Registro di Meccanica /13 - F. Demontis 2

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1 Registro delle lezioni di MECCANICA 1 Corso di Laurea in Matematica 8 CFU - A.A. 2013/2014 docente: Francesco Demontis ultimo aggiornamento: 21 maggio Lunedì 3/03/2014, ore: 2(2) Presentazione del corso. Assiomi inerenti lo spazio e il tempo in Meccanica Classica. Riferimenti inerziali e principio di relatività galileiano. 2. Martedì 4/03/2014, ore: 2(4) Richiami di calcolo vettoriale. spazi vettoriali, vettori linearmente indipendenti e basi. Matrice di passaggio fra due basi: legge di controvarianza. Spazi pseudoeuclidei, matrice della metrica, componenti covarianti, basi ortonormali. Spazi euclidei e basi ortonormali. 3. Mercoledì 5/03/2014, ore: 2(6) Richiami di calcolo vettoriale. Vettori liberi e applicati. Prodotto scalare, norma negli spazi euclidei. Spazio euclideo tridimensionale. Prodotto vettoriale in R 3 e relative proprietà. Risoluzione dell equazione vettoriale x u = v. Prodotto misto fra tre vettori. 4. Lunedì 10/03/2014, ore: 2(8) Curve in R 3. definizione, terminolgia e esempi. Ascissa curvilinea. Triedrio di Frenet, curvatura e piano osculatore. Esempio: triedrio di Frenet e curvatura per un elica circolare. 5. Martedì 11/03/2014, ore: 2(10) Curve in R 3. Formule di Frenet e torsione. Cinematica del punto: velocità e accelerazione scalare. Moti uniformi, uniformemente vari e vari. Diagramma orario. Velocità e accelerazione vettoriale.

2 Registro di Meccanica /13 - F. Demontis 2 6. Mercoledì 12/03/2014, ore: 2(12) Cinematica del punto. Moti piani in coordinate polari. Velocità areale. Moti centrali e relative proprietà. Formula di Binet. 7. Lunedì 17/03/2014, ore: 2(14) Cinematica del punto. Moto circolare. Moti armonici e composizione di due moti armonici. Moto elicoidale uniforme. Esercizi su curve e triedrio di Frenet. 8. Martedì 18/03/2014, ore: 2(16) Esercizio sulla cinematica del punto. moti smorzati. Cinematica dei sistemi rigidi. Impostazione generale del problema: assi e spazio solidale al corpo rigido. Equazioni generali del moto. Proprietà caratteristica dei moti rigidi. Angoli di Eulero: Definizione. 9. Mercoledì 19/03/2014, ore: 2(18) Cinematica dei sistemi rigidi. Formule di Poisson. Derivata di un vettore solidale al corpo rigido e distribuzione delle velocità in un moto rigido. Moti traslatori. 10. Lunedì 24/03/2014, ore: 2(20) Cinematica dei sistemi rigidi. Moti rotatori. Moti rototraslatori. Moti elicoidali uniformi. 11. Martedì 25/03/2014, ore: 2(22) Cinematica dei sistemi rigidi Angoli di Eulero: Definizione. Legame fra angoli di Eulero e i coseni direttori degli assi mobili rispetto alla terna fissa. Espressione della velocità angolare in funzione degli angoli di Eulero. Approccio lagrangiano e euleriano.

3 Registro di Meccanica /13 - F. Demontis Mercoledì 26/03/2014, ore: 2(24) Cinematica dei sistemi rigidi. Atto di moto rigido. Classificazione degli atti di moto rigidi (traslatori, rotatori, rototraslatori e elicoidali). Invariante scalare cinematico. Asse di moto e teorema di Mozzi. Sistemi di vettori applicati. Risultante e momento risultante di un sistema di vettori applicati. Teorema di Varignon. Legge di variazione del momento al variare del polo. Trinomio scalare invariante. Analogia (per atti di moto rigidi) fra: risultante e velocità angolare, velocità e momento. 13. Lunedì 31/03/2014, ore: 2(26) Sistemi di vettori applicati. Asse centrale, sua costruzione geometrica e rappresentazione analitica. Esercizi sulla determinazione dell asse centrale. Sistemi di vettori applicati equivalenti. Riduzione di un dato sistema di vettori applicati a un altro ad esso equivalente nel caso in cui il trinomio scalare sia o meno nullo. Analogia con il caso in cui il sitema di vettori applicati corrisponda a un atto di moto rigido. 14. Martedì 01/04/2014, ore: 2(28) Moti Relativi. Presentazione del problema: Moto assoluto, relativo e di trascinamento. Composizione delle velocità e delle accelerazioni. Composizione delle velocità angolari. Derivata di un vettore non solidale alla terna solidale. Esercizi sui moti rigidi. 15. Mercoledì 02/04/2014, ore: 2(30) Moti relativi. Rotolamento di due superfici rigide e moto di puro rotolamento. Moti rigidi piani: Asse e centro di istantanea rotazione. Determinazione analitica e geometrica (teorema di Chasles) del centro di istantanea rotazione, rulletta e base. 16. Lunedì 07/04/2014, ore: 2(32) Moti relativi. Moti rigidi piani: rulletta e base. Moto di puro rotolamento della rulletta sulla base. Rigata fissa e rigata mobile. Moti rigidi con un punto fisso e coni di Poinsot. Precessioni regolare.

4 Registro di Meccanica /13 - F. Demontis Martedì 08/04/2014, ore: 2(34) Geometria delle masse. Definizione di baricentro per sistemi discreti e per sistemi continui. Proprietà distributiva. Piani diametrali coniugati ad una data direzione. Proprietà (geometriche) per la determinazione del baricentro. Esercizi. 18. Mercoledì 09/04/2014, ore: 2(36) Geometria delle masse. Definizione di momento d inerzia per sistemi discreti e per sistemi continui. Teorema di Huygens e momento d inerzia rispetto a assi concorrenti. Matrice d inerzia. Esercizi. 19. Lunedì 14/04/2014, ore: 2(38) Geometria delle masse. Ellissoide d inerzia e terne principali d inerzia. Corpi a struttura giroscopica. Determinazione di una terna principale d inerzia tramite l analisi degli autovettori (e autovalori) della matrice d inerzia. Esercizi. 20. Martedì 15/04/2014, ore: 2(40) Geometria delle masse e sistemi vincolati. Proprietà di simmetria (materiale) utili per determinazione degli assi principali d inerzia. Sistemi vincolati. Vincoli di posizione e loro classificazione: bilaterali/unilaterali, fissi/dipendenti dal tempo, interni/esterni. 21. Mercoledì 16/04/2014, ore: 2(42) Vincoli e spostamenti. Sistemi soggetti a vincoli olonomi, coordinate lagrangiane e grado di libertà. Spostamenti possibili e virtuali. Vincoli di mobilità e sistemi soggetti a vincoli anolonomi.

5 Registro di Meccanica /13 - F. Demontis Lunedì 28/04/2014, ore: 2(44) Dinamica del punto materiale. Assiomi della dinamica (Riferimento inerziale, le tre leggi della dinamica, postulato delle reazioni vincolari, principio di sovrapposizione delle forze e legge del moto incipiente). Forze esterne e interne. Forze posizionali e forze dipendenti dalla velocità. Richiami sulle forme differenziali. Forme differenziali esatte. 23. Martedì 29/04/2014, ore: 2(46) Grandezze dinamiche fondamentali. Lavoro lungo un cammino finito. Lavoro e potenza compiuto da: una forza dipendente dalla velocità, una forza posizionale, una forza conservativa. Potenziale di: forze costanti, elastiche e centrali. Lavoro compiuto da un sistema di forze applicate e energia potenziale. Esercizi. 24. Mercoledì 30/04/2014, ore: 2(48) Grandezze dinamiche fondamentali e equilibrio. Lavoro di forze agenti su: (a)un corpo rigido e (b) un sistema olonomo. Lavoro delle forze interne di un sistema. Equilibrio di un punto materiale in un riferimento inerziale. Condizione necessaria e sufficiente per l equilibrio. Equilibrio di un punto materiale in un riferimento non inerziale. Condizione necessaria e sufficiente per l equilibrio relativo. Forze di trascinamento nel caso di: (a) un moto traslatorio e (b) rotatorio unforme. Forze centrifughe e loro potenziale. Definizione di forza peso. 25. Lunedì 05/05/2014, ore: 2(50) Dinamica terrestre. Equazione della dinamica in riferimenti non inerziali e dinamica terrestre. Deviazione dei gravi verso est. 26. Martedì 06/05/2014, ore: 2(52) Equilibrio di sistemi materiali. Condizioni necessarie per l equilibrio di un sistema (equazioni cardinali). Sufficienza delle equazioni cardinali per l equilibrio nel caso in cui il sistema sia un corpo rigido.

6 Registro di Meccanica /13 - F. Demontis Mercoledì 07/05/2014, ore: 2(54) Statica. Il metodo delle reazioni vincolari per la determinazione delle condizioni di equilibrio. Discussione di vari esempi: punto materiale vincolato a stare su una curva, corpo rigido (libero, con un punto fisso, con un asse fisso). Vincoli lisci. 28. Lunedì 12/05/2014, ore: 2(56) Statica Analitica. Illustrazione del principio dei lavori virtuali. 29. Martedì 13/05/2014, ore: 2(58) Statica Analitica. Relazione ed equazione simbolica della Statica. Applicazioni dell equazione simbolica della statica analitica (Condizioni di equilibrio per un corpo rigido libero o con un punto fisso). Condizioni di equilibrio in coordinate lagrangiane. Moltiplicatori di Lagrange nel caso di coordinate sovrabbondanti. 30. Mercoledì 14/05/2014, ore: 2(60) Grandezze dinamiche fondamentali. Energia cinetica. Teorema di Koenig. Energia cinetica per un sistema rigido. 31. Lunedì 19/05/2014, ore: 2(62) Grandezze dinamiche fondamentali. Energia cinetica per un sistema olonomo in coordinate lagrangiane. Quantità di moto e momento delle quantità di moto e loro proprietà. Derivata temporale del momento delle quantità di moto. 32. Martedì 20/05/2014, ore: 2(64) Grandezze dinamiche fondamentali. Quantità di moto e momento delle quantità di moto per un corpo rigido. Esercizi.

7 Registro di Meccanica /13 - F. Demontis Mercoledì 21/05/2014, ore: 2(66) Equazioni cardinali della dinamica dei sistemi. Equazioni cardinali della dinamica. Teorema del moto del baricentro. Integrali primi. Teorema dell energia cinetica e del lavoro. Conservazione dell energia meccanica.