Applicazioni lineari e diagonalizzazione

Transcript

1 Applicazioni lineari e diagonalizzazione Autospazi Autovettori e indipendenza lineare Diagonalizzabilità e autovalori Politecnico di Torino 1

2 Esempio (1/6) Utilizzando un esempio già studiato, cerchiamo un metodo per determinare gli autovettori a partire dalla conoscenza degli autovalori. Abbiamo visto che la matrice A = ha polinomio caratteristico p A (t ) = -t 3 + 5t 2-7t +3 e autovalori λ 1 = 1 e λ 2 = 3 con m A (1) = 2 e m A (3) = Politecnico di Torino 2

3 Esempio (2/6) Gli autovettori di A relativi a 1 saranno le soluzioni non nulle del sistema omogeneo S 1 : (A I 3 ) X = O, 4x + 2y + 2z = 0 S1 : 8x 4y 4z = 0 4x + 2y + 2z = 0 che ha equazione risolvente z = -2x y. 5 Esempio (3/6) Analogamente gli autovettori di A relativi a 3 saranno le soluzioni non nulle di S 3 : (A 3I 3 )X = O, cioè 2x + 2y + 2z = 0 S3 : 8x 6y 4z = 0 4x + 2y = 0 con equazioni risolventi y = -2x, z = x Politecnico di Torino 3

4 Esempio (4/6) Poiché V 1 = sol (S 1 ) e V 3 = sol (S 3 ) sono 3 sottospazi vettoriali (SSV) di K in forma implicita, le loro dimensioni sono dimv1 = 3 r ( A I 3) = 2 e dimv3 = 3 r ( A 3I 3) = 1 in quanto r ( A I ) = r = 1, r ( A 3I ) = r = Esempio (5/6) Una base di V 1 è B 1 = {X 1 =(1,0,-2), X 2 = (0,1,-1)}. Una base di V 3 è B 3 = {X 3 =(1,-2,1)}. Si verifica direttamente che B ={X 1, X 2, X 3 } è una base di autovettori per A. Quindi, per il I Criterio di Diagonalizzabilità, A è diagonalizzabile Politecnico di Torino 4

5 Esempio (6/6) Possiamo diagonalizzare A con la matrice N = M ( X1, X 2, X 3) = ottenendo la forma diagonale = = D N AN 9 Osservazioni (1/2) Possiamo scegliere infinite basi di autovettori per la matrice A dell esempio precedente in modo da ottenere la stessa forma diagonale D : per esempio moltiplicando i vettori di B per scalari non nulli o prendendo qualsiasi altra base di V 1 utilizzando la risolvente ottenuta Politecnico di Torino 5

6 Osservazioni (2/2) D altra parte, permutando gli elementi di B abbiamo sempre una base di autovettori di A ma la relativa forma diagonale in generale varia: per esempio se B' = {X 3, X 1, X 2 }, allora otteniamo la forma diagonale D ' = In generale vi è un numero finito di possibili forme diagonali di una matrice, in quanto sono tutte ottenute permutando gli autovalori sulla diagonale. 11 Definizione di autospazio Sia A M n e sia λ K un autovalore di A. Definiamo autospazio di A relativo a λ l insieme V A (λ) = sol (S λ ) delle soluzioni del sistema omogeneo S : λ ( A λ I ). n X = O n V A (λ) è il SSV di K (in forma implicita) formato da tutti gli autovettori di A relativi a λ più il vettore nullo (che non è un autovettore ma è una soluzione di S λ!) Politecnico di Torino 6

7 Molteplicità geometrica Se λ K è un autovalore di A M n, la dimensione d A (λ) dell autospazio V A (λ) è data dalla formula della dimensione per i SSV in forma implicita: ( ) = ( ) = ( ) d λ dimv λ n r A λ I. A A n d A (λ) viene detta molteplicità geometrica di λ (come autovalore di A). Osserviamo che necessariamente d A (λ) è 1, in quanto un autospazio non può consistere nel solo vettore nullo. 13 Osservazione Nell esempio esposto in precedenza, tutti gli autovalori hanno molteplicità algebrica e geometrica uguali. Questo in generale non è vero. Per esempio, se 1 1 B = 0 1 p B (t ) = (t 1) 2, quindi B ha solo 1 come autovalore con m B (1) = 2 e d B (1) = 2 -r (B -I 2 ) = 2-1 = 1< m B (1) Politecnico di Torino 7

8 Confronto tra molteplicità geometrica e algebrica Sia A M n e sia λ K un autovalore di A. Allora: ( ) m ( ) 1 d λ λ. A Osserviamo che, se m A (λ) = 1 la precedente disuguaglianza implica che d A (λ) = m A (λ) = 1. Dunque le due molteplicità possono differire solo nel caso di autovalori multipli. A Politecnico di Torino 8

9 Metodo Nell esempio precedente abbiamo ottenuto una base di autovettori per una matrice A come unione di basi degli autospazi di A. Una condizione necessaria per poter generalizzare questo metodo è che questa unione di basi sia un insieme libero. Dunque siamo interessati a verificare l indipendenza lineare tra autovettori relativi a autovalori diversi. 17 Indipendenza di autovettori (1/3) Se A M n e se X 1, X 2 sono autovettori di A con relativi autovalori λ 1 λ 2, allora X 1, X 2 sono LI. Infatti sono entrambi O per definizione e, se fosse X 2 = αx 1, avremmo λ X = AX = Aα X = αax = αλ X = λ αx = λ X da cui λ 1 = λ 2 contro l ipotesi Politecnico di Torino 9

10 Indipendenza di autovettori (2/3) Siano ora X 1, X 2, X 3 autovettori di A con relativi autovalori λ 1, λ 2, λ 3 distinti. Se per assurdo fosse X 3 = c 1 X 1 + c 2 X 2, avremmo λ X = AX = c AX + c AX = c λ X + c λ X e da cui ( ) λ X = λ c X + c X = c λ X + c λ X c λ X + c λ X = c λ X + c λ X cioè ( ) ( ) c λ - λ X + c λ - λ X = Indipendenza di autovettori (3/3) Poiché X 1 e X 2 sono LI per il caso precedente, i coefficienti dell ultima CL devono essere nulli; d altra parte λ 3 λ 1 e λ 2 λ 1, dunque c 1 = c 2 = 0. Ma allora X 3 = O, il che è assurdo in quanto X 3 è un autovettore. Questo ragionamento si generalizza con il principio di induzione Politecnico di Torino 10

11 Teorema di Indipendenza degli Autovettori Sia A M n. Se X 1,..., X k sono autovettori di A con relativi autovalori λ 1,..., λ k distinti, allora l insieme L= {X 1,..., X k } è libero. Se p A (t ) ha radici distinte λ 1,..., λ k in K (contate senza molteplicità), allora scelta per ogni autospazio V A (λ ) i una base B k i, l insieme di vettori L = i = èlibero. 1 B i Illustriamo con un esempio il punto (2) del teorema. 21 Esempio (1/2) Sia A = M Gli autovalori di A sono 1 e 2 con m A (1) = 3 e m A (2) = 1, poiché A è triangolare superiore Politecnico di Torino 11

12 Esempio (2/2) I sistemi S 1 : (A I 4 )X = O e S 2 : (A 2I 4 )X = O hanno risolventi rispettivamente x = 4t y = z e y = 3t t = 0 z = t Base di V A (1) : x B 1 = {X 1 = (1, 0, 0, 0), X 2 = (0, 1, 1, 0)}. Base di V A (2): x B 2 = {X 3 = (4, 3, 1, 1)}. Si verifichi che X 1, X 2, X 3 formano un insieme libero Politecnico di Torino 12

13 Diagonalizzabilità con autovalori semplici (1/2) Dal Teorema di Indipendenza degli Autovettori deduciamo che se A M n ha n autovalori λ 1,..., λ n distinti, allora A è diagonalizzabile. Infatti, prendendo per ogni λ i un autovettore X i, l insieme B ={X 1,..., X n } è libero e quindi è una base di autovettori per A. 25 Diagonalizzabilità con autovalori semplici (2/2) ATTENZIONE!: Il viceversa non è vero! Se una matrice n x n è diagonalizzabile non possiamo concludere che ha necessariamente n autovalori distinti. Per esempio I n ha il solo autovalore 1 con molteplicità n ma è diagonalizzabile in quanto diagonale Politecnico di Torino 13

14 Diagonalizzabilità con autovalori multipli Il secondo punto del Teorema di Indipendenza degli Autovettori ci dice che un insieme libero di autovettori di A M n al massimo può avere tanti elementi quanto la somma delle molteplicità geometriche degli autovalori di A. Dunque tale somma sarà uguale a n se e solo se esiste una base di autovettori per A, cioè se e solo se A è diagonalizzabile. Inoltre: n ( ) ( ) n A i i = 1 i = 1 A i d λ m λ n. 27 II Criterio di Diagonalizzabilità Sia A M n. Se p A (t ) ha radici distinte λ 1,..., λ k in K, allora A è diagonalizzabile se e solo se sono verificate le seguenti condizioni: k i = 1mA ( λ i ) = n. d A (λ ) i =m A (λ ) i per ogni i = 1,..., k. In altre parole, A è diagonalizzabile se e solo se la somma delle molteplicità algebriche degli autovalori è n (massima possibile) e per ogni autovalore la molteplicità algebrica è uguale a quella geometrica Politecnico di Torino 14

15 Diagonalizzazione in presenza di parametri (1/8) Come applicazione del II Criterio di Diagonalizzabilità, studiamo al variare di k in R la diagonalizzabilità della famiglia di matrici Ak = 2 1 k 3. 1 k 1 29 Diagonalizzazione in presenza di parametri (2/8) Il polinomio caratteristico di A k è, sviluppando D(A k ti 3 ) lungo la prima riga, 3 t 0 0 p A k t t k t t t k k 1 k 3 1 t ( ) 2 ( ) = det 2 1 = ( 3 ) ( 3) Al variare di k, gli autovalori di A k sono λ 1 = 3, λ 2 = 1 + 3, λ 3 = 1 - k k 3 k ( k ) ( ) Politecnico di Torino 15

16 Diagonalizzazione in presenza di parametri (3/8) Se 0 < k < 3 allora k (k -3) < 0 e λ 2, λ 3 sono complessi coniugati. Quindi A k non è diagonalizzabile su R mentre lo è su C essendoci in C tre autovalori distinti. 31 Diagonalizzazione in presenza di parametri (4/8) Per k 0 o k 3 gli autovalori sono tutti reali. Vi sono autovalori multipli per i k tali che il discriminante è 0, cioè per k = 0 e k = 3, e per i k tali che 1 ± k ( k 3) = 3. Questi ultimi sono k = -1 e k = 4. Quindi per k > 3, k < 0 e k -1, 4, A k è diagonalizzabile su R. Esaminiamo ora separatemente i casi k = 0, 3, 4, Politecnico di Torino 16

17 Diagonalizzazione in presenza di parametri (5/8) k = 0. Autovalore 1 con molteplicità algebrica 2. Allora r ( A0 I 3) = r = 2 implica dimv A ( 1) = quindi A 0 non è diagonalizzabile. 33 Diagonalizzazione in presenza di parametri (6/8) k = 3. Autovalore 1 con molteplicità algebrica 2. Allora r ( A3 I 3) = r = 2 implica dimv A ( 1) = quindi A 3 non è diagonalizzabile Politecnico di Torino 17

18 Diagonalizzazione in presenza di parametri (7/8) k = 4. Autovalore 3 con molteplicità algebrica 2. Allora r ( A4 3I 3) = r = 2 implica dimv A ( 3) = quindi A 4 non è diagonalizzabile. 35 Diagonalizzazione in presenza di parametri (8/8) k = -1. Autovalore 3 con molteplicità algebrica 2. Allora r ( A 1 3I 3) = r = 1 implica dimva ( 3) = quindi A -1 è diagonalizzabile Politecnico di Torino 18