La classe che mostra la distribuzione più elevata è quella 60-90, che corrisponde a un uso elevato dell automobile. f i fr (= f i/n) fr% (=fr*100)

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1 ESERCIZIO Il Moblty Maager d u azeda ha rlevato l umero d chlometr percors settmaalmete da 60 mpegat. I dat soo rportat ello schema successvo

2 . Cosderado ua rpartzoe de chlometr percors 4 class (0 40; 4 60; 6 90; 90+) costrure le dstrbuzo d frequeze semplc, relatve e percetual. Per costrure le dstrbuzo d frequeze rcheste, s deve rcreare la tabella assocado alle class dcate le relatve frequeze assolute. Po s possoo calcolare le frequeze relatve fr = f/ e le frequeze percetual fr% = fr*00. I base a dat propost, qud, la dstrbuzoe d frequeze che s ottee è quella presetata ella tabella successva f fr (= f /) fr% (=fr*00) /60=0,0833 8, /60=0,383 38, /60=0, /60=0,0833 8,33 Totale Secodo l Moblty Maager, le quattro class dvduao dverse tpologe d mpegat sulla base dell testà dell uso delle automobl: poco teso, teso, elevato, molto elevato. Quale delle quattro class mostra la frequeza pù elevata? La classe che mostra la dstrbuzoe pù elevata è quella 60-90, che corrspode a u uso elevato dell automoble.

3 3. Quale dstrbuzoe d frequeza s deve costrure per stablre la percetuale d mpegat che fa u uso almeo teso dell automoble? Per stablre quale percetuale d mpegat fa u uso almeo teso dell automoble bsoga utlzzare le frequeze retro cumulate. S rcorda che le frequeze retro cumulate s ottegoo calcolado le somme progressve delle frequeze della dstrbuzoe partedo dall'osservazoe pù grade verso quella pù pccola. Nel caso esame, duque, s avrà che f fr (= f /) fr% (=fr*00) frc% /60=0,0833 8,33 8, /60=0, , /60=0,383 38,3 9, /60=0,0833 8,33 00 Totale Poché l utlzzo teso dell automoble corrspode alla classe 4-60, la percetuale d mpegat che fao u uso almeo teso dell automoble è l 9,63%. NB. Le frequeze retro cumulate vao utlzzate og volta che vee rchesto d calcolare la percetuale (o la quota) ALMENO par a 3

4 4. Determare la meda artmetca, la medaa e la moda della dstrbuzoe class. Poché s tratta d ua dstrbuzoe class, per determare la meda artmetca utlzzo la formula poderata Determo, qud, valor cetral delle class e l moltplco per f. Poché l ultma classe è aperta, pogo arbtraramete l lmte superore della stessa classe a 00 (s rcorda che tutt dat osservat devoo essere compres ua classe). I rsultat de calcol soo rportat ella tabella seguete f x f x ,5 6, Totale 60 40,5 Da cu derva che k x 40,5 60 N f 66,85 4

5 Essedo preseza della matrce de dat orgara, s può calcolare ache la meda esatta della dstrbuzoe, che questo caso è k N x 64,9 Come s ota, rsultat che dervao da due calcol soo dvers. Cò derva ) dalla perdta d formazo che evtablmete s ha ruedo dat class ) dalla assoluta arbtraretà co cu s è posto l lmte superore dell ultma classe. Per calcolare la medaa, trattados d ua dstrbuzoe class, devo utlzzare la formula terpolate, per cu devo calcolare le frequeze relatve cumulate. f fr (= f /) frc /60=0,0833 0, /60=0,383 0, /60=0,45 0, /60=0,0833 Totale 60 5

6 La medaa, duque, rsulta essere Me 0,5 FC 0,5 0,466 l 6 30 F F 0,96 0,466 C C 63,6 Per calcolare la moda, poché le class soo tutte d dversa ampezza, devo calcolare la destà d frequeza delle class stesse. Per farlo, dvdo le frequeze assolute per l ampezza d classe. I rsultat soo rportat ella tabella seguete f Ampezza d classe Destà , , , ,045 Totale 60 Essedo la classe modale quella cu è assocata la maggor destà d frequeza, allora questo caso la classe modale è quella

7 La moda della dstrbuzoe orgara, vece, è par a 5, quato questa è la modaltà del carattere che s preseta co maggore frequeza 5. Costrure l box plot per rappresetare dat Per costrure l box plot della dstrbuzoe presetata occorre aztutto calcolare valor della medaa, del prmo quartle e del terzo quartle. Il valore della medaa lo coosco gà perché precedetemete calcolato. Aalogamete a quato gà fatto per la medaa, e utlzzado come rfermeto la stessa tabella, calcolo co la formula terpolate ache l prmo e l terzo quartle. f fr (= f /) frc /60=0,0833 0, /60=0,383 0, /60=0,45 0, /60=0,0833 Totale 60 Q Da cu posso rcavare prmo quartle e terzo quartle 0,5 FC 0,5 0,083 Q l ,7 F F 0,466 0,083 C C 0,75 F 0,75 0,466 C l FC FC 0,96 0,466 79,93

8 Da cu derva che DI = Q3 Q = 79,93 49,7 = 30, Avedo quest dat, posso a questo puto calcolare ache l lmte ferore e l lmte superore del grafco. Ess sarao rspettvamete e Lf = Q 5,*DI = 49,7,5 * 30, = 3,955 Lsup = Q3 +,5*DI = 79,93 +,5 * 30, = 5,695 Poché l lmte ferore ha u valore more rspetto al more de valor osservat, come lmte ferore del grafco pogo arbtraramete valm = 9. l box plot della dstrbuzoe esame sarà allora l seguete 8

9 *

10 0 7. Calcolare la varaza e lo scarto quadratco medo d etrambe le dstrbuzo (quella orgale e quella suddvsa class). Sappamo che la varaza può essere scrtta come ma ache come Per semplctà, vsto l umero abbastaza cosstete d osservazo, decdo d procedere utlzzado la secoda formula, che poe la varaza uguale alla dffereza tra l quadrato della meda quadratca e l quadrato della meda artmetca. x Q x x

11 Calcolo aztutto la meda quadratca Q, che è uguale a Q x Che el caso esame equvale a dre Q ,8 Da u eserczo precedete sappamo che la meda della dstrbuzoe orgara è par a 64,9, per cu μ =4,0. Da dat mo possesso posso faclmete calcolare la varaza, che questo caso è Q 484,8 4,0 60,79 A questo puto posso calcolare ache lo scarto quadratco medo, che per la dstrbuzoe orgara è 60,79 4,55

12 Facedo rfermeto alla dstrbuzoe class, vece, utlzzo la formula poderata x f f I questo caso, trattados d poch dat, posso agevolmete calcolare ache la somma degl scart dalla meda artmetca. I rsultat de calcol soo rportat ella tabella successva. S rcorda che la meda calcolata sulla dstrbuzoe class era rsultata essere par a 66,85. f x x -μ (x -μ) (x -μ) *f ,85 94,9 0974, ,5-6,35 67,3 648, ,5 66,4 793, ,5 607, , Totale 60 40, ,4 x f f 49453,4 60 8,7

13 S rcorda che ache questo caso le dffereze osservate e valor dello scarto quadratco medo, a secoda che s tratt della dstrbuzoe orgara o d quella class, soo dovute ) alla perdta d formazo che evtablmete s ha ruedo dat class ) alla assoluta arbtraretà co cu s è posto l lmte superore dell ultma classe. 8. Per la dstrbuzoe orgara, verfcare se s è preseza d smmetra o d asmmetra. Cooscedo gà da u eserczo precedete valor d meda artmetca, moda e scarto quadratco medo, per valutare se s è preseza d ua dstrbuzoe smmetrca o asmmetrca possamo utlzzare l dce d asmmetra d Pearso AS Mo Sappamo che, per la dstrbuzoe orgara Mo = 5 μ = 64,9 σ = 4,55 3

14 D cosegueza, l dce d asmmetra d Fsher sarà par a AS Mo 64,9 5 4,55 0,5 Il valore dell dce d asmmetra d Fsher dca che samo preseza d ua leggera asmmetra postva. 9. Rferedos alla dstrbuzoe class, defre se la dstrbuzoe è leptocurtca o platcurtca Per valutare se la dstrbuzoe è leptocurtca o platcurtca, ovvero se la sua forma è pù o meo schaccata, utlzzo l dce d curtos d Pearso defto come Ku ( 4 x ) 4 Coosco gà, da u eserczo precedete, l valore degl scart dalla meda. A f del presete eserczo, qud, devo semplcemete elevare a 4 dat gà mo possesso. I rsultat de calcol soo rportat ella tabella successva. 4

15 f x x -μ (x -μ) 4 (x -μ) *f , , , ,5-6,35 746, , ,5 44,95 9, , , Totale 60 40, ,9 Sappamo, da u eserczo precedete, che σ = 8,7. Ne cosegue che, per la dstrbuzoe class, Ku 4 ( x ) ,9 8, , , 5, Che corrspode a u valore d Ku, cetrato rspetto allo 0 (dce d curtos d Fsher), d Ku' Ku 3 5, 3, Da cu deduco che la dstrbuzoe è leptocurtca o perormale 5

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