Statistica (Prof. Capitanio) Alcuni esercizi tratti da prove scritte d esame

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1 Statistica (Prof. Capitaio) Alcui esercizi tratti da prove scritte d esame Esercizio 1 Il tempo (i miuti) che Paolo impiega, i auto, per arrivare i ufficio, può essere modellato co ua variabile casuale N(µ = 25,σ 2 = 20.25) a) Calcolare la probabilità che domai Paolo per arrivare i ufficio impieghi meo di 24 miuti. b) Calcolare la probabilità che i sei giori lavorativi il tempo medio per arrivare i ufficio sia superiore a 26 miuti. (Giustificare la risposta) Esercizio 2 Il prezzo di chiusura (i euro) di u titolo azioario ha distribuzioe X N(µ = ,σ 2 = 2.5). a) Calcolare la probabilità che domai il prezzo di chiusura del titolo sia maggiore di 258. b) Calcolare la probabilità che ei prossimi 10 giori il prezzo di chiusura per 4 volte superi 258. c) Calcolare la probabilità che il prezzo medio di chiusura dei prossimi 10 giori o superi 255. Esercizio 3 Il tempo (i secodi) ecessario per il cambio delle gomme durate u pit stop della scuderia A di Formula 1 può essere modellato attraverso la variabile casuale X N(µ = 3.12,σ 2 = 0.64). a) Calcolare la probabilità che il tempo medio per il cambio delle gomme elle prossime sette gare del campioato sia iferiore a 2.9 secodi. (Specificare la variabile casuale che si sta utilizzado e giustificare i passaggi). Esercizio 4 Il tasso di redimeto auo di u titolo azioario ha distribuzioe N(4;12) a) Calcolare la probabilità che il tasso di redimeto sia iferiore a 3.5. b) Calcolare la probabilità che per tre volte i 6 ai il tasso di redimeto sia iferiore 3.5. c) Calcolare la probabilità che il tasso medio riferito a quattro ai sia iferiore a 4.2. Esercizio 5 La macchie iscatolatrici o soo perfette. Il peso effettivo di ua cofezioe di pasta da 500 grammi può essere modellato attraverso ua variabile casuale N(500;225). a) Calcolare la probabilità che il peso medio di 10 scatole sia iferiore a 495 grammi, giustificado la risposta. 1

2 Esercizio 6 I ua regioe italiaa il reddito (X, i migliaia di.) medio dichiarato per il 2010 da ua categoria di liberi professioisti è stato pari a 48,75. Per la stessa categoria e la stessa regioe, sulla base di u campioe casuale formato da 118 redditi dichiarati per il 2011 si è osservato x i = Dev(X ) = a) Stimare media e variaza del reddito dichiarato el 2011 dalla categoria professioale ella regioe cosiderata, giustificado la scelta degli stimatori usati. b) Si può affermare, al livello di sigificatività dell 1%, che il reddito mediamete dichiarato è dimiuito? (Giustificare lo svolgimeto e commetare il risultato). Esercizio 7 I u campioe casuale formato da 145 redditi dichiarati el 2011 da altrettati apparteeti ad ua categoria di liberi professioisti, si è osservato che il 52.41% dei redditi dichiarati o supera i c) Determiare l itervallo di cofideza al 99% per la proporzioe dei redditi o superiori a dichiarati el 2011 da tutti gli apparteeti alla categoria di professioisti cosiderata. (Giustificare lo svolgimeto e commetare il risultato). Esercizio 8 Su di u campioe casuale formato da 52 uità soo stati rilevati i due caratteri quatitativi X e Y, e abbiamo a disposizioe le segueti iformazioi. X = Y = 3.75 Dev(X ) = Dev(Y) = x i = a) Stimare i parametri della retta di regressioe lieare, e commetare il b) Stimare la variaza degli errori. c) Ipotizzado che i residui abbiao distribuzioe ormale, si può riteere, al livello di sigificatività dell 1%, che il parametro sia sigificativamete diverso da zero? (Giustificare i passaggi e iterpretare il risultato) Esercizio 9 I ua regioe italiaa el 2011 la spesa media mesile (X, i cetiaia di.) i cosumi alimetari per famiglie formate da quattro compoeti è stata pari a Per la stessa la stessa regioe, sulla base di u campioe casuale formato da 95 famiglie sempre di quattro compoeti co riferimeto al 2012 si è osservato 2

3 d) Si può affermare, al livello di sigificatività del 5%, che la spesa media mesile i cosumi alimetari è aumetata? (Giustificare lo svolgimeto e commetare il risultato). Esercizio 10 È stato rilevato il fatturato (Y, i milioi di euro) e il umero di addetti (X) per 25 aziede, e soo dispoibili le segueti sitesi dei dati osservati. X = 36 Y = 5.92 Dev(X ) = Dev(Y) = x i = 7008 d) Stimare i parametri della retta di regressioe lieare Y = β 0 x + ε, e commetare il e) Valutare la botà di adattameto del modello ai dati. Esercizio 11 Durate il bieio i creditori isolveti di ua baca soo stati il 25,34% del totale di coloro che avevao chiesto u prestito. Per il 2011 si hao a disposizioe i dati relativi ad u campioe casuale formato da 165 creditori: fra questi, 48 soo stati isolveti. a) Descrivete il modello probabilistico che riteete adatto per modellare il carattere osservato. b) Stimare la proporzioe di creditori che el 2011 è stata isolvete, giustificado la scelta dello stimatore usato. c) Calcolare l itervallo di cofideza al 95% per la proporzioe di creditori isolveti (giustificare i passaggi e commetare il risultato). d) Si può riteere al livello di sigificatività dell 1%, che la proporzioe di coloro che o hao restituito il prestito sia aumetata? (giustificare i passaggi e commetare il risultato). Esercizio 12 Di seguito soo riportate alcue sitesi dei dati relativi ad u idagie campioaria volta a studiare la spesa mesile (X, i euro) per telefoia mobile effettuata da giovai i età compresa fra 14 e 18 ai. = 135 x = Dev(X ) = e) Calcolare l itervallo di cofideza al 95% per la spesa media mesile. (Giustificare i passaggi e commetare il risultato). 3

4 Esercizio 13 Ua grade compagia di autotrasporti vuole stimare la spesa media aua (Y, i migliaia di euro) per mautezioe per i propri autocarri i fuzioe dell età (X, i ai), all iizio dell ao, degli autocarri stessi. Co riferimeto ad u campioe casuale formato da 42 autocarri si è osservato: X = 5.30 Y = 2.45 Dev(X ) = Dev(Y) = x i = f) Stimare i parametri della retta di regressioe lieare Y = β 0 x + ε, e commetare il g) Ipotizzado che i residui abbiao distribuzioe ormale, si può riteere, al livello di sigificatività del 5%, che il parametro β 1 sia sigificativamete diverso da zero? (Giustificare i passaggi e iterpretare il risultato co riferimeto al cotesto descritto ell esercizio) Esercizio 14 Per u collettivo formato da 310 laureati abbiamo a disposizioe le segueti iformazioi riguardo il voto di diploma (X) e il voto di laurea (Y). x = y = Dev(X ) = Dev(Y) = Cod(X,Y) = a) Stimare i parametri della retta di regressioey = β 0 x + ε, e commetare il b) Assumedo la ormalità distributiva degli errori, si può riteere che il coefficiete di regressioe lieare sia sigificativamete diverso da zero, al livello di sigificatività del 5%? (giustificare i passaggi e commetare il risultato). Esercizio 15 U uovo prodotto è stato immesso sul mercato, e al fie di stimare la proporzioe di persoe che lo hao acquistato viee fatto u sodaggio attraverso u campioe casuale di 145 poteziali acquireti. Il 57.93% degli itervistati dichiara di averlo acquistato. a) Calcolare l itervallo di cofideza al 99% per la proporzioe di acquireti del uovo prodotto, descrivedo il modello probabilistico utilizzato per modellare le osservazioi e giustificado la scelta del metodo di calcolo per l itervallo. b) Si può assumere, al livello di sigificatività del 5%, che la proporzioe di acquireti è maggiore di 0.55? (giustificare il metodo e commetare il risultato). 4

5 Esercizio 16 U azieda vuole studiare la relazioe fra gli ai di aziaità i servizio e le ore di asseza i u ao dei suoi dipedeti. A questo scopo vegoo rilevati cogiutamete i due caratteri per 70 dipedeti, e si cosidera la retta di regressioe lieare che esprime le ore di asseza i fuzioe degli ai di aziaità. Idicati co X gli ai di aziaità e co Y le ore di asseza si è osservato x = 18 y = Dev(x) = 7140 Dev(y) = x i = a) Stimare i parametri della retta di regressioe lieare di Y su X, e commetare il b) Stimare la variaza degli errori. c) Assumedo che gli errori abbiao distribuzioe ormale, il coefficiete di regressioe può essere riteuto diverso da zero, al livello di sigificatività del 5%? (Giustificare i passaggi e commetare il risultato). d) Valutare la botà di adattameto del modello ai dati. 5

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