ESPERIMENTI DI DIFFUSIONE

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1 5/4 PROCESSI D URTO IN TRE DIMENSIONI 0/ ESPERIMENTI DI DIFFUSIONE Modalità deg;i espeimenti Un fascio di paticelle poiettile (il più possibile monocinetico, omogeneo, di densità sufficientemente bassa affinché sia tascuabile l inteazione ta le paticelle) viene fatto incidee su un besaglio Le paticelle poiettile diffuse dal besaglio nelle vaie diezioni vengono contate e il loo numeo confontato con il numeo di paticelle incidenti Se il besaglio è macoscopico, affinché la diezione di diffusione sia agionevolmente ben definita la egione di inteazione deve essee oppotunamente limitata, PROCESSI D URTO IN TRE DIMENSIONI bozza 06/07 limitando le dimensioni del besaglio oppue limitando la sezione del fascio (fascio sottile) e le dimensioni del besaglio nella diezione di incidenza (besaglio sottile) Teminologia Se la diffusione non è accompagnata da cambiamenti dello stato inteno del poiettile o del besaglio, si dice elastica Altimenti si dice anelastica Se il pocesso è accompagnato da un iaangiamento dei componenti del poiettile e del besaglio, esso è detto eazione Consideeemo solo il caso della diffusione elastica e in questo fascicolo suppoemo che il besaglio sia inizialmente femo, che esso sia costituito da una (o eventualmente più d una) paticella di massa infinita (cioè in patica molto maggioe della massa del poiettile), che petanto esso esti femo duante il pocesso, che quindi esso si compoti come un cento diffusoe la cui azione sul poiettile può essee descitta da una foza posizionale deivante da un potenziale

2 5/4 PROCESSI D URTO IN TRE DIMENSIONI 0/ 2 PROCESSI D URTO IN TRE DIMENSIONI bozza 06/07 Sezione d uto I isultati di un espeimento di diffusione come pue le pevisioni teoiche elative a esso sono espessi da una funzione della diezione di diffusione detta sezione d uto diffeenziale dω Sia j in l intensità del fascio incidente, cioè il numeo di paticelle che attavesano nell unità di tempo una supeficie unitaia posta otogonalmente alla diezione del fascio; sia di sc (Ω) il numeo di paticelle diffuse nell unità di tempo ento l angolo solido dω attono alla diezione Ω Il numeo pe unità di tempo di sc (Ω) è popozionale all intensità del fascio incidente e, pe dω sufficientemente piccolo, a dω stesso, cioè () di sc (Ω) = σ(ω) j in dω La sezione d uto diffeenziale è il coefficiente di popozionalità σ(ω); essa ha le dimensioni di una supeficie La quantità dω σ(ω), se è finita, si dice sezione d uto totale Se l inteazione ta poiettile e besaglio è centale l inteo dispositivo ha simmetia cilindica attono all asse passante pe il cento diffusoe e paallelo alla diezione di incidenza e, assunto tale asse come asse polae, σ(ω) = σ(ϑ, ϕ) dipende dal solo ϑ Se il besaglio è costituito da N centi di diffusione e si possono itenee tascuabili le diffusioni multiple si ha evidentemente Σ(Ω) = N σ(ω) dove Σ(Ω) è la sezione d uto elativa all inteo besaglio e σ(ω) è quella elativa a un singolo cento di diffusione

3 5/4 PROCESSI D URTO IN TRE DIMENSIONI 0/ 3 Descizione quantistica del pocesso di diffusione Nella tattazione quantistica del pocesso di diffusione ciascun poiettile del fascio è descitto da un pacchetto d onde che investe il cento diffusoe Suppoemo i pacchetti tutti uguali, a pate la loo divesa posizione a un dato tempo Speimentalmente il fascio è pepaato da un oppotuno dispositivo, che può avee vaia natua Nomalmente il fascio deve essee peliminamente calibato, cioè la sua intensità j in deve essee deteminata pe mezzo di ivelatoi posti sul suo cammino Rimossi i ivelatoi che hanno pemesso la calibazione, si posiziona il besaglio e si fa opeae il dispositivo pepaatoe nelle medesime condizioni Il numeo di paticelle di sc (Ω) diffuse nell unità di tempo ento l angolo solido dω attono alle divese diezioni Ω è misuato da un dispositivo che idealmente può essee assimilato a un guscio di ivelatoi, posti alla distanza R dal besaglio nelle divese diezioni Ω con supeficie fontale R 2 dω otogonale alla diezione Ω di sc (Ω) è la coente di paticelle che attavesa la supeficie R 2 dω otogonale alla diezione Ω La cintua di ivelatoi che ciconda il cento diffusoe deve evidentemente avee un vaco che pemetta al fascio incidente di aggiungee il besaglio Inolte non è significativo mettee ivelatoi nella zona investita dal esiduo del fascio incidente La deteminazione speimentale della sezione d uto non è quindi possibile ento due angoli solidi attono alle diezioni all indieto e in avanti Sia λ = lunghezza d onda media dei pacchetti, d, l = dimensioni tasvesali e longitudinali dei pacchetti, b = dimensioni del potenziale ceato dal cento diffusoe (supposto di ange finito), R 0 = distanza del dispositivo pepaatoe del fascio dal cento diffusoe, R [< R 0 ] = distanza degli appaecchi ivelatoi dal cento diffusoe, D [> d ] = dimensioni tasvesali del fascio Si assume nomalmente che valgano le seguenti condizioni: λ d, l è necessaia affinché il momento lineae dei pacchetti sia ben definito, λr0 d, l assicua che lo spapagliamento dei pacchetti sia tascuabile (vedi nota seguente), b, λ R colloca i ivelatoi in una egione in cui le funzioni d onda stazionaie assumono la foma asintotica, l < R 0 fa sì che i pacchetti incidenti si popaghino libei pima di aggiungee il besaglio, l < R fa sì che l inteazione sia conclusa pima che inizi il pocesso di ivelazione, D R fa sì che i due angoli solidi esclusi possano essee piccoli

4 5/4 PROCESSI D URTO IN TRE DIMENSIONI 0/ 4 Nota Pe un pacchetto di indeteminazione iniziale minima (t) z 2 = (0) z 2 + ħ2 4 (0) z 2 t 2 m 2 Posto (0) z 2 = l 2, la condizione di spapagliamento tascuabile è ħ 2 l 2 t 2 m 2 l2 cioè ħ 2 t 2 m 2 l4 D alta pate e quindi t = R v = R p/m = R 2πħ/λm = λrm 2πħ, λ 2 R 2 l 4 Analogamente pe le dimensioni tasvesali

5 5/4 PROCESSI D URTO IN TRE DIMENSIONI 0/ 5 AUTOFUNZIONI CON PRESCRIZIONE DI ONDE USCENTI Nell ambito delle assunzioni che il pocesso di diffusione sia elastico e che il besaglio abbia massa infinita, il besaglio stesso non ha gadi di libetà e il sistema è costituito dalla sola paticella poiettile L azione del besaglio sulla paticella poiettile può essee descitta da un potenziale fisso V (x), che supponiamo di ange limitato L opeatoe hamiltoniano che descive la paticella poiettile è alloa Ĥ = ˆp2 2m + V (ˆx) = Ĥ0 + V (ˆx) Cechiamo autofunzioni impopie di Ĥ coispondenti all autovaloe E = ħ ω = ħ2 2 che abbiano il compotamento asintotico (2) w (+) (x) ( exp(i x) + f (2π) 3/2 (Ω) 2m ) exp(i ) = w (0) (x) + (2π) f (Ω) 3/2 exp(i ) Notiamo che entambi i temini soddisfano l equazione asintotica (eq (4), fascicolo 5/3): ˆp 2 2m f exp(i ) (Ω) = ˆp 2 2m exp(i x) = ħ2 2 2m exp(i x), ( ) ħ2 2 2m 2 + exp(i ) O(/2 ) f (Ω) = ħ2 2 2m f exp(i ) (Ω) + O(/ 3 ) Le funzioni d onda w (+) (x) sono dette soluzioni con pescizione di onde uscenti dell equazione di Schödinge stazionaia La funzione f (Ω) = f (Ω x ) = f (Ω, Ω x ) è detta ampiezza di diffusione Essa gioca nel pocesso in te dimensioni lo stesso uolo delle due ampiezze iflessa f e tasmessa f nel pocesso in una dimensione Nel caso di potenziale centale V (x) = V () pe ovvi motivi di simmetia è f (Ω) = f ( x) = f (Θ), dove l angolo x = Θ è detto angolo di diffusione

6 5/4 PROCESSI D URTO IN TRE DIMENSIONI 0/ 6 DESCRIZIONE STAZIONARIA DEL PROCESSO DI DIFFUSIONE Diamo dappima la descizione stazionaia del pocesso in te dimensioni Nell espessione nella egione asintotica della funzione d onda stazionaia A (2π) 3/2 w (+) (x) exp( iωt), identifichiamo il pimo temine A exp(i x) exp( iωt) con il fascio incidente idealmente infinito exp(i ) e il secondo temine A f (Ω) exp( iωt) con il flusso idealmente pepetuo di paticelle diffuse dal besaglio Il pimo temine è l unico pesente duante le opeazioni di calibazione e petanto esso da solo detemina l intensità j in del fascio incidente Inolte il fascio incidente è in ealtà limitato tasvesalmente e petanto, posizionato il besaglio, il solo secondo temine descive il flusso delle paticelle che aggiungono il guscio di ivelatoi, avendo già escluso le egioni individuate dai due angoli solidi all indieto e in avanti Petanto i due temini possono e devono essee consideati sepaatamente ai fini del calcolo dell intensità del fascio incidente j in e della coente di paticelle di sc (Ω) che attavesa la supeficie R 2 dω otogonale alla diezione Ω Calcoliamo la densità di coente associata ai due temini Pe il fascio incidente isulta j = iħ 2m (ψ ψ ψ ψ ) j inc = A 2 ħ m Pe il flusso diffuso, tenuto conto che =, ϑ = ϑ, ϕ = sin ϑ ϕ, otteniamo (j sc ) = A 2 ħ m f (Ω) O(/3 ), (j sc ) ϑ = O(/ 3 ), (j sc )ϕ = O(/ 3 ) Petanto j in = j in = ħ A 2 m, di sc (Ω) = j sc x R 2 dω = A 2 ħ =R m f (Ω) 2 dω Dalla definizione () si ottiene quindi la elazione (3) σ(ω) = f (Ω) 2 ta la sezione d uto diffeenziale e l ampiezza di diffusione Nota Nonostante l impossibilità di deteminae speimentalmente le sezioni d uto all indieto e in avanti, la sezione d uto è definita teoicamente a tutti gli angoli

7 5/4 PROCESSI D URTO IN TRE DIMENSIONI 0/ 7 DESCRIZIONE DIPENDENTE DAL TEMPO DEL PROCESSO DI DIFFUSIONE Funzioni d onda dipendenti dal tempo Le funzioni d onda w (+) (x) aventi il compotamento asintotico (2) w (+) (x) ( exp(i x) + f (2π) 3/2 (Ω) ) exp(i ) sono pe definizione autofunzioni dell opeatoe Ĥ coispondenti all enegia E = ħ ω = ħ2 2 2m Petanto (4) ψ(x, t) = d 3 c() w (+) (x) exp( i ω t) è soluzione dell equazione di Schödinge dipendente dal tempo Definite le funzioni d onda ψ in (x, t) = ψ sc (x, t) = d 3 c() exp ( i( x ωt) ), (2π) 3/2 d 3 c() f (2π) 3/2 (Ω) exp ( i( ω t) ) (che non sono soluzioni dell equazione di Schödinge), isulta evidentemente (5) ψ(x, t) ψ in(x, t) + ψ sc (x, t) Posto la funzione d onda ψ(x, t) si scive m dω F x (ω) = ħ c() w (+) (x) pe ω > 0, 0 pe ω < 0, ψ(x, t) = + dω F x (ω) exp( i ω t) Pe il teoema di Riemann Lebesgue sull integale di Fouie si ha quindi ψ(x, t) t ± 0 pe ogni x fisso e quindi pe x in ogni egione fissa e limitata dello spazio Nota Il significato fisico di questo isultato è che una soluzione dell equazione di Schödinge costuita pe sovapposizione di autofunzioni di Ĥ di enegia positiva descive una paticella non legata che si muove nello spazio e finisce inevitabilmente all infinito pe gandi tempi (positivi o negativi)

8 5/4 PROCESSI D URTO IN TRE DIMENSIONI 0/ 8 Il isultato appena ottenuto pemette di calcolae il limite di ψ(x, t) pe t ± facendo uso del suo compotamento asintotico (5) pe, e quindi di scivee ψ(x, t) t ± Poiché d alta pate, pe ogni valoe degli angoli Ω di x, ψ sc (x, t) = (2π) 3/2 0 ψ in(x, t) + ψ sc (x, t) d exp ( i( ω t) ) [ ] 2 dω c() f (Ω), è un pacchetto pogessivo che spaisce dalla semietta 0 pe t, isulta (6) ψ(x, t) t ψ in(x, t) ψ in (x, t) appesenta quindi il pacchetto incidente, libeo finché non aggiunge la egione dell inteazione Pe t + si ha invece (7) ψ(x, t) t + ψ in(x, t) + ψ sc (x, t), dove ψ sc (x, t) appesenta il guscio d onde libeo uscito dalla egione dell inteazione e ψ in (x, t) appesenta il pacchetto tasmesso, evoluto libeo del pacchetto incidente pe costuzione La funzione d onda nella diezione in avanti è ψ in (x, t) + ψ sc (x, t) e nelle alte diezioni è semplicemente ψ sc (x, t) Il isultato (6), assieme alla definizione di ψ in (x, t), mosta che la funzione c() dà la composizione iniziale (cioè pe t ) della funzione d onda ψ(x, t) nel momento lineae idotto in unità di lunghezza invese La stessa funzione, a pate la divesa nomalizzazione, dà la composizione iniziale c(p) di ψ(x, t) nel momento lineae p, cioè c(p) = c() 3/2 ħ

9 5/4 PROCESSI D URTO IN TRE DIMENSIONI 0/ 9 Otonomalità e completezza delle funzioni d onda w (+) (x) Il isultato (6) pemette di ottenee in modo molto semplice la elazione di otonomalità delle funzioni d onda w (+) (x) Sia ψ (x, t) = d 3 c () w (+) (x) exp( i ω t) un alta soluzione dell equazione di Schödinge dipendente dal tempo Il podotto scalae ta le due soluzioni è ψ (t) ψ(t) = = d 3 d 3 d 3 c ( ) c() exp(i ω t) exp( i ω t) w (+) w (+) d 3 c ( ) c() w (+) w (+) D alta pate, poiché l evoluzione tempoale conseva i podotti scalai, ψ (t) ψ(t) = ψ in(t) ψ in (t) = = d 3 d 3 d 3 c ( ) c() exp(i ω t) exp( i ω t) w (0) w (0) d 3 c ( ) c() w (0) w (0) Pe l abitaietà dei coefficienti c(), c () il confonto delle due espessioni dà (6) w (+) w (+) = w(0) w (0) = δ(3) ( ) Assumiamo che le funzioni d onda w (+) (x) siano un sistema completo nel sottospazio H pos geneato dalle autofunzioni di Ĥ a enegia positiva

10 5/4 PROCESSI D URTO IN TRE DIMENSIONI 0/ 0 Sezione d uto Un fascio composto di un gande numeo di pacchetti d onda incide sul besaglio Il fascio è sostanzialmente monocinetico nel senso che la distibuzione in momento lineae è la stessa pe tutti i pacchetti e pesenta un fote picco attono a un valoe = n z A un tempo t 0 pecedente l inizio del pocesso d uto il fascio occupa un volume V di dimensioni longitudinali e tasvesali (ispetto alla diezione di n z ) 2l L e 2 l T con cento nella posizione x 0 = (0, 0, z 0 ) PROCESSI D URTO IN TRE DIMENSIONI bozza 06/07 l T 0 l T l L l L z 0 Il fascio è sostanzialmente omogeneo nel senso che la distibuzione della posizione dei pacchetti al tempo t 0 ento il volume V può essee descitta da una densità unifome ϱ (sufficientemente bassa) L intensità del fascio incidente è data da j in = ϱ ħ m Nota I puntini che compaiono nella figua appesentano al tempo t 0 la posizione media di ciascun pacchetto, non l inteo pacchetto, cioè non si fa qui alcuna assunzione sulle dimensioni spaziali dei pacchetti, salvo quelle implicite nelle pecedenti assunzioni che il momento lineae sia abbastanza ben definito e che sia tascuabile l inteazione ta i pacchetti

11 5/4 PROCESSI D URTO IN TRE DIMENSIONI 0/ Descizione di un pacchetto del fascio Al tempo t 0 pecedente l uto sia ψ in (x, t 0 ) = A d c() exp ( i( x ωt 0 ) ), A = (2π) 3/2, d c() 2 =, un pacchetto di momento centato nella posizione centale x 0 del fascio, cioè tale che ψ in (t 0 ) ˆ ψ in (t 0 ) =, ψ in (t 0 ) ˆx ψ in (t 0 ) = x 0 Consideiamo il pacchetto ψin(x, x t 0 ) = A d exp( i x) c() exp ( i( x ωt 0 ) ) = A d c() exp ( i( (x x) ωt 0 ) ) = ψ in (x x, t 0 ) Poiché exp( i x) c() 2 = c() 2, il pacchetto ψin x (x, t 0) ha la stessa composizione in momento del pacchetto ψ in (x, t 0 ) ed è centato in ψin(t x 0 ) ˆx ψ in(t x 0 ) = x 0 + x, cioè x appesenta la sua posizione ispetto alla posizione centale del fascio

12 5/4 PROCESSI D URTO IN TRE DIMENSIONI 0/ 2 Flusso diffuso e sezione d uto Pe il pacchetto ψ x (x, t) l onda diffusa è ψsc(x, x t) = A d c() f (Ω) exp ( i( ω t) ) exp( i x) Se la diezione individuata dagli angoli Ω è sufficientemente distinta dalla diezione individuata da 0, la coente entante al tempo t nell elemento di supeficie R 2 dω attono a Ω può essee calcolato dalla funzione d onda ψ x sc(x, t) e, all odine più basso in /R, isulta di x sc(ω) = R 2 dω iħ [ (ψ x 2m sc (x, t) ) ψsc(x, t)] x + cc =R = dω ħ [ 2m A2 d d c ( ) c() f (Ω) f (Ω) exp ( i( )R i(ω ω)t ) exp ( i( ) x ) ] + cc La coente di sc (Ω) entante in R 2 dω dovuta all inteo fascio si ottiene integando ϱ di x sc(ω) in d x sul volume del fascio al tempo t 0 In tale integale inteviene a sua volta l integale d x exp ( i( ) x ) = A δ 2 ll ( z z) δ lt ( x x) δ lt ( y y) V dove δ l () = π sin l Pe l L sufficientemente gande affinché il pocesso possa essee consideato stazionaio e l T sufficientemente gande affinché il besaglio sia inteamente investito dal fascio, le funzioni δ l possono essee sostituite da funzioni δ di Diac e il secondo membo diventa (/A 2 )δ (3) ( ), con il isultato indipendente da t di sc (Ω) = ϱ d x di x sc(ω) = dω ħ [ ] 2m ϱ d c() 2 f (Ω) 2 + cc = dω ħm ϱ d c() 2 f (Ω) 2 e, se c() 2 pesenta un picco sufficientemente macato attono a, da cui di sc (Ω) = dω ħ m ϱ f 0 (Ω) 2 = j in f (Ω) 2 dω, σ(ω) = f (Ω) 2