Musica, Teoria Spettrale e Analisi Armonica

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1 Dipartmento di Matematica, Università di Trento Trento, 8 Settembre 2011

2 Contenuto 0. Due parole sul violoncello. 1. Rumore, Suoni, Note. 2. Il timbro e le corde, analisi armonica La cassa armonica, analisi armonica Consonanza e Dissonanza

3 0.1 Rumore, Suoni, Note. (1, 2) Due parole sul violoncello Il violoncello fa parte della famiglia degli strumenti ad arco, famiglia che comprende anche il violino, la viola e il contrabbasso. Questo gruppo di strumenti si chiama in questo modo perché essi vengono suonati principalmente con l archetto. Il violoncello è nato in Italia circa nella seconda metà del XVI secolo.

4 1.1 Rumore, Suoni, Note. (3,4,5,6) Che differenza c è tra rumore e suono? Ascoltiamo: La del violoncello (440 Hz) La del diapason (440 Hz) rumore.

5 1.2 Rumore, Suoni, Note. (7) Rumori e suoni: perturbazioni di pressione nel tempo t: p = p(t, x) + p 0 p 0 pressione all equilibrio, x punto nello spazio (timpano) Differenza suono-rumore Rumore: t p(t, x) non periodica. Suono: t p(t, x) periodica: p(t + T, x) = p(t, x) Periodo T, Frequenza ν := 1/T, Pulsazione ω := 2πν. Unità per ν e ω: Hertz (Hz) una ripetizione al secondo. p dipende da x, ω non dipende da x. Suoni udibili dall uomo: 15Hz Hz circa.

6 1.3 Rumore, Suoni, Note. (8) Cos è la musica? Suoni strutturati in frequenza. Struttura musicale: essenzialmente struttura dei rapporti tra le frequenze dei suoni (ma non solo!). Sistema nervoso distingue rapporti di frequenza tra suoni percepiti insieme o quasi insieme. Differenze tra i suoni musicali per lo più legate a rapporti di frequenze. Orecchio assoluto: distingue le singole frequenze. Il rapporto fondamentale Rapporto fondamentale in tutte le culture musicali: intervallo di ottava, ω 2 /ω 1 = 2. Conviene pensare in termini di logaritmi di frequenze: i rapporti diventano differenze e intervallo ha un significato concreto. Intervalli di ottava belli a sentirsi: consonanti

7 1.4 Rumore, Suoni, Note. (9,10) Estensione frequenza voce umana e alcuni strumenti musicali Due Do consecutivi sono sempre in rapporto di un ottava. Ascoltiamo qualche intervallo di ottava.

8 1.5 Musica e Note (11,12,13) Principo generale: ogni nota corrisponde ad un valore di frequenza Come si fissano le note (nella musica occidentale) partendo da una nota, Do, di frequenza assegnata? Scala diatonica. Si divide l ottava Do-Do in 7 parti assegnando 7 note con un certo algoritmo che diremo. Ascoltiamo Scala cromatica. Si dividono in due i 5 intervalli più lunghi della scala diatonica ottendo 12 note. Rapporti tra frequenze consecutive: intervalli di semitono. Ascoltiamo Si trasla tutto all infinito per ottave successive e precedenti. DO DO

9 1.6 Musica e Note (14,15) Scala Pitagorica diatonica. Due note fissate subito: Fa e Sol: ω Fa = 4/3 ω Do (Do-Fa intervallo di quarta giusta ) ω Sol = 3/2 ω Do (Do-Sol intervallo di quinta giusta ). Algoritmo pitagorico per le rimanenti 4 note. Quattro note: Re, Mi, La, Si con frequenze r m,n,p ω Do, dove: r m,n,p := (4/3) n (3/2) p 2 m con m, n, p Z t.c. r m,n,p ]1, 2[ Infinite possibilità! Principio di Pitagora: i razionali r m,n,p devono essere tali che i rapporti tra le frequenze delle note ottenute siano della forma M/N con M, N N più piccoli possibili. Se i rapporti sono di questo tipo le note suonate insieme sono consonanti (sono belle a sentirsi) Ascoltiamo qualche intervallo consonante e dissonante.

10 1.7 Musica e Note (16) Scala cromatica di Pitagora: proseguendo con l algoritmo pitagorico, inserisce altre 5 note chiamate diesis o bemolle spezzando in due i 5 intervalli 8/9 producendo intervalli di semitono vicini a 243/256, cercando di ottenere un rapporto di semitono costante. È impossibile fissare un numero razionale r tale che r 12 = 2. Non si può fissare in modo unico il rapporto di semitono: più rapporti di semitono Non si può cambiare la tonalità di una melodia.

11 1.8 Musica e Note (16) Scala Naturale: (Tolomeo 100dC - Zarlino 1500) è introdotto l intervallo di Terza maggiore 5/4 (ω Mi /ω Do ) e di Sesta Maggiore 5/3 (ω La /ω Do ) nell algoritmo pitagorico. Frequenze delle note spostate un po. Rapporti tra le frequenze più vicini al principio di Pitagora: es. la terza (Mi/Do) = 81/64= scala di Pitagora passa a 5/4 = Con lo sviluppo della tecnologia nascono problemi pratici con gli strumenti ad accordatura fissa (clavicembali, pianoforti), difficili da gestire se accordati con la scala naturale.

12 1.9 Musica e Note (16, 17) Temperamento equabile (Andreas Werckmeister 1692): dividere l ottava in 12 intervalli di semitono uguali. ( ω n+1 = 2 1/12 cioè: log ω 2 ω n+1 log 2 ω n = 1 ) n 12 Clavicembalo ben temperato (1722), J.S. Bach mostra come sfruttare al meglio il temperamento equabile. Quasi tutti gli strumenti musicali moderni (in particolare quelli ad accordatura fissa) sono accordati con il temperamento equabile. Non lo sono gli strumenti a fiato e la voce umana che usano la scala naturale. Si è anche fissato ω La 2π = 440Hz. Con il temperamento equabile è possibile cambiare tonalità senza alterare una melodia: ascoltiamo un esempio.

13 2.1 Il timbro le corde, analisi armonica 1 (18, 19, 20) Perché la stessa nota (La ω 2π = 440Hz) suonanta dal violoncello oppure dal diapason sembrano diverse? In che cosa differiscono? Bisogna capire come è prodotto il suono. Prima approssimazione: nel cello è prodotto dalle corde. Oscillano con frequenza ω 2π e frustano l aria producendo un onda di pressione con la stessa frequenza ω 2π. 4 corde La-Re-Sol-Do accordate per intervalli successivi di quinta. La un ottava sotto quella del La del diapason. Corde di metallo (un tempo di budello), di diametro e tensione differente. Le corde escono dalla cordiera, passano sul ponticello (acero traforato), sulla tastiera (di ebano) e finiscono nel riccio dove sono avvolte e tenute in tensione per l accordatura. Il suono è prodotto strofinando le corde con l archetto (di crini) o pizzicando le corde. Con l archetto suono tenuto (ascoltiamo...)

14 2.2 Il timbro le corde, analisi armonica 1 (21, 21 ) La corda smette di oscillare in tempo breve a causa degli attriti interni e dovuti all aria (evidente pizzicandola). L archetto continua invece a fornire l energia dissipata dagli attriti. Il modello matematico di corda tenuta in oscillazione dall archetto e tenuto conto della dissipazione di energia è molto complicato. Helmholtz ha provato che è, per molti aspetti, equivalente ad una corda ideale, senza dissipazione e forzante esterna, che oscilla ad estremi fissati con un onda di deformazione triangolare nel caso più semplice. Fondamentale nel modello, l attrito tra corde e archetto. (Animazione). L attrito tra archetto e corde è fondamentale se l archetto scivola troppo si ottiene un cattivo suono. L archetto viene reso scabro passandoco sopra della pece.

15 2.3 Il timbro le corde, analisi armonica 1 (21) Modello di una corda ideale: Equazione di D Alembert. Deformazioni trasversali u = u(t, x) corda di lunghezza L: 1 2 u v 2 t 2 2 u x 2 = 0, u(0) = u(l) = 0 estremi fissati. Velocità propagazione perturbazioni v = τ/µ, µ densità di massa,τ tensione. u soluzione classica u C 2 (R; L 2 ([0, L], dx)) e soddisfa l equazione astratta: d 2 dt 2 u(t) + v 2 Au(t) = 0, u C 2 (R; L 2 ([0, L], dx)), A = d 2 dx 2 Dirichlet.

16 2.4 Il timbro le corde, analisi armonica 1 (21) A = A non limitato, ma limitato dal basso A ci > 0, Soluzione dell equazione astratta dalla Teoria Spettrale: u(t) = sin(vt A)u(0) + A 1/2 cos(vt A) du dt (0) per condizioni iniziali u(0) D(A), du dt (0) D( A), (heat kernel su manifold) (A si ) 1 compatto se s σ(a) σ(a) = σ p (A) e base hilbertiana di autovettori. autovalori ed autovettori per A = d2 dx 2 Dirichlet { (πn σ p (A) = L ) 2 n = 1, 2,...}, φ n (x) = 1 L sin Possiamo dare la soluzione come sviluppo in modi o armoniche: ( πnx ) L

17 2.5.a Il timbro le corde, analisi armonica 1 (21) Sviluppo in armonche della soluzione * ωn 2π = n 2L τ µ u(t, x) = + n=1 u n sin (ω n t + γ n ) sin frequenza dell armonica n-esima ( πnx ) L * u n e γ n dalle componenti di u(0) e du dt (0) sulla base delle φ n. Suonando una corda ci sono sempre ω n udibili. Essenzialmente: ω 1 (fondamentale ) nota che si ascolta, rimanenti ω n = nω 1 (armoniche) definiscono il timbro della nota. La struttura delle armoniche si trasferisce all onda sonora: p(t, x) = p 0 + p n (x) sin (ω n t + δ n (x)) Il diapason produce un suono puro - c è solo ω 1 2π = 440Hz - per questo il La del diapason è diverso da quello del violoncello.

18 2.5.b Il timbro le corde, analisi armonica 1 (21) Spettro del Sol# suonato sulla corda Re. In ordinata u n.

19 2.6 Il timbro le corde, analisi armonica 1 (21) Come si suonano tante note con 4 corde? Ogni corda ha fondamentale diversa ν 1 = 1 differenti τ e µ. 2L τ µ : stessa L, L armonica n-esima si annulla t in nei nodi x n,k = kl n ]0, L[, k = 1, 2,..., n 1. Il primo nodo individua la frequenza dell armonica ωn 2π = 1 τ 2x n,1 µ in modo inversamente proporzionale. Schiacciando la corda con un dito su un nodo vengono selezionate solo le armoniche compatibili con quel nodo: La frequenza compatibile più bassa diventa la nuova fondamentale. * Schiacciando a L/2 la corda La fondamentale con frequenza doppia: La un ottava sopra. * Schiacciando a L/3 la corda Sol (99Hz) fondamentale con frequenza tripla (297 Hz): Re due ottave sopra.

20 2.7 Il timbro le corde, analisi armonica 1 (22,23) Si possono suonare molte note e suonare alcune note in due modi differenti: come fondamentale di una corda senza premere con il dito corda vuota oppure premendo il dito su una corda con diversa fondamentale corda diteggiata. Cambia il timbro. Attraverso il movimento delle dita si possono anche dare effetti particolari al suono come il vibrato. Ascoltiamo esempi della stessa nota suonata vuota o diteggiata. Sugli spartiti non è indicato se suonare vuota o diteggiata. Eventuali suggerimenti da curatori dei singoli brani musicali. L esecutore è libero nella scelta: per comodià, espressività, o motivi storici (musica barocca largo uso delle corde vuote). Il fatto che le armoniche siano diverse se si suona la stessa nota vuota o diteggiata produce fenomeni di simpatia cioè risonanza (esempio). Viola d amore strumento Barocco a 14 corde in cui 7 corde venivano suonate e le altre 7 suonavano per simpatia.

21 2.8.a Il timbro le corde, analisi armonica 1 (23, 24) Decomposizione in modi per il La (220 Hz) vuoto o diteggiato: Il vibrato (ascoltiamolo) è un effetto che si ottiene facendo oscillare il dito sulla corda per abbellire il suono. Vediamo l analisi in frequenza del vibrato.

22 2.8.b Il timbro le corde, analisi armonica 1 (24)

23 2.8.b Il timbro le corde, analisi armonica 1 (25, 26) Il timbro viene alterato anche strofinando l archetto in punti differenti delle corde: ponticello e tastiera. Ascoltiamo. Energia distribuita differentemente sulle armoniche della stessa nota a seconda di dove si strofina l archetto. Archetto sulla tastera: energia sulle prime armoniche Archetto sul ponticello: energia anche su armoniche più alte. * prima armonica (dopo la fondamentale) suono pieno, * seconda suono limpido, * sesta-ottava suono squillante, * settima - nona suono metallico

24 2.8.c Il timbro le corde, analisi armonica 1 (26)

25 3.1a cassa armonica, analisi armonica 2. (27, 28, 29) Ascoltiamo la differenza tra suono prodotto pizzicando la corda oppure strofinandola. Nel secondo caso è più potente e più pieno. Ciò è dovuto alla cassa armonica che risuona meglio con le note prodotte con l archetto. A cosa serve la cassa armonica e cos è? Corda: taglia l aria e la spinge poco, suono debole. Cassa armonica: spinge l aria con una grande superficie, suono forte. La cassa armonica è un tamburo comandato dalle corde. Struttura della cassa del Violoncello: Cassa armonica formata da tavola armonica (faccia superiore), fasce (lati del cello) e fondo. La tavola è in abete armonico, le fasce e il fondo sono di acero. Il violoncello nel complesso pesa circa 3kg

26 3.2 cassa armonica, analisi armonica 2. (30) Equazione delle deformazioni trasversali di una superfcie con bordo fisso di base G R 2 aperto limitato: 1 d 2 s(t) c 2 dt 2 + Ls(t) = 0, s C 2 (R, L 2 (G, d 2 x)), c cost. L = Dirichlet timpani) senza tensioni interne a riposo (tamburo, L = 2 Dirichlet con tensioni interne a riposo (tavola armonica, fondo cello, piatti) L = L, non limitato, ma L ai > 0. (L zi ) 1 compatto se z σ(l) σ(l) = σ p (L), base hilbertiana di autovettori {Φ λ } λ σp(l) C (G) (reg. ellittica) s(t, x, y) = s λ sin (Ω λ t + γ λ ) Φ λ (x, y), Ω λ = 2πc λ λ σ(l)

27 3.3 cassa armonica, analisi armonica 2. (30) p(t, x) = p 0 + Ω λ Ω λ λ σ p(l) p λ (x) sin (Ω λ t + δ λ (x)), Ω λ = 2πc λ N in generale, no fondamentale, suono non armonico. Da p si ricavano le Ω λ e quindi σ p (L): questo determina G? Problema di Kač (1966): possiamo udire la forma del tamburo? Gordon, Webb e Wolpert (1992): NO, per L = Dirichlet e G R 2 con G regolare a tratti. L ha lo stesso spettro su:

28 3.4 cassa armonica, analisi armonica 2. (30) Come fanno le corde con pulsazioni armoniche ω n = nω 1 ad imporre alla cassa di suonare con tali pulsazioni dimenticando le sue pulsazioni non armoniche Ω λ? Vediamo la struttura meccanica di trasmissione delle oscillazioni. sound post = anima, bass bar = catena. d 2 s(t) dt 2 + 2γ ds(t) dt + Ls(t) = n e iωnt f n 2γ ds(t) dt termine dissipativo, e iωnt f n L 2 (G, d 2 x) termini forzanti c = 1, γ 0, L γi ɛi > 0,

29 3.5 cassa armonica, analisi armonica 2. (30) Soluzione, dove Z n,t K n < + unif. in t [0, + ): ( ( s(t) = e γt cos t ) sin t ) L 2 γi L 2 γi s 0 + (ṡ 0 + γs 0 ) L 2 γi +e γt n Z n,t f n + n e iωnt L (ω 2 n 2iγω n )I f n Per t + no dipendenza condizioni iniziali s 0, ṡ 0 Essendo σ(l) = σ p (L), usando la base hilbertiana {Φ λ } λ σp(l): s (t + ) (t, x, y) = n,λ e iωnt f n Φ λ Ω 2 λ ω2 n + 2iγω n Φ λ (x, y) il suono oscilla con le ω n delle corde e non le Ω λ della cassa: p (t + ) (t, x) = p 0 + n,λ p λ,n (x) sin(ω n t + δ λ,n (x)) (Ω 2 λ ω2 n) 2 + 4γ 2 ω 2 n

30 3.6 cassa armonica, analisi armonica 2. (30) La cassa reagisce molto diversamente a seconda di ω n. la strana forma della cassa del violoncello mette gli Ω λ nei posti giusti rispetto alle ω n.

31 3.7 cassa armonica, analisi armonica 2. (31) Se qualche Ω λ è troppo vicino a qualche ω n e γ è troppo piccolo si ha risonanza incontrollabile seguita da altri fenomeni indesiderati (decomposizione della fondamentale in due frequenze e produzione di battimenti): wolf tones. Fenomeno teoricamente abbastanza oscuro e con tentativi di spiegazioni contrastanti poco rigorosi matematicamente. Il problema delle note lupo appare nell esecuzione di note lunghe. Si usano macchinette antilupo (smorzatori di oscillazione posti sulla corda dopo il ponticello) che però abbassano il suono. Metodi più personali: stringere di più la bacchetta dell arco tra le dita.

32 4.1 Consonanza e dissonanza. (32, 33) Intervalli (coppie di note) dal più al meno consonante. Nome esempio ω 2 /ω 1 Unisono Do-Do 1/1 Ottava Do-Do 1/2 Quinta perfetta (V) Do-Sol 2/3 Quarta perfetta (IV) Do-Fa 3/4 Sesta maggiore (VI M) Do-La 3/5 Terza maggiore (III M) Do-Mi 4/5 Terza minore (III m) Mi-Sol 5/6 Sesta minore (VI m) La-Fa 5/8 Settima minore (VII m) Mi-Re 5/9 Tono grande Do-Re 8/9 Tono piccolo Re-Mi 9/10 Settima maggiore (VIIM) Do-Si 8/15 Settima minore grave Re-Do 9/16 Semitono Mi-Fa 15/16

33 4.2 Consonanza e dissonanza. (34) Fenomeno sicuramente culturale. Ma c è qualche parametro oggettivo legato alla consonanza di un intervallo? Teoria fisologica/fisica di Helmholtz basata sui battimenti e sulla banda critica Teoria moderna: due note di un intervallo consonante hanno le stesse frequenze di alcune armoniche tra le prime dieci/quindici (quelle udibili) Consonanza quinta perfetta (Do-Sol): ω3 Do = ω2 Sol, ωdo 6 = ω4 Sol, ωdo 9 = ω6 Sol, Dissonanza settima maggiore (Do-Si): ω15 Do = ωsi 8

34 4.3 Consonanza e dissonanza. (34)

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