π : x + y = 3. (b) Si verifichi che r e s sono sghembe e si determini la minima distanza tra esse.

24 18 Gennaio Sia B = {ε 1, ε 2, ε 3 } la base canonica di R 3 e sia f : R 3 R 4 l applicazione lineare tale che f(ε 1 ε 2 ) = (0, 1, 1, 1), f(ε 1 + ε 3 ) = (1, 0, 0, 2), f(ε 2 ε 3 ) = (1, 1, 3, 1). (a) Determinare f(x, y, z) per ogni (x, y, z) R 3 e stabilire se f è un monomorfismo. (b) Posto W = (0, 1, 1, 0), (0, 1, 1, 1), (1, 0, 0, 2), determinare una base di f 1 (W ) e le sue equazioni. (c) Sia g : R 4 R 3 l applicazione lineare associata alla matrice A = rispetto alle basi canoniche di R 3 e R 4. Determinare autovalori e autospazi dell endomorfismo g f di R 3 e stabilire se è diagonalizzabile. 2. Sia consideri b : R 4 R 4 R la forma bilineare simmetrica definita da b((x 1, x 2, x 3, x 4 ), (y 1, y 2, y 3, y 4 )) = x 1 y 2 + x 2 y 1 2x 2 y 4 + x 3 y 3 2x 4 y 2. (a) Determinare la matrice associata a b rispetto alla base B = {ε 1 + ε 2, ε 3, ε 1 ε 4, ε 2 2ε 3 }, essendo {ε 1, ε 2, ε 3, ε 4 } la base canonica di R 4. (b) Determinare il rango e la nullità di b e una base di (R 4 ). (c) Determinare la segnatura di b. (d) Considerato un vettore non isotropo u R 4, determinare v 1 u e v 2 u tali che u = v 1 + v Fissato in E 2 un riferimento cartesiano R = (O, B), determinare un equazione del fascio di coniche tangenti in O alla retta r : x + y = 0 e passanti per i punti A (1, 1, 0) e P (1, 0). Si classifichino le coniche non degeneri del fascio. 4. Fissato in E 3 un sistema di riferimento cartesiano, si considerino i punti P (0, 2, 1), Q(1, 1, 0), R( 1 2, 0, 0). (a) Determinare un equazione cartesiana e equazioni parametriche del piano π contenente i punti P, Q ed R. (b) Determinare equazioni cartesiane dei piani π 1 e π 2 paralleli al piano π aventi distanza d = 38 dal piano π. (c) Determinare le proiezioni Q 1 e Q 2 del punto Q sui piani π 1 e π 2, rispettivamente.

25 3 Febbraio Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione 3 e sia f : V V un endomorfismo diagonalizzabile il cui polinomio caratteristico è Sia B = {e 1, e 2, e 3 } una base di V tale che p f = λ(1 λ) 2. f(e 1 ) = e 3, f(e 3 ) = e 3. Determinare f(e 2 ) e una base di V costituita da autovettori di f. 2. Si consideri la forma quadratica q : R 3 R definita da q(x, y, z) = x 2 + 2y 2 + z 2 2xy 2yz. (a) Determinare il rango e la segnatura di q. (b) Scrivere l espressione canonica di q e, detta B la relativa matrice, determinare M, matrice non singolare tale che A = t MBM, essendo A la matrice associata a q nella base canonica di R Si fissi in E 2 un riferimento cartesiano R = (O, B). (a) Si determini un equazione delle conica γ tangente in O alla retta r : x y = 0, tangente alla retta s : x 1 = 0, e avente centro C(0, 1). (b) Si classifichi γ. (c) Detto A il punto di tangenza della retta s, e detto d il diametro di γ passante per A, si determini il diametro d coniugato al diametro d. 4. Fissato in E 3 un riferimento cartesiano R = (O, B), si considerino le rette r : { y = 0 2x + 3z = 0 (a) Verificare che tali rette sono sghembe. (b) Determinare la minima distanza. (c) Determinare la retta t di minima distanza. x = t s : y = 1 + 2t z = 1 + 2t.

26 Appello di GEOMETRIA 1 e 2 - C. L. Matematica 20 Febbraio Sia f : R 4 R 4 l endomorfismo definito da f(x, y, z, t) = (x + kt, (k 1)x, 2z, x + ky) k R. (a) Stabilire per quale valore del parametro reale k il nucleo di f ha dimensione 2. (b) In corrispondenza di tale valore, stabilire se f è diagonalizzabile e, in caso affermativo, determinare una base di R 4 costituita da autovettori di f. 2. Si consideri la forma quadratica q : R 3 R definita da q(x, y, z) = 3x 2 + 6xy + 10xz + 2yz + 3z 2. (a) Determinare il rango, l indice di nullità con una base del nucleo e la segnatura di q. (b) Scrivere l espressione canonica di q e, detta B la relativa matrice, determinare M, matrice non singolare tale che A = t MBM, essendo A la matrice associata a q nella base canonica di R Si fissi in E 2 un riferimento cartesiano R = (O, B). (a) Si determini un equazione del fascio F di iperboli aventi la retta r : x + y = 0 come asintoto, e passanti per i punti A(1, 0) e B( 1, 0). (b) Detta γ la generica iperbole del fascio, si determinino il centro di γ e il suo secondo asintoto. 4. Fissato in E 3 un riferimento cartesiano R = (O, B), si considerino il punto P (1, 0, 1) e le rette { { x + y = 1 x = 0 s :, t : 3y + z = 3. y 4z = 1. (a) Determinare equazioni cartesiane e equazioni parametriche della retta r passante per P, ortogonale a s ed incidente t. (b) Determinare il punto Q di incidenza tra la retta t e la retta r, e il punto Q proiezione di Q sulla retta s.

27 3 Aprile Si consideri l applicazione lineare f : M 2 (R) M 2 (R) definita da f(x) = X + k t X, k R. (a) Determinare, al variare del parametro reale k, la dimensione e una base del nucleo di f. (b) Stabilire per quali valori del parametro reale k l endomorfismo f è diagonalizzabile e, in corrispondenza di tali valori, determinare una base di M 2 (R) costituita da autovettori di f. 2. Sia q : R 3 R la forma quadratica definita da: q(x, y, z) = 2x 2 4xy + 2z 2 4xz + 4yz. (a) Determinare la segnatura di q e una base di R 3 in cui q ha la sua espressione canonica. Determinare inoltre una base del nucleo di q. (b) Scrivere l espressione di q nella base {e 1 + e 3, e 2, e 1 + e 2 }, ove {e 1, e 2, e 3 } è la base canonica di R Si fissi in E 2 un riferimento cartesiano R = (O, B). (a) Si determini un equazione della conica γ passante per i punti A(0, 1) e B(2, 1), tangente alla retta r : y = 0, e avente centro C(1, 2). (b) Si classifichi γ e se ne determinino gli assi. 4. Si fissi in E 3 un riferimento cartesiano R = (O, B). (a) Si determinino equazioni delle rette t 1 e t 2 passanti per O, contenute nel piano π : y = 0 e aventi distanza 1 dal punto A(2, 0, 0). (b) Si determinino equazioni della circonferenza C di centro A e tangente alle rette t 1 e t 2.

28 26 Giugno Sia f : R 2 [x] R 2 l applicazione lineare la cui matrice associata, rispetto alla base B = {1 + x, x 2, 1 x} di R 2 [x] e alla base canonica di R 2 è ( ) A = (a) Determinare f(ax 2 + bx + c) per ogni a, b, c R. (b) Considerata l applicazione lineare g : R 2 R 2 [x] definita da g(a, b) = kax 2 bx + b, k R, si determini la matrice associata a g rispetto alla base canonica di R 2 e a B. (c) Si stabilisca per quali valori del parametro reale k l applicazione g f è diagonalizzabile. 2. Si consideri la forma quadratica q : R 3 R definita da q(x, y, z) = x 2 2y 2 7z 2 2xz 8yz. Stabilire per quale valore di λ R la matrice λ 0 0 A = 0 λ è associata a q rispetto ad un opportuna base di R 3 ed in corrispondenza di tale valore determinare una tale base. 3. Fissato in E 2 un riferimento cartesiano R = (O, B), sia F il fascio di parabole di centro C (1, 2, 0) e passanti per i punti O e A(0, 1). (a) Si determini un equazione di F. (b) Detta γ la generica parabola del fascio, sia P il polo della retta r : y = 0 rispetto a γ. Si determini un equazione del luogo L descritto dal punto P al variare di γ. Si classifichi L. 4. Fissato in E 3 un riferimento cartesiano R = (O, B), si considerino i punti P (0, 1, 0) e Q( 1, 0, 0) e il piano π : x = 0. (a) Si determinino equazioni delle rette r 1 e r 2 passanti per P, contenute nel piano π e aventi distanza d = da Q. 6 2 (b) Detta Q la proiezione ortogonale di Q su π, si determini la distanza di Q dalle rette r 1 e r 2.

29 Appello di GEOMETRIA 1 e 2 - C. L. Matematica 10 Luglio Si considerino i seguenti sottospazi vettoriali di R 4 : U = {(x, y, z, t) R 4 x 2y = 0, z + t = 0}, V = (k, 1, 0, 0), (2, 1, 0, k), (3, 1, 0, 0). (a) Si stabilisca per quale valore del parametro reale k risulta R 4 = U V. (b) In corrispondenza del valore di k determinato in (a), si consideri l endomorfismo f : R 4 R 4 avente autospazi U e V e tale che Si determinino gli autovalori di f. V = Ker(f), f(0, 0, 1, 2) = (2, 1, 1, 1). 2. Sia data la forma quadratica q : R 3 R definita da: q(x, y, z, t) = x 2 + 2λxy 4xz + 2µyz, λ, µ R. (a) Stabilire per quali valori dei parametri reali λ e µ il vettore v = (2, 1, 0) è isotropo. (b) In corrispondenza di tali valori, determminare il rango e la segnatura di q. 3. Fissato in E 2 un riferimento cartesiano R = (O, B), si determini un equazione della parabola γ avente fuoco F (1, 2) e vertice O. Si determini la direttrice di γ. 4. Fissato in E 3 un riferimento { cartesiano R = (O, B), si considerino i punti A(2, 2, 1) e x z + 1 = 0 B(2, 1, 0) e la retta r :. y = 0 (a) Si determini il punto P della retta r equidistante dai punti A e B, e un equazione del piano π passante per i punti A, B e P. (b) Si determinino equazioni della retta s proiezione ortogonale di r su π. (c) Si determinino equazioni parametriche della retta t passante per A e parallela a s.

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