Capitolo 4: CAMBIAMENTO DI SISTEMA DI UNITÀ

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1 Capitolo 4: CAMBIAMENTO DI SISTEMA DI UNITÀ 4.1 Grandezze fondamentali e derivate Come abbiamo già osservato la scelta di un Sistema di unità di misura è largamente arbitraria e dettata in gran parte da considerazioni pratiche, come la facilità di disporre di un certo campione o la comodità di una certa definizione, e così via. Succede quindi molto spesso che, noto il valore di una grandezza in un certo Sistema, occorra valutare il numero che esprime la misura della stessa grandezza in un altro Sistema. Vi sono due possibilità, che tratteremo separatamente, la prima quando le grandezze fondamentali rimangano le stesse e la seconda quando invece almeno una di esse cambi. Noto il valore della grandezza G rispetto ad una certa unità di misura, chiamiamola vecchia {G V }, si vuole valutare il valore rispetto ad una unità differente dalla prima, chiamiamola nuova {G N }. Basta osservare che : G = g V {G V } = g N {G N } (4.1.1) dove g V e g N rappresentano rispettivamente la misura di G espressa in unità di misura {G V } e {G N }. Si ha quindi: g N = g V {G V } {G N } = g V r V N (4.1.2) avendo indicato con r V N = {G V }/{G N } il fattore di conversione dall unità {G V } all unità {G N }. Vediamo un esempio: se G è una lunghezza il cui valore è pari a 2 inch (pollici), qual è il suo valore espresso in cm? In base alla relazione precedente sarà: 1 inch 2.54 cm g cm = g inch = 2 1 cm 1 cm quindi 2 inch = 5.08 cm sarà l equivalenza richiesta. = = 5.08 (4.1.3) 4.2 Grandezze derivate dalle stesse grandezze fondamentali Per le grandezze derivate, se si hanno le stesse grandezze fondamentali ma cambia l unità di misura di una (o più di esse), il discorso si complica. Indichiamo ora con F 1, F 2,..., F n le grandezze fondamentali, con {F 1 } V, {F 2 } V,..., {F n } V le vecchie unità di misura e con {F 1 } N, {F 2 } N,..., {F n } N quelle nuove. Supponiamo altresì, per semplicità (ma la cosa non è essenziale), che in ambedue i casi l unità di misura della grandezza in considerazione sia scelta in modo coerente con le unità di misura delle grandezze fondamentali. Si può pertanto scrivere, indicando con {G} V e con {G} N l unità di misura di G rispettivamente nel vecchio e nel nuovo sistema: G = g V {G} V = g N {G} N (4.2.1) D altra parte l unità di misura di G è legata alle unità delle grandezze fondamentali dalle seguenti relazioni, a seconda che si consideri il vecchio o il nuovo sistema: {G} V = {F 1 } α1 V {F 2} α2 V {F n} αn V (4.2.2) 4.1

2 {G} N = {F 1 } α1 N {F 2} α2 N {F n} αn N (4.2.3) Si noti che, in questo caso, i coefficienti α i sono uguali nelle due equazioni e pertanto possiamo scrivere che: dove il fattore di conversione r V N vale: g N = g V r V N (4.2.4) r V N = {G} V {G} N = {F 1} α1 V {F 1 } α1 {F 2} α2 V {F n} αn V N {F n} αn N {F 2} α2 N (4.2.5) Vediamo subito un esempio: quanto vale in miglia/ora una velocità di 10 m/s? Le grandezze fondamentali sono ovviamente rimaste le stesse: una lunghezza ed un tempo. Sono cambiate le unità di misura: il miglio anzichè il metro per le lunghezze; l ora anzichè il secondo per il tempo. Con la notazione precedentemente usata si ha: n = 2 [F 1 ] = lunghezza [F 2 ] = tempo (4.2.6) {F 1 } V = 1 m {F 1 } N = 1 miglio (4.2.7) {F 2 } V = 1 s {F 2 } N = 1 ora (4.2.8) Poichè: si ha che: e quindi: 1 miglio = 1609 m 1 ora = 3600 s (4.2.9) r V N = 1 m 1609 m 3600 s 1 s = 2.24 (4.2.10) v = 10 m/s = 22.4 miglia/ora. (4.2.11) Introduciamo un altro esempio. La costante di gravitazione universale G (definita dalla formula di attrazione universale di Newton): F = G m1 m 2 r 2 (4.2.12) ha il valore G = (N m 2 /kg 2 ) in un sistema nel quale le grandezze fondamentali sono la lunghezza, la massa ed il tempo e le corrispondenti unità sono m, kg e s. Quanto vale G se le unità sono invece cm, gr, sec? Per applicare le formule precedenti dobbiamo anzitutto calcolare le dimensioni di G. Si vede molto facilmente che: Con le notazioni precedenti si ha che: Pertanto il fattore di conversione vale: [G] = [F] [L] 2 [M] 2 = [L] 3 [T] 2 [M] 1 (4.2.13) n = 3 [F 1 ] = [L] [F 2 ] = [T] [F 3 ] = [M] (4.2.14) {F 1 } V = 1 m {F 2 } V = 1 s {F 3 } V = 1 kg (4.2.15) {F 1 } N = 1 cm {F 2 } N = 1 sec {F 3 } N = 1 gr (4.2.16) α 1 = 3 α 2 = 2 α 3 = 1 (4.2.17) r V N = (100) 3 (1) 2 (1000) 1 = 10 3 (4.2.18) 4.2

3 e quindi: g N = g V r V N = = (4.2.19) e quindi 8 cm3 G = g sec (4.2.20) è il valore della grandezza considerata nel nuovo Sistema. 4.3 Grandezze derivate da grandezze fondamentali differenti Indichiamo con F 1, F 2,..., F n le grandezze fondamentali originarie e con H 1, H 2,..., H p le nuove grandezze fondamentali. Da notare che il numero p di quest ultime non deve necessariamente essere uguale ad n. Una generica grandezza, G, nel sistema delle F i (diciamolo, per comodità di espressione, vecchio sistema) è esprimibile come: G = g V {G} V = g V {F 1 } α1 {F 2 } α2 {F n } αn (4.3.1) (supponendo di scegliere in modo coerente l unità di misura derivata). Nel nuovo sistema, cioè quello delle H j, la stessa grandezza sarà esprimibile (supponendo nuovamente di scegliere l unità derivata coerentemente) come: G = g N {G} N = g N {H 1 } η1 {H 2 } η2 {H p } ηp (4.3.2) Quali saranno le dimensioni di G ed il suo valore g nel nuovo sistema? Dobbiamo ovviamente conoscere le relazioni che legano le F i alle H j. Le F i possono essere espresse in termini delle nuove grandezze H j e potremo scrivere: {F 1 } = f 1 {H 1 } β11 {H 2 } β12 {H p } β1p {F 2 } = f 2 {H 1 } β21 {H 2 } β22 {H p } β2p... (4.3.3)... {F n } = f n {H 1 } βn1 {H 2 } βn2 {H p } βnp I coefficienti f 1,..., f n saranno in generale differenti da 1 poichè l unità di misura delle F i che risulta determinata dal nuovo sistema di grandezze fondamentali H 1,..., H p e dalle unità di misura a priori arbitrarie di quest ultime, non coincide necessariamente con l unità originaria. Se, per esempio, al posto delle tre grandezze fondamentali lunghezza L, tempo T e massa M, con unità di misura rispettivamente m, s, kg, scegliessimo le grandezze lunghezza l, tempo t e forza f, con unità di misura rispettivamente m, sec, kg p, si vede che la nuova unità di massa, determinata dalla relazione f = m a risulta essere: {M N } = {f} {a} = 1 kg p 1 m s 2 = 9.8 {M V } = 9.8 kg (4.3.4) 4.3

4 Sostituendo ora membro a membro otteniamo: G = g V f α1 1 f α2 2 f αn n ({H 1} β11 {H 2 } β12 {H p } β1p ) α1 ovvero: Se quindi indichiamo con: ({H 1 } β21 {H 2 } β22 {H p } β2p ) α2 (4.3.5) ({H 1 } βn1 {H 2 } βn2 {H p } βnp ) αn G = g V f α1 1 f α2 2 f αn n {H 1} β11α1+β21α2+ βn1αn {H 2 } β12α1+β22α2+ βn2αn (4.3.6) {H p } β1pα1+β2pα2+ βnpαn η 1 = β 11 α 1 + β 21 α 2 + β n1 α n η 2 = β 12 α 1 + β 22 α 2 + β n2 α n (4.3.7) η p = β 1p α 1 + β 2p α 2 + β np α n o, con scrittura più compatta: n η i = α k β ki i = 1,, p (4.3.8) possiamo riscrivere l equazione iniziale come; k=1 G = g N {G} N = g N {H 1 } η1 {H 2 } η2 {H p } ηp (4.3.9) La conoscenza delle quantità β ki determina completamente le dimensioni di una qualunque grandezza G nel nuovo sistema di unità. [1] Il nuovo valore numerico g di G è dato da: g N = g V f α1 1 f α2 2 f αn n (4.3.10) che può anche scriversi come: g N = g V r α1 V N (F 1) r α2 V N (F 2) r αn V N (F n) (4.3.11) avendo indicato con r V N (F i ) = f i il fattore di conversione fra la vecchia e la nuova unità di misura di F i. Esamineremo ora i differenti casi che possono presentarsi nel passare da un Sistema di misura (vecchio) ad un altro (nuovo). [1] Le espressioni precedenti possono venir espresse sotto una forma molto più compatta facendo ricorso alla notazione matriciale. 4.4

5 4.4 Sistemi diversi con stesso numero di grandezze fondamentali Si supponga che il vecchio Sistema sia il Sistema Internazionale. Si ha pertanto: [F 1 ] = [L] [F 2 ] = [T] [F 3 ] = [M] (4.4.1) con unità di misura: {F 1 } = m {F 2 } = s {F 3 } = kg (4.4.2) Il nuovo sistema sia il Sistema Pratico avente come grandezze fondamentali una lunghezza, un tempo ed una forza ossia: [H 1 ] = [L] [H 2 ] = [T] [H 3 ] = [F] (4.4.3) con le unità di misura: Si vede subito che: {H 1 } = m {H 2 } = sec {H 3 } = kg p (4.4.4) [F 1 ] = [H 1 ] 1 [H 2 ] 0 [H 3 ] 0 (4.4.5) [F 2 ] = [H 1 ] 0 [H 2 ] 1 [H 3 ] 0 (4.4.6) [F 3 ] = [H 1 ] 1 [H 2 ] 2 [H 3 ] 1 (4.4.7) e quindi i coefficienti β ki valgono: β 11 = 1 β 12 = 0 β 13 = 0 ovvero con notazione matriciale: β 21 = 0 β 22 = 1 β 23 = 0 (4.4.8) β 31 = 1 β 32 = 2 β 33 = 1 I corrispondenti fattori di conversione per le F i risultano: β = (4.4.9) r V N (F 1 ) = 1 r V N (F 2 ) = 1 r V N (F 3 ) = (4.4.10) Una generica grandezza G, per esempio la pressione, avrà dimensioni: [p] V = [L] 1 [T] 2 [M] 1 (4.4.11) con coefficienti: α 1 = 1 α 2 = 2 α 3 = 1 (4.4.12) Se applichiamo le formule precedenti, le dimensioni della pressione nel nuovo sistema p N sono: η 1 = α 1 α 3 = 2 η 2 = α 2 + 2α 3 = 0 η 3 = α 3 = 1 (4.4.13) 4.5

6 Si può verificare, calcolando direttamente le dimensioni di p N nel nuovo sistema, che: [pressione] = [forza] [area] = [H 3] [L] 2 = [H 1 ] 2 [H 2 ] 0 [H 3 ] 1 (4.4.14) Il valore della pressione risulta quindi: p N = p V r α1 V N (F 1) r α2 V N (F 2) r α3 V N (F 3) = p V = p V 9.8 (4.4.15) se lo esprimiamo nelle unità del nuovo Sistema. 4.5 Sistemi diversi con diverso numero di grandezze fondamentali Il vecchio Sistema sia sempre il Sistema Internazionale; il nuovo sistema abbia invece come grandezze fondamentali una lunghezza L, ed una massa M con le stesse unità di misura del vecchio sistema. Si avrà così: [F 1 ] = [L] [F 2 ] = [T] [F 3 ] = [M] (4.5.1) {F 1 } = m {F 2 } = s {F 3 } = kg (4.5.2) e rispettivamente [H 1 ] = [L] [H 2 ] = [M] (4.5.3) {H 1 } = m {H 2 } = kg (4.5.4) Per passare dal vecchio Sistema al nuovo Sistema occorre trovare una relazione tra le vecchie e le nuove grandezze. Ciò si può ottenere facendo uso di una relazione che leghi fra loro la lunghezza L, il tempo T e la massa M. Tale relazione è, per esempio, quella che esprime la legge di gravitazione universale nella quale si impone che la costante G, dimensionale nel vecchio Sistema (S.I.), sia senza dimensioni nel nuovo Sistema. Abbiamo quindi ora a disposizione le due relazioni: F = m a (4.5.5) F = G m 1 m 2 r 2 (4.5.6) Nel vecchio Sistema, fissate arbitrariamente le unità di misura di L, T ed M, la costante G risultava fissata sia come dimensioni sia come valore numerico. Nel nuovo Sistema, fissate le unità di misura di M e di T, possiamo usare la legge di gravitazione universale con costante G adimensionale per definire la nuova unità di forza. Se in particolare la nuova costante ha anche come valore numerico 1, la nuova unità di forza risulterà coerente. A questo punto la relazione f = m a definisce univocamente la nuova unità di tempo. In formule: {H 1 } 1 {H 2 } 1 {T } 2 = G {H 1 } 2 {H 2 } 2 (4.5.7) cioè: {T N } 1 = ( ) {H1 G } 3 2 {H2 } 1 2 (4.5.8) 4.6

7 G è una costante adimensionale: il suo valore numerico è arbitrario e definisce quanto vale la nuova unità di forza. {F N } = G {H 1 } 2 {H 2 } 2 = {L} 2 {M} 2 (4.5.9) Le relazioni fra le vecchie e le nuove grandezze fondamentali si possono quindi scrivere: [F 1 ] = [H 1 ] [F 2 ] = [H 1 ] 3 2 [H2 ] 1 2 [F 3 ] = [H 2 ] (4.5.10) ed i coefficienti, espressi in modo matriciale, risultano essere: β = (4.5.11) Si noti che i fattori di conversione di F 1 e F 3 sono uguali ad 1 in quanto tali grandezze sono rimaste invariate come grandezze fondamentali e non è cambiata la corrispondente unità di misura: r V N (F 1 ) = 1 r V N (F 3 ) = 1. (4.5.12) Il modo più semplice di valutare invece r V N (T), ma non il solo, può essere il seguente. Il fattore di conversione di una generica grandezza G nel caso presente vale semplicemente: g N = g V r α2 V N (F 2). (4.5.13) Se la grandezza G è la forza, il suo fattore di conversione si può determinare molto facilmente. Anzi tutto notiamo che: [F] = [L] 1 [T] 2 [M] 1 cioè α 1 = 1 α 2 = 2 α 3 = 1 (4.5.14) e quindi F N = F V r 2 V N (F 2) (4.5.15) Se allora consideriamo la forza che si esercita tra due masse entrambe di 1 kg poste alla distanza di 1 m nel vecchio sistema abbiamo: F V = G (4.5.16) mentre nel Nuovo si ha F N = G. (4.5.17) Pertanto possiamo scrivere: da cui infine: F N F V = G G = r 2 V N (F 2) (4.5.18) r V N (F 2 ) = ( ) 1 G 2 G = G G. (4.5.19) Se ora consideriamo un altra grandezza, per esempio la velocità, potremo scrivere: [v] = [F 1 ] 1 [F 2 ] 1 = [L] 1 [T] 1 cioè α 1 = 1 α 2 = 1 α 3 = 0 (4.5.20) 4.7

8 e quindi: v N = r 1 V N (F 2) v V = è la relazione cercata tra la vecchia e la nuova grandezza. ( G G ) 1 2 vv (4.5.21) È interessante notare che, facendo uso di un ulteriore relazione, quindi ponendo adimensionali contemporaneamente due costanti universali, si possono esprimere tutte le grandezze in funzione una sola grandezza fondamentale. Una delle leggi fondamentali dei fenomeni quantistici fissa che l energia E della radiazione sia proporzionale, tramite la costante di Planck h alla sua frequenza ν di emissione ossia: Spesso si utilizza la costante di Plank ridotta: E = h ν h = Js (4.5.22) h = h/2π = Js (4.5.23) Si può allora porre h = 1 ed adimensionale. Un altra quantità invariabile (costante universale) molto impiegata è la velocità della luce nel vuoto c. Si può allora porre c =1 ed adimensionale. Poichè la frequenza ν è dimensionalmente l inverso di un tempo, se h è adimensionale le dimensioni dell energia e del tempo devono essere reciproche l una dell altra. Inoltre se è adimensionale c la lunghezza ed il tempo devono avere stesse dimensioni. In definitiva tutte le grandezze meccaniche si possono esprimere con una sola grandezza fondamentale e la relativa unità di misura. Questa può essere scelta arbitrariamente, per es. come una lunghezza, o un tempo o un energia. La scelta comune è quella dell energia, con unità il MeV = 10 6 ev = J. Allora: [T] = [ν] 1 = [E] 1. (4.5.24) inoltre [v] = [L] [T] [L] = [T] = [E] 1 (4.5.25) Poichè [E] = [M][v] 2 [M] = [E]. (4.5.26) La matrice che si ottiene in questo caso, passando dalle dimensioni lunghezza [L], massa [M], tempo [T] ad una sola, l energia [E] risulta essere: β = 1 1 (4.5.27) 1 Se infine introduciamo, nel nuovo Sistema la definizione di quantità di moto p = mv (4.5.28) possiamo ricavare: [p] = [E] = [M] (4.5.29) In questo modo la quantità di moto, l energia e la massa vengono ad avere le stesse dimensioni, fatto assai utile in fisica nucleare e subnucleare. 4.8

9 del S.I. Possiamo ricavare il valore delle unità di tempo, lunghezza e massa espresso nelle corrispondenti unità Inoltre avremo {E} {T } = h = {T } = h {E} = Js J = s (4.5.30) {L} = c {T } = m/s s = m = fm (4.5.31) Per l unità di massa si può dire {M} {v} 2 = {E} = {M} = {E} c 2 = J ( ) 2 m 2 /s 2 = kg (4.5.32) In queste unità la massa dell elettrone (M e = kg) risulta M e = MeV = MeV (4.5.33)