Università degli Studi di Bergamo - Corsi di laurea in Ingegneria Edile e Tessile Indici di posizione e variabilità Esercitazione 2

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1 Uiversità degli Studi di Bergamo - Corsi di laurea i Igegeria Edile e Tessile Idici di posizioe e variabilità Esercitazioe 2 1. Nella seguete tabella si riporta la distribuzioe di frequeza del cosumo i litri di bezia di u mezzo di trasporto relativo a 115 giori. cosumo frequeze a) Rappresetare graficamete la distribuzioe del cosumo i litri di bezia; b) Dopo aver calcolato la distribuzioe delle frequeze cumulate assolute e relative, si calcolio, la mediaa, i due quartili e il quito e il ovataciquesimo percetile. c) Si calcoli lo scarto iterquartile e il rage della distribuzioe. 2. U laboratorio produce molle per orologi co due macchie diverse deotate co A e B. La seguete tabella riporta i dati delle resisteze delle molle prodotte dalle due macchie. A B a) Calcolare la mediaa e il valor medio dei due gruppi. b) Calcolare la variaza dei due gruppi e, dopo aver calcolato la variaza tra i gruppi e la variaza ei gruppi, calcolare la variaza totale. c) Mediate il calcolo del coefficiete di variazioe, stabilire se ua delle due macchie preseta maggiore variabilità. 3. Per cofrotare la resisteza di due diverse leghe di metallo soo stati estratti due campioi (A e B) e su ogi uità è stata misurata la resisteza alla rottura. I risultati soo riportati ella seguete tabella: Campioe Numerosità Media Variaza o corretta A B a) Calcolare la media totale della resisteza per i due campioi. b) Calcolare la variaza totale della resisteza per i due campioi. 4. La seguete tabella riporta i dati relativi al fatturato di 431 piccole aziede del Nord Est. Fatturato X i cetiaia di milioi Numero di imprese Fatturato per classe fio a a) Rappresetare graficamete la distribuzioe dei redditi. b) Calcolare la media aritmetica sia teedo coto dell ammotare del fatturato per classe che o. c) Calcolare la mediaa, il primo e il terzo quartile e il 97-esimo percetile del fatturato.

2 Uiversità degli Studi di Bergamo - Corsi di laurea i Igegeria Edile e Tessile STATISTICA Esercitazioe 2 CORREZIONE 1. Idichiamo co X la variabile di iteresse, vale a dire il cosumo i litri di bezia di u mezzo di trasporto. a) La Figura 1 riporta il grafico delle frequeze assolute. fre X Figura 1: Nel grafico è riportata la distribuzioe delle frequeze assolute cosumo i litri di bezia di u mezzo di trasporto b) Le frequeza cumulate relative F i soo riportate ella seguete tabella, dove abbiamo ache calcolato le frequeza cumulate assolute N i. x i i N i F i Da questa tabella, i particolare dall ultima coloa, possiamo dedurre Me X = 119, Q 1 = 118, Q 3 = 1. Ioltre il quito percetile C 5 = 116 metre il ovataciquesimo C 95 = 123.

3 Oppure calcoliamo direttamete i quartili. i = 1( + 1) = 29,, da cui Q 4 1 = 118. i = 3 ( + 1) = 87 e Q 4 3 = 1. Per i percetili devo calcolare i = 5 ( + 1) = 5.8, quidi 100 C 5 = ( )/2 = e i = 95 ( + 1) = e quidi C = 123. c) Lo scarto iterquartile è otteuto come Il rage risulta ivece Q 3 Q 1 = = 3 x (115) x (1) = = 9, dove abbiamo idicato co x (i) l osservazioe i i-esima posizioe. 2. a) Costruiamo la tabella delle frequeze per il gruppo A. x i i N i x i i x 2 i x 2 i i Per calcolare la mediaa calcoliamo i = (12 + 1)/2 = 6.5. Le posizioi 6 e 7 soo occupate etrambe dal valore 25, quidi per il gruppo A la mediaa vale 25. Per calcolare la media calcoliamo i valori x i i e li sommiamo. La media aritmetica per il gruppo A è x A = xi i = = I modo aalogo si costruisce la tabella per il gruppo B. Abbiamo che per il gruppo B la mediaa vale 24 i quato la posizioe 5 è occupata dal valore 24. La media aritmetica per il gruppo B è x B = b) Per calcolare la variaza per il gruppo A adiamo a calcolare i valori x 2 i e x 2 i i. Abbiamo σ 2 A = 1 x 2 i i ( x A ) 2 = (24.67)2 = 2.39 La variaza el gruppo A è quidi σa 2 = Facedo i coti aaloghi per il gruppo B si trova σb 2 = 1.. La variaza ei gruppi è data da σ 2 ei = σ2 A 12 + σ2 B 9 Calcolata la media totale tra i due gruppi, pari a la variaza tra i gruppi è data da x = x A 12 + x B 9 = 1.88 = 24.33, La variaza totale è data da σ 2 fra = ( x A x) ( x B x) 2 9 = σ 2 = σ 2 ei + σ 2 fra = = 2.03.

4 c) Il coefficiete di variazioe dei due gruppi è rispettivamete CV A = σ A x A = 0.06, CV B = σ B x B = Possiamo cocludere che la variabilità è la stessa ei due gruppi. 3. Deotiamo co M A, σa 2, M B, σb 2, rispettivamete la media e la variaza del gruppo A e la media e la variaza del gruppo B. a) La media totale si ottiee come M = M A A + M B B = = 29.40, dove A e B idicao rispettivamete la umerosità dei due gruppi. b) La variaza totale si ottiee come somma della variaza tra i gruppi σb 2 gruppi σw. 2 Abbiamo rispettivamete e la variaza ei e quidi la variaza totale risulta σ 2 b = (M A M) 2 A + (M B M) 2 B = 0.56, σ 2 w = σ2 A A + σ 2 B B = 5.65, σ 2 = σ 2 b + σ 2 w = Nella seguete tabella soo riportate tutte le quatità ecessarie a risolvere tutti i puti dell esercizio. Classi i a i l i c i N i F i fio a a) Le quatità ecessarie a disegare l istogramma della distribuzioe dei fatturati soo a i, l ampiezza dell itervallo e l i la desità di frequeza assoluta. Il grafico co le frequeze specifiche relative è riportato i figura 2. b) La media aritmetica seza teer coto dell ammotare di classe la calcoliamo prededo i puti medi degli itervalli c i come ammotare di fatturato per tutte le aziede i quella classe di reddito. Abbiamo quidi M = Se teiamo coto dell ammotare di classe la media risulta ivece M = = = 54.38

5 Histogram of redd Desity redd Figura 2: Nel grafico è riportata l istogramma per la distribuzioe dei fatturati c) Per calcolare Mediaa Quartili e Percetili calcoliamo le frequeza cumulate assolute N i e relative F i. Ricordiamo la formula per il calcolo della mediaa Me = x i + 2 N i 1 l i I questo caso abbiamo 431/2 182 Me = Per il calcolo del primo quartile abbiamo = Q1 = x i + Per il calcolo del terzo quartile abbiamo Q3 = x i + N 4 i 1 431/4 103 = 30 + l i N 4 i /4 182 = 50 + l i 4.98 Per il calcolo del 97-esimo percetile abbiamo C p = x i + = p N 100 i / = 50 + l i 4.98 = =