Dipartimento di Statistica Università di Bologna. Matematica Finanziaria aa lezione 22: 30 maggio 2013

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1 Dpartmento d Statstca Unverstà d Bologna Matematca Fnanzara aa lezone 22: 30 maggo 2013 professor Danele Rtell 1/27?

2 Eserczo Dmostrare che l equazone della frontera effcente d un portafoglo d tre ttol a 1, a 2, a 3 con valor attes rspettvamente 1, 1/2 e 2, la cu matrce d covaranza è C = ( ) 1 24 (23µ2 22µ + 23), µ è (σ µ, µ) = /27?

3 Eserczo Dmostrare che l equazone della frontera effcente d un portafoglo d tre ttol a 1, a 2, a 3 con valor attes rspettvamente 1, 1/2 e 2, la cu matrce d covaranza è C = ( ) 1 24 (23µ2 22µ + 23), µ è (σ µ, µ) = L(x, y, z; m, n) = x 2 + 3xy 2 + 3xz + 2y2 + 2yz + 3z 2 m(x + y + z 1) n (x + y ) 2 + 2z µ 2/27?

4 2x + 3y 2 + 3z = m + n 3x 2 + 4y + 2z = m + n 2 3x + 2y + 6z = m + 2n x + y + z = 1 x + y 2 + 2z = µ 3/27?

5 2x + 3y 2 + 3z = m + n 3x 2 + 4y + 2z = m + n 2 3x + 2y + 6z = m + 2n x + y + z = 1 x + y 2 + 2z = µ 4x + 3y + 6z = 2m + 2n 3x + 8y + 4z = 2m + n 3x + 2y + 6z = m + 2n x + y + z = 1 2x + y + 4z = 2µ 3/27?

6 x = 16m + n 17 y = m n 17 11(n m) z = 34 x + y + z = 1 2x + y + 4z = 2µ 4/27?

7 x = 16m + n 17 y = m n 17 11(n m) z = 34 x + y + z = 1 2x + y + 4z = 2µ = x = 16m + n 17 y = m n 17 11(n m) z = 34 16m + n 17 16m + n n m m n 34 = (n m) 17 = µ 4/27?

8 x = 16m + n 17 y = m n 17 11(n m) z = 34 23m + 11n = 34 11m + 23n = 34µ 5/27?

9 x = 16m + n 17 y = m n 17 11(n m) z = 34 23m + 11n = 34 11m + 23n = 34µ = x = 7 3µ 4 y = µ (µ 1) z = 12 5/27?

10 x = 16m + n 17 y = m n x = 7 3µ (n m) = y = µ 1 z = m + 11n = 34 11(µ 1) z = 12 11m + 23n = 34µ σµ 2 = 1 16 (7 3µ)2 + 3 ( µ ) (7 3µ) + 3 ( 11µ ) (7 3µ) 12 ( µ ) 2 ( 11µ ) 2 ( µ ) ( 11µ ) 12 5/27?

11 Un punto (x, y) del pano σµ s dce raggungble se x = σ e y = µ per qualche portafoglo. Tutt punt ottenbl s trovano a destra d qualche punto della frontera effcente (naturalmente mettendo sempre l rscho n ascsse ed l rendmento n ordnate 6/27?

12 Un punto (x, y) del pano σµ s dce raggungble se x = σ e y = µ per qualche portafoglo. Tutt punt ottenbl s trovano a destra d qualche punto della frontera effcente (naturalmente mettendo sempre l rscho n ascsse ed l rendmento n ordnate Defnzone Sano 1 = (σ 1, µ 1 ), 2 = (σ 2, µ 2 ) due punt raggungbl. Dcamo che 1 domna 2 se σ 1 σ 2 e µ 1 µ 2 6/27?

13 Un punto (x, y) del pano σµ s dce raggungble se x = σ e y = µ per qualche portafoglo. Tutt punt ottenbl s trovano a destra d qualche punto della frontera effcente (naturalmente mettendo sempre l rscho n ascsse ed l rendmento n ordnate Defnzone Sano 1 = (σ 1, µ 1 ), 2 = (σ 2, µ 2 ) due punt raggungbl. Dcamo che 1 domna 2 se σ 1 σ 2 e µ 1 µ 2 Notare che 1 ha mnor rscho e maggor rendmento d 2 6/27?

14 Teorema Ogn punto raggungble è domnato da un punto raggungble che s trova sulla frontera effcente d Markowtz. ertanto ogn nvesttore che cerca d mnmzzare l rscho per ogn rendmento atteso deve collocare l suo portafoglo sulla frontera effcente. 7/27?

15 Eserczo In un ammortamento talano erogato al tasso = 0, 075 la scadenza meda fnanzara è T = 12, Quante sono le rate? 8/27?

16 Eserczo In un ammortamento talano erogato al tasso = 0, 075 la scadenza meda fnanzara è T = 12, Quante sono le rate? T = ln ( 1 + n+1 2 ) ln(1 + ) 8/27?

17 Eserczo In un ammortamento talano erogato al tasso = 0, 075 la scadenza meda fnanzara è T = 12, Quante sono le rate? Rsolvendo T = ln ( 1 + n+1 2 ) ln(1 + ) n = 2(1 + )T 2 8/27?

18 Eserczo In un ammortamento talano erogato al tasso = 0, 075 la scadenza meda fnanzara è T = 12, Quante sono le rate? Rsolvendo T = ln ( 1 + n+1 2 ) ln(1 + ) n = 2(1 + )T 2 Sosttuendo T = 12, e = 0, 075 s trova n = 37 8/27?

19 Eserczo sono rmborsat con 40 rate, le prme 20 d mporto 299,55 e le ultme 20 d mporto 240,93. Sapendo che la scadenza meda fnanzara è T = 19, calcolare l tasso del prestto. 9/27?

20 Eserczo sono rmborsat con 40 rate, le prme 20 d mporto 299,55 e le ultme 20 d mporto 240,93. Sapendo che la scadenza meda fnanzara è T = 19, calcolare l tasso del prestto. Se γ è l ndce d onerostà la scadenza meda fnanzara è data dalla relazone T = ln(1 + γ) ln(1 + ) 9/27?

21 Eserczo sono rmborsat con 40 rate, le prme 20 d mporto 299,55 e le ultme 20 d mporto 240,93. Sapendo che la scadenza meda fnanzara è T = 19, calcolare l tasso del prestto. Se γ è l ndce d onerostà la scadenza meda fnanzara è data dalla relazone γ s calcola con la formula T = ln(1 + γ) ln(1 + ) γ = n =1 α A A 9/27?

22 allora γ = , , = 0, /27?

23 allora γ = o abbamo , , T = ln(1 + γ) ln(1 + ) = = (1 + γ)1/t 1 = 0, /27?

24 allora γ = o abbamo , , T = ln(1 + γ) ln(1 + ) = = (1 + γ)1/t 1 Usando γ = 0, e T = 19, ottenamo = 0, = 0, /27?

25 Eserczo sono rmborsat con ammortamento amercano n 50 rate. Sapendo che l tasso debtore è = 0, 005 e che l tasso costtutvo è j = 0, 006 trovare l tasso nterno d rendmento dell operazone 11/27?

26 Eserczo sono rmborsat con ammortamento amercano n 50 rate. Sapendo che l tasso debtore è = 0, 005 e che l tasso costtutvo è j = 0, 006 trovare l tasso nterno d rendmento dell operazone La rata amercana vene dalla formula ( α A = A + 1 ) s n j 11/27?

27 Eserczo sono rmborsat con ammortamento amercano n 50 rate. Sapendo che l tasso debtore è = 0, 005 e che l tasso costtutvo è j = 0, 006 trovare l tasso nterno d rendmento dell operazone La rata amercana vene dalla formula ( α A = A + 1 ) s n j Con dat del problema ottenamo α A = 222, /27?

28 er trovare l tasso effettvo bsogna rsolvere rspetto ad l equazone A = α a n usando l metodo d Newton, che n questo caso porta alla funzone d terazone A nv n+1 α F (v) = A + α nαv n αv n 12/27?

29 er trovare l tasso effettvo bsogna rsolvere rspetto ad l equazone A = α a n usando l metodo d Newton, che n questo caso porta alla funzone d terazone A nv n+1 α F (v) = A + α nαv n αv n reparatv: = 0, 005 = v = 0, /27?

30 F (v) = , 7v , , 7v 50 13/27?

31 F (v) = , 7v , , 7v 50 F (v 0 ) = F ( ) = 0, = v 1 13/27?

32 F (v) = , 7v , , 7v 50 F (v 0 ) = F ( ) = 0, = v 1 F (v 1 ) = F (0, ) = 0, = v 2 13/27?

33 F (v) = , 7v , , 7v 50 F (v 0 ) = F ( ) = 0, = v 1 F (v 1 ) = F (0, ) = 0, = v 2 F (v 2 ) = F (0, ) = 0, = v 3 13/27?

34 Eserczo Un prestto d vene rmborsato con 80 rate mensl n progressone artmetca d ragone 2 al tasso 12 = 0, Determnare la scadenza meda artmetca e la scadenza meda fnanzara al tasso 12 delle rate 14/27?

35 Eserczo Un prestto d vene rmborsato con 80 rate mensl n progressone artmetca d ragone 2 al tasso 12 = 0, Determnare la scadenza meda artmetca e la scadenza meda fnanzara al tasso 12 delle rate La scadenza meda artmetca n questo caso vale con T = (n + 1) (3α 1 + 2(n 1)ρ) 6α 1 + 3(n 1)ρ α 1 = A α n ρ (1 + n) a n n a n Qund essendo ρ = 2 trovamo α 1 = 614, 021, T = 42, ann 6 mes 2 gorn. 14/27?

36 La scadenza meda fnanzara n questo caso vale T = ln[n(α 1 + α n )] ln(2a) ln(1 + ) = ln[n(2α 1 + (n 1)ρ)] ln(2a) ln(1 + ) Essendo ρ = 2 concludamo che T = 41, ann 5 mes 11 gorn 15/27?

37 Eserczo Determnare l rendmento effettvo d un BT trennale con cedole al 5,2% acqustato a 100,35 e venduto a 99,95. 16/27?

38 Eserczo Determnare l rendmento effettvo d un BT trennale con cedole al 5,2% acqustato a 100,35 e venduto a 99,95. Il ttolo ha tre cedole annue, qund applco la relazone f(v) = (c + c r )v 3 + c(v 2 + v) c a = 0 16/27?

39 Eserczo Determnare l rendmento effettvo d un BT trennale con cedole al 5,2% acqustato a 100,35 e venduto a 99,95. Il ttolo ha tre cedole annue, qund applco la relazone La funzone d terazone è f(v) = (c + c r )v 3 + c(v 2 + v) c a = 0 F (v) = v f(v) f (v) = 2(c + c r)v 3 + cv 2 + c a 3(c + c r )v 2 + 2cv + c ove c = 5, 2, c a = 100, 35, c r = 99, 95qund F (v) = 210, 3v3 + 5, 2v , , 45v , 4v + 5, 2 16/27?

40 arto da un tasso nferore come l 5,05% equvalente a v 0 = 0, v 1 = F (v 0 ) = 0, /27?

41 arto da un tasso nferore come l 5,05% equvalente a v 0 = 0, v 1 = F (v 0 ) = 0, v 2 = F (v 1 ) = 0, /27?

42 arto da un tasso nferore come l 5,05% equvalente a v 0 = 0, v 1 = F (v 0 ) = 0, v 2 = F (v 1 ) = 0, = 1 1 = 0, v 1 17/27?

43 Eserczo Un prestto d è rmborsato con 48 rate mensl al tasso = 0, 055. Dopo l pagamento della 30ma rata l tasso dventa u = 0, 065. Quale è l tasso effettvo? 18/27?

44 Eserczo Un prestto d è rmborsato con 48 rate mensl al tasso = 0, 055. Dopo l pagamento della 30ma rata l tasso dventa u = 0, 065. Quale è l tasso effettvo? È un rmborso a due rate. La rata nzale è α = 12500α 48 (1,055) 1/12 1 = 289, 943. La rata successva provene dalla varazone del tasso: β = αa 18 (1,055) 1/12 1 α 18 (1,065) 1/12 1 = 292, /27?

45 Eserczo Un prestto d è rmborsato con 48 rate mensl al tasso = 0, 055. Dopo l pagamento della 30ma rata l tasso dventa u = 0, 065. Quale è l tasso effettvo? È un rmborso a due rate. La rata nzale è α = 12500α 48 (1,055) 1/12 1 = 289, 943. La rata successva provene dalla varazone del tasso: β = αa 18 (1,055) 1/12 1 α 18 (1,065) 1/12 1 = 292, 087 F (v) = nβv n+1 + m(α β)v m+1 A (n + 1)βv n + (m + 1)(α β)v m (α + A) 18/27?

46 A = 12500, n = 48, m = 30, α = 289, 943, β = 292, /27?

47 A = 12500, n = 48, m = 30, α = 289, 943, β = 292, 087 F (v) = 14020, 176v 49 64, 32v , 263v 48 66, 464v , /27?

48 A = 12500, n = 48, m = 30, α = 289, 943, β = 292, 087 F (v) = 14020, 176v 49 64, 32v , 263v 48 66, 464v , 943 rendamo come tasso nzale la meda pesata de due tass 30 0, , = 0, = v 0 = 0, /27?

49 A = 12500, n = 48, m = 30, α = 289, 943, β = 292, 087 F (v) = 14020, 176v 49 64, 32v , 263v 48 66, 464v , 943 rendamo come tasso nzale la meda pesata de due tass 30 0, , = 0, = v 0 = 0, v 1 = F (v 0 ) = 0, /27?

50 A = 12500, n = 48, m = 30, α = 289, 943, β = 292, 087 F (v) = 14020, 176v 49 64, 32v , 263v 48 66, 464v , 943 rendamo come tasso nzale la meda pesata de due tass 30 0, , = 0, = v 0 = 0, v 1 = F (v 0 ) = 0, v 2 = F (v 1 ) = 0, /27?

51 A = 12500, n = 48, m = 30, α = 289, 943, β = 292, 087 F (v) = 14020, 176v 49 64, 32v , 263v 48 66, 464v , 943 rendamo come tasso nzale la meda pesata de due tass 30 0, , = 0, = v 0 = 0, v 1 = F (v 0 ) = 0, v 2 = F (v 1 ) = 0, v 3 = F (v 2 ) = 0, /27?

52 A = 12500, n = 48, m = 30, α = 289, 943, β = 292, 087 F (v) = 14020, 176v 49 64, 32v , 263v 48 66, 464v , 943 rendamo come tasso nzale la meda pesata de due tass 30 0, , = 0, = 0, = v 0 = 0, v 1 = F (v 0 ) = 0, v 2 = F (v 1 ) = 0, v 3 = F (v 2 ) = 0, /27?

53 A = 12500, n = 48, m = 30, α = 289, 943, β = 292, 087 F (v) = 14020, 176v 49 64, 32v , 263v 48 66, 464v , 943 rendamo come tasso nzale la meda pesata de due tass 30 0, , = 0, = 0, = 0, = v 0 = 0, v 1 = F (v 0 ) = 0, v 2 = F (v 1 ) = 0, v 3 = F (v 2 ) = 0, /27?

54 Eserczo Un prestto d vene rmborsato con dec rate annue costant al 5,9039%. Contestualmente al pagamento della seconda rata l debtore chede d estnguere l fnanzamento, ma questo rchede spese bancare per 92,15. Quale è l tasso effettvo dell operazone? 20/27?

55 Eserczo Un prestto d vene rmborsato con dec rate annue costant al 5,9039%. Contestualmente al pagamento della seconda rata l debtore chede d estnguere l fnanzamento, ma questo rchede spese bancare per 92,15. Quale è l tasso effettvo dell operazone? S deve rsolvere l equazone d secondo grado A = αv + (α + δ 2 + s) v 2 n cu α è la rata d ammortamento, δ 2 l debto resduo dopo due pagament e s sono le spese bancare. 20/27?

56 v = 4A(s + α + δ2 ) + α 2 α 2(s + α + δ 2 ) 21/27?

57 4A(s + α + δ2 ) + α v = 2 α 2(s + α + δ 2 ) = 5, 90390% = α = , δ 2 = , 85 = v = 0, = = 0, /27?

58 Eserczo Dato un portafoglo d tre ttol a 1, a 2, a 3 con matrce d covaranza è 1 1 1/2 C = /2 1 3 determnare l equazone della frontera effcente se valor attes d a 1, a 2, a 3 sono rspettvamente 2, 1 e 3. 22/27?

59 Eserczo Dato un portafoglo d tre ttol a 1, a 2, a 3 con matrce d covaranza è 1 1 1/2 C = /2 1 3 determnare l equazone della frontera effcente se valor attes d a 1, a 2, a 3 sono rspettvamente 2, 1 e 3. x = 2 9 (2µ 1), y = 1 18 (29 13µ), z = 1 18 ( ) 1 11µ2 74µ + 131, µ 6 (5µ 7) ; assaggo ntermedo: x = 1 2 (7m + 25n), y = 1 4 ( 9m 35n), z = 1 (3m + 11n) 2 22/27?

60 Eserczo Dato un portafoglo d tre ttol a 1, a 2, a 3 con matrce d covaranza C = determnare l equazone della frontera effcente se valor attes d a 1, a 2, a 3 sono rspettvamente 1, 2 e 2. 23/27?

61 Eserczo Dmostrare che l equazone della frontera effcente d un portafoglo d tre ttol a 1, a 2, a 3 con valor attes rspettvamente 2, e 3, la cu matrce d covaranza è C = ( ) 1 è (σ µ, µ) = 20 (15µ2 50µ + 59), µ 24/27?

62 Eserczo Dmostrare che l equazone della frontera effcente d un portafoglo d tre ttol a 1, a 2, a 3 con valor attes rspettvamente 2, e 3, la cu matrce d covaranza è C = ( ) 1 è (σ µ, µ) = 3 (2µ2 8µ + 11), µ 25/27?

63 Eserczo Dmostrare che l equazone della frontera effcente d un portafoglo d tre ttol a 1, a 2, a 3 con valor attes rspettvamente 1, /2 e 2, la cu matrce d covaranza è C = ( ) 1 è (σ µ, µ) = 176 (7µ2 14µ + 183), µ 26/27?

64 Eserczo Dmostrare che l equazone della frontera effcente d un portafoglo d tre ttol a 1, a 2, a 3 con valor attes rspettvamente 2, 1 e 3, la cu matrce d covaranza è C = è (σ µ, µ) = ( ) 1 96 (15µ2 90µ + 167), µ /27?