Integrazione di funzioni razionali

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1 Esercitazione n Integrazione di funzioni razionali Consideriamo il rapporto P (x) di due polinomi di gradi n e m rispettivamente. Per determinare una primitiva della funzione f(x) P (x) possiamo procedere nel modo seguente. I passo: Se n m dividiamo il polinomio P (x) per il denominatore ottenendo P (x) (x) + R(x) dove R(x) è un polinomio di grado strettamente minore di m. Ci siamo quindi ricondotti a studiare il caso in cui il grado del numeratore sia strettamente minore di quello del denominatore. Possiamo supporre d ora in poi che si abbia n < m. II passo: decomponiamo in fattori irriducibili di primo e secondo grado il polinomio. Si ha c(x a) α (x b) β (x + px + q) µ (x + lx + s) ν dove a,..., b sono numeri reali distinti ed i polinomi x + px + q,..., x + lx + s hanno radici complesse coniugate non reali. III passo: riscriviamo la frazione P (x) (come somma di frazioni più semplici) nella forma P (x) [ c x a + (x a) + + α (x a) + + α x b + + β (x b) + + β + K x + L x + px + q + + K µx + L µ (x + px + q) + + M x + N µ x + lx + s + + M ] νx + N ν (x + lx + s) ν Le incognite i, i, K i, L i, M i, N i si determinano facendo il comune denominatore e confrontando i coefficienti del numeratore ottenuto con quelli di P (x). questo punto per trovare la primitiva cercata basta conoscere le primitive delle funzioni x a, (x a), Kx + L h x + px + q, Kx + L h. (x + px + q) h

2 Esercizio : Calcolare la primitiva della funzione x +x+3 x. Sol.: Dividiamo il numeratore per il denominatore ed otteniamo x + x + 3 x + x + 4 x Il polinomio x si decompone nel prodotto (x + )(x ). Dobbiamo quindi scrivere Facendo il denominatore comune si ha x + + x x + 4 x x + + (x ) + (x + ) x x ( + )x + x da cui confrontando i coefficienti come nel passo III si ricava, 3. Dunque x ( + x + 3 dx + x + 4 ) ( dx + x x x ) dx x x log x log x + C x Esercizio : Calcolare la primitiva della funzione +x+3. (x +)(x ) Sol.: Dobbiamo decomporre la frazione in una somma del tipo Facendo il denominatore comune si ricava x + x + 3 (x + )(x ) x + (x ) + Dx + E x + x + x + 3 (x + )(x ) (x )(x + ) + (x + ) + (Dx + E)(x ) (x ) (x + ) da cui il sistema ( + D)x3 + ( + D + E)x + ( + D E)x + + E (x ) (x + ) + D 0 + D + E + D E + + E 3 ed i valori, 3, D, E. Possiamo quindi procedere con il calcolo della primitiva x + x + 3 (x + )(x ) dx ( x + 3 (x ) + x x + ) dx log x 3 x + log(x + ) arctan x + C

3 Esercizio 3: Calcolare la primitiva della funzione 3x3 9x +9x+ x 3x+. Sol.: Osserviamo come prima cosa che il polinomio al numeratore 3x 3 9x + 9x + ha grado maggiore di quello al denominatore, quindi procediamo con la divisione: 3x 3 9x + 9x + x 3x + 3x + 3x + x 3x + Inoltre il denominatore si decompone nel prodotto (x )(x ). Cerchiamo e tali che Dunque 3x + x 3x + x + x 3x + x 3x + x + x da cui 4, 7. Si ottiene pertanto 3x 3 9x + 9x + dx x 3x + (x ) + (x ) x 3x + ( 3x + 4 x + 7 ) dx x ( + )x x 3x + 3 x 4 log x + 7 log x + C Integrazione per sostituzione: casi particolari nalizziamo ora alcuni tipi particolari di sostituzioni che permettono di ricondurre il calcolo di alcuni integrali all integrazione di funzioni razionali. Funzioni razionali in sin x, cos x: Per quanto riguarda questo tipo di integrali la sostituzione da effettuare è la seguente: x arctan t In tal modo t tan x e dx +t dt. Dalla trigonometria ricaviamo l espressione del seno e del coseno in funzione di t: Si ricava quindi sin x sin x cos x tan x cos x t + t cos x cos x sin x ( tan x ) cos x t + t R(sin x, cos x) dx ( t R + t, ) t + t + t dt che a questo punto si è ridotto all integrale di una funzione razionale di t. 3

4 Integrali di differenziali binomi: Sono integrali di funzioni del tipo x m (a + bx n ) p con a, b numeri reali non nulli e m, n, p numeri razionali tali che sia intero almeno uno tra p e m+. La sostituzione che riconduce la funzione integranda ad una funzione razionale è n nei due casi rispettivamente: x t k con k minimo comune multiplo dei denominatori di m e n. In questo caso la funzione diventa una funzione razionale nella variabile t ed il suo integrale è dunque facile da calcolare. a + bx n t p dove p è il denominatore di p. Con questa sostituzione la funzione da integrare si riconduce ad una funzione razionale, poiché si ha dx p t p nb /n (t p a) dt e dunque l integrale diventa x m (a + bx n ) p dx p nb /n tp +p (t p a) m+ n dt Esercizio 4: Calcolare dx. sin x Sol.: Tramite la sostituzione t tan x si ottiene sin x dx t + t dt +t t dt log t + C ttan x Esercizio 5: Calcolare dx. cos x Sol.: Tramite la sostituzione t tan x si ottiene cos x dx t +t + t dt ( t dt + t + ) dt t log tan x + C log + t log t + C ttan x log + tan x log tan x + C Esercizio 6: Calcolare x( + x) 3 dx. Sol.: Poniamo x t. llora si ha dx tdt e x( t + x) 3 dx ( + t ) 3 t dt t( + t) 3 t dt (t + 6t 3 + 6t 4 + t 5) dt 3 t3 + 3 t t5 + t6 3 + C xt 3 x x + 3 x x x + x3 3 + C 4

5 Esercizio 7: Calcolare x x dx. Sol.: Poniamo + 4 x t 3. llora si ha 4 x 3/4 dx 3t dt e x t dx x (t 3 ) t (t 3 ) 3 dt t 3 (t 3 ) dt (t 6 t 3) dt 7 t7 3t 4 + C + 4 xt 3 ( ( 3 x) x) + C 7 3 ltri esercizi svolti Esercizio 8: Calcolare la primitiva della funzione x3 +3x + (x +). Sol.: Osserviamo anzitutto che il grado del numeratore è strettamente minore di quello del denominatore. Il polinomio x + non ha radici reali. Decomponiamo quindi la frazione: Facendo il denominatore comune si ottiene x 3 + 3x + (x + ) x + x + + Dx + E (x + ) x + x + + Dx + E (x + ) (x + )(x + ) + Dx + E x3 + x + ( + D)x + + E (x + ) (x + ) da cui si ricavano i valori, 3, D, E. Possiamo dunque calcolare la primitiva x 3 + 3x + x + 3 x dx (x + ) x + dx + (x + ) dx log(x + ) + 3 arctan x + x + (x + ) dx log(x + ) + 3 arctan x + ( x + x x + + ) arctan x + C log(x + ) + arctan x + x x + + C Esercizio 9: Calcolare dx. sin x+cos x Sol.: Tramite la sostituzione t tan x sin x + cos x dx si ottiene + t dt t +t + t +t (t + + )(t + ) dt 5 t + t dt

6 Con qualche calcolo si vede che se t + t allora /, /. Quindi t + t t / t + + dt + t + / t + dt (log t + + log t + ) + C ttan x (log tan x + + log tan x + ) + C 6