Esercitazioni di Matematica Generale A.A. 2016/2017 Pietro Pastore Lezione del 4 Novembre Trinomi di secondo grado

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1 Esercitazioni di Matematica Generale AA 016/017 Pietro Pastore Lezione del 4 Novembre 016 Trinomi di secondo grado Possiamo usare le soluzioni dell equazione di secondo grado per scomporre il trinomio ax bx + c nel prodotto di due binomi di primo grado così costruito a(x x 1 )(x x ) Esempio: scomporre il trinomio x 7x + 1 Determiniamo le soluzioni dell equazione associata al trinomio x 7x + 1 = 0 soluzioni reali e distinte uguali a = ( 7) 4(1)(1) = = 1 x 1/ = ( 7) ± 1 = 7 ± 1 x 1 = 4 x = 3 Perciò la scomposizione sarà (x 4)(x 3) Osserviamo che se l equazione non ha soluzioni il trinomio non é scomponibile Possiamo utilizzare tale regola nelle equazioni fratte Risolviamo ad esempio la seguente equazione: x + x 3 + x x 1 = x x 4x + 3 Scomponiamo il denominatore dell ultima frazione utilizzando la regola appena descritta Risolviamo l equazione associata x 4x + 3 = 0 = ( 4) 4(1)(3) = 16 1 = 4 x 1/ = ( 4) ± 4 = 4 ± x 1 = 3 x = 1, 1

2 perciò la scomposizione sarà (x 3)(x 1) Riscrivendo l equazione si ha troviamo le condizioni di esistenza x 1 0 x 3 0 x + x 3 + x x 1 = x (x 3)(x 1), x 1 x 3 e poi determiniamo il minimo comune denominatore e continuando (x 1)(x + ) + (x )(x 3) (x 3)(x 1) = (x 3)(x 1) x (x 3)(x 1) (x 1)(x + ) + (x )(x 3) = (x 3)(x 1) x x + x x + x 3x x + 6 = (x 4x + 3) x x 4x + 4 = x 8x + 6 x x x + x 4x + 8x = 0 x + 4x = 0 = (4) 4(1)( ) = = 4 = 3 3 x 1/ = 4 ± 3 3 = 4 ± 6 = ( ± 6) = ± 6 Le soluzioni trovate sono accettabili perché verificano le condizioni di esistenza Ulteriori esercizi consigliati: 1 Scomporre i seguenti trinomi di secondo grado: (a) x + 5x + 6 (b) x 5x + 3 (c) x 7x 18 Risolvere le seguenti equazioni (a) 5 x + 5x + 6 x 4 = 3 x 9 (b) x 11 x 4x + 5 = x + 1 x 5

3 Disequazioni di primo grado Risolvere le seguenti disequazioni 1 3 x 5 4 x x 5 4 x x 60 75x x 75x 8 35x 8 35x 8 x 8 35 x 4 5 ( x 3) 4 ( x x + 5 ) + x ( 3 3 x 4 ) + x 8 3 ( x 4 ( x x + 3) 5 ) + x ( 3 3 x 4 ) + x 8 3 ( ) ( ) 3x 4 3x + 5 x + x ( ) 3x x 8 3 9x x 3x + 5x + x 9 3 3x 4 + x 8 (9x x) 6(3x + 5x) + 9x 54x 7 + 9(x 8) x x 18x 30x + 9x 54x 7 + 9x 7 69x x x x 176 x x 4 3 Disequazioni di secondo grado Le disequazioni di secondo grado verranno risolte graficamente utilizzando il fatto che l equazione y = ax + bx + c rappresenta una parabola nel piano 3

4 cartesiano Consideriamo la seguente disequazione: x 5x + 4 > 0 Visto che a = 1 e quindi positivo, qualitativamente possiamo trovarci di fronte a una di queste situazioni: (a) > 0 (b) = 0 (c) < 0 a seconda del segno del discriminante e cioè in base al numero di soluzioni dell equazione di secondo grado associata Perciò andiamo a risolvere x 5x + 4 = 0 per capire se la parabola attraversa oppure no l asse x 5x + 4 = 0 = ( 5) 4(1)(4) = 5 16 = 9 e quindi siamo nel primo dei tre casi in figura Calcoliamo le soluzioni x 1/ = ( 5) ± 9 Perciò si ottiene il seguente grafico = 5 ± 3 x 1 = 4 x = Siamo interessati alla positività del trinomio visto che nella disequazione abbiamo > 0 quindi la soluzione si trova laddove il grafico della parabola é al di sopra dell asse e perciò per i valori di x tali che x < 1 x > 4 Risolviamo la seguente disequazione 3x + 5x 9 < 0 4

5 In questo caso a = 3 quindi negativo, qualitativamente possiamo trovarci di fronte a una di queste situazioni: (d) > 0 (e) = 0 (f) < 0 Perciò andiamo a risolvere 3x +5x 9 = 0 per capire se la parabola attraversa oppure no l asse 3x + 5x 9 = 0 = 5 4( 3)( 9) = = 83 Quindi l equazione non ammette soluzioni reali e la parabola non attraversa l asse(terzo caso in figura) Siamo interessati ai valori di x che rendono il trinomio negativo, ossia a quei valori per i quali la parabola si trova al di sotto dell asse In tal caso ciò é sempre vero La soluzione allora é x R Risolviamo la seguente disequazione x 14x + 49 < 0 Il coefficiente a é positivo quindi la parabola ha la concavità rivolta verso l alto Vediamo se attraversa l asse x, quindi risolviamo l equazione associata x 14x + 49 = 0 = ( 14) 4(1)(49) = = 0 perciò la parabola é tangente all asse (ossia si intersecano in un solo punto) e tale valore é dato da Perciò si ottiene il seguente grafico x 1 = x = 14 = 7 5

6 7 Da questo si evince che il trinomio si annulla per x = 7 e risulta positivo per tutti gli altri valori di x Siccome la disequazione richiedeva che il trinomio fosse < 0, essa risulta impossibile Consideriamo il seguente sistema di disequazioni x 3x + > 0 x 6 < 0 Risolviamo separatamente le due disequazioni La seconda ha per soluzioni x 6 < 0 x < 6 x < 3 Per la prima consideriamo l equazione associata per vedere se la parabola interseca l asse x 3x + = 0 = ( 3) 4(1)() = 9 8 = 1 quindi tocca l asse nei seguenti due punti x 1/ = ( 3) ± 1 = 3 ± 1 La parabola perciò ha il seguente andamento x 1 = x = 1 1 6

7 e le soluzioni della disequazione sono i valori delle x per i quali essa si trova al di sopra dell asse > 0 e quindi x < 1 x > Andiamo adesso a controllare se le due disequazioni hanno in comune delle soluzioni e quindi costruiamo il seguente grafico del sistema 1 3 Dis A Dis B dal quale si vede facilmente che le soluzioni comuni sono per i valori di x tali che x < 1 < x < 3 Risolvere le seguenti disequazioni fratte: x > 0 Bisogna studiare il segno di numeratore e denominatore Conviene studiare la positività di entrambi e x + 4 quindi N x + 1 > 0 x > 1 D x + 4 > 1 x > 4 e, riportando i segni nel seguente grafico, 4 1 N D N D + + si ottiene che l insieme delle soluzioni della disequazione, ossia i valori della x per i quali la frazione risulta essere positiva, é x < 4 x > 1 x 7x + 1 x 5x + 6 < 0 N x 7x + 1 > 0 D x 5x + 6 > 0 7

8 Sono disequazioni di secondo grado e quindi passiamo all equazione associata in tutti e due i casi x 7x + 1 = 0 = ( 7) 4(1)(1) = = 1 x 1/ = ( 7) ± 1 = 7 ± 1 x 1 = 4 x = 3 x 5x + 6 = 0 = ( 5) 4(1)(6) = 5 4 = 1 x 1/ = ( 5) ± 1 = 5 ± 1 x 1 = x = 3 Le parabole in entrambi i casi attraversano l asse e dai seguenti grafici (g) Numeratore (h) Denominatore si deduce quello del segno della frazione 3 4 N D N D + + Si ottiene allora che l insieme delle soluzioni della disequazione, ossia i valori della x per i quali la frazione risulta essere negativa, é < x < 3 3 < x < 4 Ulteriori esercizi consigliati: 1 Risolvere le seguenti disequazioni: (a) x x < 0 (b) 4x 4x

9 (c) x 1 x 3 > 0 (d) x + 1 x 1 x x x 5x + 6 (e) x 9x 18 < 0 Risolvere i seguenti sistemi di disequazioni x + x 6 (a) x + 11x + 1 > 0 (x + 3)(x + ) > 0 x + 7 (b) x < 1 x 5 > x Risolvere le seguenti equazioni 1 x + 5 = 3 Equazioni irrazionali Dato che il secondo membro é positivo eleviamo al quadrato e otteniamo x + 5 = 9 x = 4 5 x = 1 x Qui bisogna richiedere la positività del secondo membro e poi si può elevare al quadrato Perciò bisogna risolvere il seguente sistema 1 x 0 Dalla disequazione otteniamo 5 x = (1 x) 1 x 0 x 1 x 1 9

10 Risolviamo l equazione e otteniamo 5 x = (1 x) 5 x = 1 + x x x x + x = 0 x + x + 4 = 0 x + x + 1 = 0 = 1 4( 1)(1) = = 49 x 1/ = 1 ± 49 = 1 ± 7 x 1 = 3 x = 4 Solamente x = 3 risulta accettabile perché verifica x 1 3 4x x = 7 Isoliamo il termine con la radice e riscriviamo 5 + 4x = 4x + 7 Come per l esercizio precedente dobbiamo risolvere il seguente sistema 4x x = ( 4x + 7) Dalla disequazione otteniamo 4x x 7 4x 7 x 7 4 Risolviamo l equazione e otteniamo 5 + 4x = ( 4x + 7) 5 + 4x = 16x x 16x + 60x 44 = 0 4x + 15x 11 = 0 = 15 4( 4)( 11) = = 49 x 1/ = 15 ± 49 8 = 15 ± 7 8 x 1 = 1 x = 8 =

11 Solamente x = 1 risulta accettabile perché verifica x x + 1 = x + 10 Bisogna imporre che uno dei due radicandi sia 0 prima di elevare al quadrato e quindi va risolto il seguente sistema x x + 1 = x + 10 Dalla disequazione si ottiene x x 10 x 5 Risolvendo l equazione di primo grado si ha 5x + 1 = x x = 9 x = 3, che risulta accettabile perché x 5 Ulteriori esercizi consigliati: 1 1 x = 3x + 1 = x 3 x + 4 x = 4 x + 3x + 4 = x