II compitino del

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1 COGNOME e NOME: CORSO DI LAUREA: NUMERO DI MATRICOLA: ANNO DI IMMATRICOLAZIONE: Ingegneria Meccanica: Matematica II II compitino del Esercizio Classificare le coniche γ 1 : x 2 + y 2 + 2xy 1 = 0 e γ 2 : x 2 + y 2 + 2x 2y + 1 = Nel fascio di coniche individuato da γ 1 e γ 2 individuare (a) le coniche degeneri (b) le circonferenze e le parabole (c) le ellissi (d) le iperboli (e) eventuali assi e centri di simmetria comuni a tutte le coniche del fascio Esercizio 2. Si consideri la matrice a coefficienti reali A A = Si calcoli il polinomio caratteristico di A 2. Determinare A 123 Esercizio Risolvere l equazione e z = e( i 3 2 ) 2. Determinare tra le soluzioni di 1. quelle per cui z ( πi) < 10 3 π.

2 Esercizio 4. Sia γ la circonferenza avente equazioni cartesiane { 2y 2 + z 2 4y 4x 5 = 0 x y + 1 = 0 1. Determinare le equazioni parametriche della retta r perpendicolare al piano contenente γ e passante per il punto P ( 1, 0, 1) della circonferenza 2. Determinare l equazione del cono contenente la circonferenza γ, la retta r e la retta di equazioni x = 3+3t, y = 4+5t, z = 1 2t. 3. Determinare raggio e centro di γ Esercizio 5. Si consideri la matrice a coefficienti reali A, dipendente dal parametro a, A = 1 a 1. a 1 1 a 1 a 1 a 1. Indicare eventuali valori di a per cui A è triangolabile; 2. Indicare eventuali valori di a per cui A è diagonalizzabile 3. Per a = 0 si determini una matrice L tale che L 1 AL sia diagonale. Esercizio 6. Un industria produce lampadine che è ragionevole ritenere identiche. Ritenendo le durate di ciascuna lampadina variabili casuali indipendenti, si preleva un lotto di 16 lampadine che vengono accese simultaneamente. La durata media misurata in ore è 200 e la varianza del campione è 100. Calcolare l intervallo di confidenza al 95% per la media.

3 COGNOME e NOME: CORSO DI LAUREA: NUMERO DI MATRICOLA: ANNO DI IMMATRICOLAZIONE: Ingegneria Meccanica: Matematica II II compitino del Esercizio Classificare le coniche γ 1 : x 2 + y 2 2xy 1 = 0 e γ 2 : x 2 + y 2 2x 2y + 1 = Nel fascio di coniche individuato da γ 1 e γ 2 individuare (a) le coniche degeneri (b) le circonferenze e le parabole (c) le ellissi (d) le iperboli (e) eventuali assi e centri di simmetria comuni a tutte le coniche del fascio Esercizio 2. Si consideri la matrice a coefficienti reali A A = Si calcoli il polinomio caratteristico di A 2. Determinare A 120 Esercizio Risolvere l equazione e z = e( 1 2 i 3 2 ) 2. Determinare tra le soluzioni di 1. quelle per cui z ( πi) < 8 3 π.

4 Esercizio 4. Sia γ la circonferenza avente equazioni cartesiane { 2x 2 + z 2 4x 4y 5 = 0 y x + 1 = 0 1. Determinare le equazioni parametriche della retta r perpendicolare al piano contenente γ e passante per il punto P (0, 1, 1) della circonferenza 2. Determinare l equazione del cono contenente la circonferenza γ, la retta r e la retta di equazioni x = 1 + 5t, y = 3t, z = 1 2t. 3. Determinare raggio e centro di γ Esercizio 5. Si consideri la matrice a coefficienti reali A, dipendente dal parametro a, a 1 1 A = a 1 a 1. a 1 1 a 1. Indicare eventuali valori di a per cui A è triangolabile; 2. Indicare eventuali valori di a per cui A è diagonalizzabile 3. Per a = 0 si determini una matrice L tale che L 1 AL sia diagonale. Esercizio 6. Un industria produce lampadine che è ragionevole ritenere identiche. Ritenendo le durate di ciascuna lampadina variabili casuali indipendenti, si preleva un lotto di 25 lampadine che vengono accese simultaneamente. La durata media misurata in ore è 205 e la varianza del campione è 80. Calcolare l intervallo di confidenza al 90% per la media.

5 COGNOME e NOME: CORSO DI LAUREA: NUMERO DI MATRICOLA: ANNO DI IMMATRICOLAZIONE: Ingegneria Meccanica: Matematica II II compitino del Esercizio Classificare le coniche γ 1 : x 2 + y 2 2xy 1 = 0 e γ 2 : x 2 + y 2 + 2x + 2y + 1 = Nel fascio di coniche individuato da γ 1 e γ 2 individuare (a) le coniche degeneri (b) le circonferenze e le parabole (c) le ellissi (d) le iperboli (e) eventuali assi e centri di simmetria comuni a tutte le coniche del fascio Esercizio 2. Si consideri la matrice a coefficienti reali A A = Si calcoli il polinomio caratteristico di A 2. Determinare A 123 Esercizio Risolvere l equazione e z = e( i 3 2 ) 2. Determinare tra le soluzioni di 1. quelle per cui z ( πi) < 10 3 π.

6 Esercizio 4. Sia γ la circonferenza avente equazioni cartesiane { 2z 2 + y 2 4z 4x 5 = 0 x z + 1 = 0 1. Determinare le equazioni parametriche della retta r perpendicolare al piano contenente γ e passante per il punto P ( 1, 1, 0) della circonferenza 2. Determinare l equazione del cono contenente la circonferenza γ, la retta r e la retta di equazioni x = 3 + 3t, y = 3 2t, z = 6 + 5t. 3. Determinare raggio e centro di γ Esercizio 5. Si consideri la matrice a coefficienti reali A, dipendente dal parametro a, a 1 1 A = 1 a 1. a 1 a 1 a 1. Indicare eventuali valori di a per cui A è triangolabile; 2. Indicare eventuali valori di a per cui A è diagonalizzabile 3. Per a = 0 si determini una matrice L tale che L 1 AL sia diagonale. Esercizio 6. Un industria produce lampadine che è ragionevole ritenere identiche. Ritenendo le durate di ciascuna lampadina variabili casuali indipendenti, si preleva un lotto di 9 lampadine che vengono accese simultaneamente. La durata media misurata in ore è 210 e la varianza del campione è 90. Calcolare l intervallo di confidenza al 99% per la media.

7 COGNOME e NOME: CORSO DI LAUREA: NUMERO DI MATRICOLA: ANNO DI IMMATRICOLAZIONE: Ingegneria Meccanica: Matematica II II compitino del Esercizio Classificare le coniche γ 1 : x 2 + y 2 + 2xy 1 = 0 e γ 2 : x 2 + y 2 2x + 2y + 1 = Nel fascio di coniche individuato da γ 1 e γ 2 individuare (a) le coniche degeneri (b) le circonferenze e le parabole (c) le ellissi (d) le iperboli (e) eventuali assi e centri di simmetria comuni a tutte le coniche del fascio Esercizio 2. Si consideri la matrice a coefficienti reali A A = Si calcoli il polinomio caratteristico di A 2. Determinare A 120 Esercizio Risolvere l equazione e z = e( 1 2 i 3 2 ) 2. Determinare tra le soluzioni di 1. quelle per cui z (1 1 3 πi) < 8 3 π.

8 Esercizio 4. Sia γ la circonferenza avente equazioni cartesiane { 2z 2 + x 2 4y 4z 5 = 0 y z + 1 = 0 1. Determinare le equazioni parametriche della retta r perpendicolare al piano contenente γ e passante per il punto P (1, 1, 0) della circonferenza 2. Determinare l equazione del cono contenente la circonferenza γ, la retta r e la retta di equazioni x = 1 2t, y = 3 + 3t, z = 4 + 5t. 3. Determinare raggio e centro di γ Esercizio 5. Si consideri la matrice a coefficienti reali A, dipendente dal parametro a, a 1 1 A = a + 1 a 1. a a 1. Indicare eventuali valori di a per cui A è triangolabile; 2. Indicare eventuali valori di a per cui A è diagonalizzabile 3. Per a = 0 si determini una matrice L tale che L 1 AL sia diagonale. Esercizio 6. Un industria produce lampadine che è ragionevole ritenere identiche. Ritenendo le durate di ciascuna lampadina variabili casuali indipendenti, si preleva un lotto di 36 lampadine che vengono accese simultaneamente. La durata media misurata in ore è 215 e la varianza del campione è 110. Calcolare l intervallo di confidenza al 98% per la media.