L algebra lineare nello studio delle coniche

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1 L algebra lineare nello studio delle coniche È possibile utilizzare le tecniche dell algebra lineare per studiare e classificare le coniche. Data l equazione generale di una conica, si considera la sua forma matriciale, ovvero si considerano due matrici quadrate simmetriche, denotate con A e A 33, ottenute a partire dai coefficienti della curva. Attraverso l uso di autovalori, autovettori, rango delle matrici e determinante è, poi, possibile dedurre proprietà geometriche. Sia Γ una conica di equazione f(x, y) = 0. Poiché f è un polinomio generico di secondo grado si può scrivere: Γ = f(x, y) = a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 13 x + 2a 23 y + a 33 Associamo ad f due matrici simmetriche: B = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 12 a 13 a 12 a 22 a 23 a 13 a 23 a 33 ; A = ( a11 a 12 a 12 a 22 ) B è detta matrice associata alla conica, A matrice dei termini di secondo grado della conica f. Cambiamenti di coordinate nel piano consentono di trasformare l equazione di secondo grado f(x, y) = 0, in una equazione più semplice, cioè in forma canonica. Una equazione di secondo grado rappresenta una conica non degenere in forma canonica se è del tipo (per le coniche a centro): con α e β autovalori di A e γ = αx 2 + βy 2 = γ detb deta oppure (per le parabole) βy 2 = 2γx o αx 2 = 2γy con α = 0, β autovalore di A e γ 2 detb = nel primo caso e con β = 0, α β autovalore di A e γ 2 detb = nel secondo caso. α

2 Studio delle coniche a centro Centro di simmetria e assi di simmetria Il centro di simmetria di una conica a centro si ottiene risolvendo il sistema lineare omogeneo: C = { a11 x + a 12 y + a 13 = 0 a 12 x + a 22 y + a 23 = 0 Gli assi sono delle rette che passano per il centro di simmetria. Si possono distinguere due casi: a 12 = 0, in questo caso gli assi sono paralleli agli assi coordinati; a 12 0, in questo caso gli assi sono paralleli alle rette di equazione r 1 : (a 11 α)x + a 12 y = 0 r 2 : (a 11 β)x + a 12 y = 0 (Ellisse - Iperbole) con α e β autovalori di A 33. Per ottenere gli assi si considerano due rette parallele a r 1, r 2 rispettivamente e si impone il passaggio per il centro C. Asintoti dell iperbole Sia Γ = f(x, y) = 0 una iperbole e sia C il suo centro. Sia g(x, y) = 0 l equazione formata dai coefficienti di secondo grado della conica Γ. L equazione g(x, y) = 0 individua una conica spezzata in due rette distinte s 1, s 2. Gli asintoti di Γ sono delle rette parallele a s 1 e s 2 e passanti per il centro C.

3 Studio della parabola Come trovare l asse e il vertice di una parabola Metodo pratico per trovare asse, tangente nel vertice e vertice della parabola Γ: l asse è parallelo alla retta a 11 x + a 12 y = 0 la tangente è ortogonale alla retta a 11 x + a 12 y = 0 cioè è una retta del tipo a 12 x a 11 y + t = 0 t si ottiene imponendo la condizione di tangenza ovvero = 0 risolvendo il sistema tra la tangente e la conica. il vertice V si ottiene intersecando la tangente con la curva Γ imponendo il passaggio dell asse di simmetria a 11 x + a 12 y + h = 0 per il vertice V si trova il parametro h

4 Esercizi Esercizio 1: Date le seguenti coniche non degeneri: 1. 9x 2 + 4xy + 6y 2 10 = 0 2. x 2 + 6xy + y 2 + 2x + y = x 2 6xy + 5y x + 38 = x 2 7y y + 7 = 0 5. x 2 + 4xy + 4y 2 6x + 1 = 0 Per ognuna di esse stabilire le matrici associate alla conica di quale conica si tratta se si tratta di una conica a centro, determinare centro e assi di simmetria determinare una forma canonica Esercizio 2: Date le seguenti coniche degeneri: 1. x 2 + 2xy + y 2 + 3x + 3y = 0 2. x 2 + 9y 2 6xy + 2x 6y + 1 = 0 3. x 2 + xy 2y 2 + 3y 1 = 0 4. x 2 + 4y 2 = 0 Determinare le equazioni delle rette che la formano e l eventuale centro di simmetria. Esercizio 3: Sia Γ la conica di equazione: f(x, y) = 2xy x 3y = k 16

5 Stabilire per quali valori di k la conica è degenere. Posto k = 0, stabilire di quale tipo di conica si tratti. Trovare gli assi (o l asse) di simmetria di Γ per k = 0. Esercizio 4: Sia k un parametro reale. Si consideri la famiglia di coniche Γ k di equazione: f(x, y) = 2kx 2 + 2(k 2)xy 4y 2 + 2x = 1. Esistono coniche degeneri nella famiglia? Si classifichi la conica Γ k al variare di k. Si determinino le coordinate dei centri delle coniche (quando esistono). Esercizio 5: Sia Γ la conica di equazione f(x, y) = 3x xy 5y 2 10x + 14y = 0 Stabilire il tipo di conica. Nel caso sia una conica a centro, trovare le coordinate del centro. Trovare equazioni degli eventuali asintoti della conica. Esercizio 6: Data la parabola di equazione x 2 + 4xy + 4y 2 6x + 1 = 0, determinarne il vertice e l asse di simmetria. Esercizio 7: Provare che la conica 4x 2 4xy +y 2 +6x+2y 3 = 0 è una parabola, trovare il vertice ed una forma canonica. 17

6 Esercizio 1: Soluzioni: 1. Ellisse, C(0, 0), x 2y = 0, 2x + y = 0, x y2 1 = Iperbole, C( 1, 5 ), 4x 4y 1 = 0, 8x+8y+3 = 0, x2 +4y = 3. Ellisse, C( 5 2, 3 2 2), x+y+4 2 = 0, x y+ 2 = 0, 4x 2 +y 2 1 = Iperbole, C(0, 24 7 ), y = 24 7, x = 0, 25x2 7y = 0 5. Parabola, x 2 = y Esercizio 2: 1. rette parallele, x + y = 0, x + y + 3 = 0 2. rette coincidenti, x 3y + 1 = 0 3. rette reali distinte, x y + 1 = 0, x + 2y 1 = 0, C = ( 1 3, 2 3 ) 4. rette complesse coniugate, x ± 2iy = 0 Esercizio 3: k = 3 2 iperbole x y = 1, x + y = 2 Esercizio 4: non esistono coniche degeneri se k = 2 è una parabola, se k 2 è una iperbole per k 2, C = ( 4 (k+2) 2, k 2 (k+2) 2 ) Esercizio 5: iperbole C = ( 3 8, 7 8 ) x + 5y 4 = 0, 3x y + 2 = 0 Esercizio 6: asse: 5x + 10y = 3, V = ( 17 Esercizio 7: V = (0, 1), y = 2 5 x, 14)