(3,4) (1,3) (2,2) (0,2) (3,4) (2,4) t (2,3) (3,5) (2,4) (3,5) (6,8) (3,4) (1,2) 1 (1,3)

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1 Prova Scritta di RICERCA OPERATIVA èinformaticiè 2èè98 - Esame æ Cognome: æ Nome:. Una compagnia petrolifera possiede 3 depositi dai quali puço prelevare benzina e trasportarla ai 5 impianti di distribuzione. I depositi sono di diverse dimensioni e il quantitativo massimo di benzina disponibile in ciascuno di essi giornalmente çe rispettivamente di 000, 400 e 250 ettrolitri. La tabella che segue riporta i costi èin migliaia di lireè del trasporto di un ettolitro di benzina da ciascuno dei depositi a ciascuno degli impianti di distribuzione insieme alla richiesta minima giornaliera èin ettolitriè di ciascuno degli impianti di distribuzione èi, I2, I3, I4, I5è. I I2 I3 I4 I5 Deposito Deposito Deposito richieste minime giornaliere Il prelievo di benzina da un deposito implica l'apertura del deposito stesso e la conseguente presenza di operai addetti. Il costo di tali operai èche esiste solo per i depositi apertiè ammonta a lire per il deposito, lire per il deposito 2 e lire per il deposito 3. Costruire un modello lineare che permetta di pianiæcare i trasporti giornalieri determinando quali depositi utilizzare per soddisfare le richieste e i quantitativi di benzina da trasportare dai depositi agli impianti in modo da minimizzare il costo complessivo tenendo presente che al piçu due depositi possono essere utilizzati. 2. Deaterminare i vertici del poliedro deænito da 2x, x 2 +5x 3 =5 3x,4x 3 ç4 x +x 2,x 3 ç2 x ç0: Dare quindi la rappresentazione esterna del cono di recessione del poliedro. 3. Sia dato il seguente problema èplè, min 2x +2x 2,x 3 x,x 2 =0 x +x 2,x 3 = xç0; Scrivere il problema duale di èplè e le corrispondenti condizioni di complementaritça. Risolvere il problema duale e determinare quindi, usando le condizioni di complementaritça, la soluzione del problema primale. 4. Risolvere applicando il metodo del simplesso il seguente problema di programmazione lineare: min x +2x 2,4x 3 4x +x 2,2x 3 ç2 2x 2 +x 3 = x ç0;x 2 ç0;x 3 ç0:

2 Elencare tutti i vertici del precedente problema e le corrispondenti basi ammissibili individuati dal metodo del simplesso. Speciæcare se i vertici elencati sono degeneri o non degeneri. 5. Utilizzando il metodo del Branch and Bound risolvere il seguente problema di Knapsack: max 0:5x +:8x 2 +x 3,x 4 +:5x 5 +x +5x 7 x +2x 2 +3x 3 +2x 4 +x 5,x +x 7 ç2 x i 2f0;g;i=;:::;7:. Dato il grafo in ægura in cui i numeri associati ad ogni arco rappresentano rispettivamente il æusso e la capacitça dell'arco, utilizzando l'algoritmo di Ford e Fulkerson èa partire dal æusso ammissibile datoè, determinare il massimo æusso inviabile dal nodo s al nodo t. Certiæcare l'ottimalitça della soluzione trovata determinando un taglio di capacitça minima. 3 5 (2,4) (2,2) (0,2) (,3) S 2 4 (2,4) t (,2) (,8) (,3) 2

3 Seconda Prova Scritta di RICERCA OPERATIVA èinformaticiè 2èè98 - Esonero A æ Cognome: æ Nome:. Enuciare la deænizione di unimodularitça di una matrice. Data una matrice A a componenti intere e con rankèaè = mdimostrare che l'unimodularitça di Açe condizione necessaria e suæciente aænchçe il poliedro P = fx 2 R n : Ax = b; x ç 0g abbia vertici interi per ogni b intero. 2. Dato un problema di PL e il suo problema duale, enunciare e dimostrare il teorema della dualitça debole. í. Un'industria produce due coloranti chimici èc, C2è e dispone di 5 diversi impianti di produzione èi,i2, I3,I4, I5è. Ciascuno degli impianti çe in grado di fornire i due coloranti giça pronti per la vendita. La tabella che segue riporta, per ogni impianto, il costo di produzione di un litro di ciascuno dei coloranti èin migliaia di lire al litroè in ciascuno degli impianti, la capacitça massima produttiva giornaliera èin litriè di ciascun impianto e la quantitça minima di ciascun colorante èin litriè che deve essere immessa sul mercato giornalmente. I I2 I3 I4 I5 quantitça minima C C capacitça max Ogni giorno l'industria deve decidere quali impianti attivare per soddisfare le richieste giornaliere del mercato. Il costo di attivazione èche si deve pagare solo se un impianto çe utilizzatoè çe pari a lire per gli impianti I, I3 e I5 e di lire per gli impianti I2 e I4. Costruire un modello lineare che permetta di decidere quali impianti attivare e le quantitça di ciascuno dei coloranti che devono essere prodotte dagli impianti attivati in modo da minimizzare il costo complessivo. 2. Sia dato il seguente problema èplè, min æx + æx 2, x 3 x, x 2 =0 x +x 2,x 3 = xç0; dove æ çe un parametro reale. Scrivere il problema duale di èplè e le corrispondenti condizioni di complementaritça. Determinare quindi, usando la teoria della dualitça, per quali valori di æ il problema èplè ammette soluzione ottima èsi consiglia di analizzare graæcamente il problema dualeè. 3. Risolvere applicando il metodo del simplesso il seguente problema di programmazione lineare: min 0x, x 2 +4x 3 x +4x 2,2x 3 ç2 2x +x 3 = x ç0;x 2 ç0;x 3 ç0: 4. Utilizzando il metodo del Branch and Bound risolvere il seguente problema di Knapsack: max :5x +:8x 2 +0:5x 3 +5x 4 x +2x 2 +x 3 +x 4 ç3 x i 2f0;g;i=;:::;4: 3

4 5. Dato il grafo in ægura in cui i numeri associati ad ogni arco rappresentano rispettivamente il æusso e la capacitça dell'arco, utilizzando l'algoritmo di Ford e Fulkerson èa partire dal æusso ammissibile datoè, determinare il massimo æusso inviabile dal nodo s al nodo t. Certiæcare l'ottimalitça della soluzione trovata determinando un taglio di capacitça minima. (,9) (,2) (2,2) (,7) (,4) (4,) S 2 (2,4) 5 t (2,5) (4,5) (2,4) (0,) (4,7) 3 (4,4) 4 4

5 Seconda Prova Scritta di RICERCA OPERATIVA èinformaticiè 2èè98 - Esonero B æ Cognome: æ Nome:. Dato un problema di PL in forma standard, scrivere il problema artiæciale ad esso associato. Dimostrare quindi che il problema artiæciale ammette sempre soluzione ottima e che il suo valore ottimo çe 0 se e sole se il problema PL ha regione ammissibile non vuota. 2. Sia x æ una soluzione ammissibile del sistema Ax ç b e sia c 2é n dato. Dimostrare che il sistema çe compatibile se e sole se il sistema con ç 2éçe compatibile. c T x é c T x æ Ax ç b c T x, çèc T x æ è é 0 Ax, çb ç 0 ç ç 0;. Una compagnia di distribuzione possiede 3 centri di smistamento èa, B, Cè dislocati in diæerenti localitça. Ogni giorno i suoi 4 clienti devono ricevere un quantitativo æssato di merce proveniente da questi centri. La tabella che segue riporta per ciascun centro il costo èin migliaia di lireè del trasporto di un quintale di merce dal centro al cliente, la capacitça massima di ogni centro ècioçeilnumero massimo di quintali disponibili giornalmente presso ogni centroè, e il quantitativo di merce èin quintaliè che ogni cliente deve ricevere giornalmente. A B C quantitativi richiesti Cliente Cliente Cliente Cliente capacitça massima Ogni giorno, ogni centro di smistamento puço essere utilizzato o puço rimanere chiuso. Se un centro viene utilizzato, si deve pagare un costo di attivazione dovuto alla presenza di un sorvegliante. Tale costo çe diæerente per ciascuno dei centri ed ammonta a lire per il centro A, lire per il centro B e lire per il centro C. Costruire un modello lineare che permetta di decidere quali centri attivare e le quantitça di merce da trasportare dai centri attivati a ciascuno dei clienti in modo da soddisfare la richiesta dei cinque clienti minimizzando il costo complessivo. 2. Sia dato il seguente problema èplè, max x 2 x + x 2 ç æ,x + x 2 ç æ x 2 ç 3; dove æ çe un parametro reale. Scrivere il problema duale di èplè e le corrispondenti condizioni di complementaritça. Determinare quindi, usando la teoria della dualitça, per quali valori di æ il duale di èplè non ammette soluzione ottima. èsi consiglia di analizzare graæcamente il problema primaleè. 5

6 3. Risolvere applicando il metodo del simplesso il seguente problema di programmazione lineare: min x, 2x 2, x 3 4x + x 2, 2x 3 ç 2 2x 2 + x 3 = x ç0;x 2 ç0;x 3 ç0: 4. Utilizzando il metodo del Branch and Bound risolvere il seguente problema di Knapsack: max 0:5x +:5x 2 +:8x 3 +5x 4 x +x 2 +2x 3 +x 4 ç3 x i 2f0;g;i=;:::;4: 5. Dato il grafo in ægura in cui i numeri associati ad ogni arco rappresentano rispettivamente il æusso e la capacitça dell'arco, utilizzando l'algoritmo di Ford e Fulkerson èa partire dal æusso ammissibile datoè, determinare il massimo æusso inviabile dal nodo s al nodo t. Certiæcare l'ottimalitça della soluzione trovata determinando un taglio di capacitça minima. 3 5 (2,4) (2,2) (0,2) (,3) S 2 4 (2,4) t (,2) (,8) (,3)

7 Seconda Prova Scritta di RICERCA OPERATIVA èinformaticiè 2èè98 - Esonero C æ Cognome: æ Nome:. Enunciare la deænizione di totale unimodularitça di una matrice. Enunciare e dimostrare la condizione suæciente aænchçe una matrice sia totalmente unimodulare. 2. Enunciare e dimostrare il teorema di dualitça forte.. Un'azienda produce tre tipi di pneumatici èp, P2, P3è utilizzando 3 diversi tipi di macchine èm, M2, M3è. Ciascuna delle macchine produce pneumatici pronti per essere venduti. Questa industria eæettua una pianiæcazione mensile della produzione. Nel prossimo mese ha ricevuto un ordine èche deve essere soddisfatto esattamenteè di 5000 penumatici del primo tipo, 000 pneumatici del secondo tipo e 000 del terzo tipo. e l'azienda deve decidere quali macchine attivare per soddisfare la richiesta. Il costo di attivazione èche çe pagato solo una macchina çe eæettivamente utilizzataè çe riportato nella tabella che segue èin milioni di lireè. La tabella riporta anche, per ciascun tipo di pneumatici, il costo di produzione unitario èin migliaia di lireè su ciascuna delle macchine e il numero massimo di pneumatici che ciascuna delle macchine puço fabbricare mensilmente. P P2 P3 capacitça massima costo attivazione M M M Costruire un modello lineare che permetta di determinare quali macchine utilizzare e le quantitça di ciascun tipo di pneumatici da produrre sulle macchine utilizzate in modo da minimizzare il costo complessivo. 2. Sia dato il seguente problema èplè, min æx + æx 2, 2x 3 2 x, x 2 =0: x +x 2,x 3 = xç0; dove æ çe un parametro reale. Scrivere il problema duale di èplè e le corrispondenti condizioni di complementaritça. Determinare quindi, usando la teoria della dualitça, per quali valori di æ il problema èplè ammette soluzione ottima èsi consiglia di analizzare graæcamente il problema dualeè. 3. Risolvere applicando il metodo del simplesso il seguente problema di programmazione lineare: min 4x +8x 2,2x 3 x +2x 2 =,2x +x 2 +4x 3 ç2 x ç0;x 2 ç0;x 3 ç0: 4. Utilizzando il metodo del Branch and Bound risolvere il seguente problema di Knapsack: max :8x +:5x 2 +5x 3 +0:5x 4 2x +x 2 +x 3 +x 4 ç3 x i 2f0;g;i=;:::;4: 7

8 5. Dato il grafo in ægura in cui i numeri associati ad ogni arco rappresentano rispettivamente il æusso e la capacitça dell'arco, utilizzando l'algoritmo di Ford e Fulkerson èa partire dal æusso ammissibile datoè, determinare il massimo æusso inviabile dal nodo s al nodo t. Certiæcare l'ottimalitça della soluzione trovata determinando un taglio di capacitça minima. 3 (3,) (,2) (2,4) (,2) S 2 5 t (,2) (,2) (2,) (3,) (,3) 4 8

9 Seconda Prova Scritta di RICERCA OPERATIVA èinformaticiè 2èè98 - D æ Cognome: æ Nome:. Enunciare e dimostrare il teorema del massimo - æusso minimo taglio. 2. Dato una coppia primaleèduale simmetrica, enunciare e dimostrare le condizioni di complementaritça. í. Una compagnia petrolifera possiede 3 grandi depositi dai quali puço prelevare benzina e trasportarla ai 5 impianti di distribuzione. I depositi sono di diverse dimensioni e il quantitativo massimo di benzina disponibile in ciascuno di essi giornalmente çe rispettivamente di 000, 400 e 250 ettrolitri. La tabella che segue riporta i costi èin migliaia di lireè del trasporto di un ettolitro di benzina da ciascuno dei depositi a ciascuno degli impianti di distribuzione insieme alla richiesta minima giornaliera èin ettolitriè di ciascuno degli impianti di distribuzione èi, I2, I3, I4, I5è. I I2 I3 I4 I5 Deposito Deposito Deposito richieste minime giornaliere Il prelievo di benzina da un deposito implica l'apertura del deposito stesso e la conseguente presenza di operai addetti. Il costo di tali operai èche esiste solo per i depositi apertiè ammonta a lire per il deposito, lire per il deposito 2 e lire per il deposito 3. Costruire un modello lineare che permetta di pianiæcare i trasporti giornalieri determinando quali depositi utilizzare per soddisfare le richieste e i quantitativi di benzina da trasportare dai depositi agli impianti in modo da minimizzare il costo complessivo. 2. Sia dato il seguente problema èplè, max 0:2x + x 2 3 x + x 2 ç æ,x + x 2 ç æ x 2 ç 3; dove æ çe un parametro reale. Scrivere il problema duale di èplè e le corrispondenti condizioni di complementaritça. Determinare quindi, usando la teoria della dualitça, per quali valori di æ il duale di èplè ammette soluzione ottima èsi consiglia di analizzare graæcamente il problema primaleè. 3. Risolvere applicando il metodo del simplesso il seguente problema di programmazione lineare: min,8x, 3x 2 +2x 3 2x +x 2 = x,2x 2 +4x 3 ç2 x ç0;x 2 ç0;x 3 ç0: 4. Utilizzando il metodo del Branch and Bound risolvere il seguente problema di Knapsack: max 5x +0:5x 2 +:8x 3 +:5x 4 x +x 2 +2x 3 +x 4 ç3 x i 2f0;g;i=;:::;4: 9

10 5. Dato il grafo in ægura in cui i numeri associati ad ogni arco rappresentano rispettivamente il æusso e la capacitça dell'arco, utilizzando l'algoritmo di Ford e Fulkerson èa partire dal æusso ammissibile datoè, determinare il massimo æusso inviabile dal nodo s al nodo t. Certiæcare l'ottimalitça della soluzione trovata determinando un taglio di capacitça minima. (2,) (,3) (3,7) 4 (2,4) (5,7) S 2 (5,5) t (,4) (,3) (4,) (,) 3 (0,3) 5 0