Il procedimento può essere pensato come una ricerca in un insieme ordinato, il peso incognito può essere cercato con il metodo della ricerca binaria.

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1 SCELTA OTTIMALE DEL PROCEDIMENTO PER PESARE Il procedmento può essere pensato come una rcerca n un nseme ordnato, l peso ncognto può essere cercato con l metodo della rcerca bnara. PESI CAMPIONE IN BASE DUE Ecco l algortmo per pesare n lnguaggo naturale. Supponamo d avere seguent pes campone n base due Possamo ottenere seguent pes Per pesare un oggetto d peso P tale che 0 < P 5, procedo come segue. Metto l oggetto ncognto su un patto 2. sull altro metto l peso par a 8 (coè 2 3, l peso campone maggore), dvdo per 2 pes, 8 è l peso centrale tra tutt quell che posso formare con pes campone che ho. Se l oggetto pesa d pù allora, trascuro tutt pes nferor o ugual a 8 e tengo conto solo de pes maggor Consdero nuovamente l peso d mezzo, 2 (coè l peso campone maggore pù quello mmedatamente nferore, 8 + 4), e se l oggetto pesa d meno, trascuro tutt pes superor o ugual a Consdero nuovamente l peso d mezzo della nuova metà determnata 9 0, coè 0 (8 + 2, ho tolto l 4 e ho aggunto l peso mmedatamente nferore a 4). Se l oggetto pesa d pù metto sulla blanca, coè aggungo, la metà d 2, e quello deve essere l peso. S può vedere questo problema anche come un problema dello zano n cu s cerca d mettere pes n ordne decrescente. Se, per esempo, la capactà dello zano è 0 peso da determnare 8 sta

2 nello zano, no, sì, ecc. É un problema noto n letteratura, e esstono algortm mportant per rsolverlo. Il caso n esame è un caso pù semplce d quello generale, ma restano vald alcun prncp. PESI CAMPIONE IN BASE TRE Posso ottenere seguent pes se ho a dsposzone pes campone 3 9 II I II III III II I II Fg. Per la rcerca s può suddvdere come sopra Il peso d mezzo n questo caso è 9-3, oppure 9-3+, ma n nessuno de due cas s tratta d un unco peso campone, nel caso s volesse partre da un unco peso campone convene partre dal pù alto, 9, anche nel caso n cu fosse 27, o altro. Infatt pù aumenta l valore del peso campone pù aumentano pes che lo seguono (ma anche quell che lo precedono), dato che da 3 n devo arrvare fno a 3 n +3 n- +3 n-2 +3 n , qund l numero d pes che segue l peso campone maggore è una successone d pes, d ragone, che partono da 3 n e arrvano al massmo valore ottenble Se ho a dsposzone 3 9 da a 3 c sono 3 pes, 2

3 da 9 a 3 c sono 4 pes, 3 + Se ho a dsposzone Da a 9 c sono 9 pes, da 27 a 40 ce ne sono Se ho a dsposzone Da a 27 c sono 27 pes, da 8 a 2 ce ne sono e così d seguto, se aumento d un peso campone, l numero d pes che seguono l ultmo peso campone aumenta, rspetto al caso precedente, d un numero par alla somma de pes campone che precedono l ultmo peso. Infatt a 27 devo aggungere tutt pes che posso formare con precedent pes campone propro per ottenere pes maggor d 27. Qund per pesare o scelgo l peso d mezzo, una composzone d pes campone, e questa è la stratega pù convenente, se un passo concde con una pesata, un confronto qund. Oppure scelgo l pù grande peso campone, se voglo che la scelta cada solamente su uno de pes campone. Per pesare posso procedere n un pù d un modo. Ad esempo posso porre su d un patto, quello d destra, l peso ncognto P e l peso campone 3 e sull altro, quello d snstra, l peso campone 9, po se P > 9-3, tolgo l 3 dal patto d destra, po se rsulta ancora maggore aggungo 3 sul patto d snstra, se rsulta ancora maggore aggungo sul patto d snstra. Seguono alcun esemp con pes campone 3 9. Segure guardando la fg. 3

4 Alcun esemp con pes campone 3 9 (segure guardando la fgura ) x = 3 x = 2 x = 8 x = 4. 9 < 3+P. 9 > 3+P. 9 < 3+P. 9 > 3+P 2. 9 < P 2. 3 > P 2. 9 > P 2. 3 < P < P 3. < P < P > P = P = P = P = P ndvduare l peso cercato ndvduare l peso cercato ndvduare l peso cercato ndvduare l peso cercato UN ALTRA INTERESSANTE POSSIBILITÀ x e' l peso ncognto, C sono le cfre prese dall'nseme { -, 0, }. Per ora s assume che x sa un peso ntero varable fra -(3 k - )/2 e +(3 k - )/2.. S è rcondotto l problema alla rappresentazone de natural n base 3. Sa k k k 2 0 k *3 Ck 2 *3... C0 * = = x = C C * 3 allora 4

5 k k = x + *3 = = = y C ( C + ) * 3 dove le cfre C + appartengono a { 0,, 2 } coè s ottene la consueta rappresentazone n base 3 de natural, da cu l'unvoctà della rappresentazone. 2. A questo punto e' charo che s può procedere valutando cascuna cfra a partre da quella pù sgnfcatva. Ponamo l peso ncognto y sul patto snstro. Ancora per questa fase faccamo fnta d avere due pes per ogn potenza d 3 (coè d poter rappresentare sul patto destro le cfre 0,, 2 relatve a var pes). Per ogn peso 3 s prova la cfra ed eventualmente la cfra 2. Se l patto destro s abbassa s recede rspetto all'ultmo passo svolto. 3. Orma l goco è fatto: basta consderare che y corrsponde a mettere x e tutt pes (uno per potenza della base 3) sul patto snstro; provare la cfra sgnfca toglere l peso corrspondente dal patto snstro (equvalenza per compensazone) e provare la cfra 2 sgnfca spostare quel peso sul patto destro. 4. Infne è nutle mettere l peso pù grande sul patto snstro se x è postvo! Qund s parte con un prmo passo dverso da tutt gl altr, che corrsponde al peso pù grande sul patto destro e tutt gl altr pes asseme ad x su quello snstro. DUE ESEMPI PER CAPIRE COME SI POTREBBE PESARE IN BASE TRE E PER CAPIRE IL SENSO DI QUANTO DETTO SOPRA 5

6 Due esemp con pes campone x=8 x=20 x (troppo) x x x (troppo) x + 9 (par) x x (par) Rappresentazone n base tre y = *27 + 2*9 + *3 x = 9 - Rappresentazone n base tre y =2*27 + 2*3 x = Per capre l perché d *27 oppure 2*27, bsogna pensare al fatto che s parte con tutt pes n un patto, po s suppone d toglere l 27, qund una volta 27, po lo s mette nell altro patto, se non è troppo allora l 27 va contato due volte, così per gl altr pes campone procedendo dal pù grande al pù pccolo. Dato che pes non sono negatv, l valore che s ottene per y deve superare 40 nel nostro caso ( ), nfatt aggungamo 40 al peso effettvo, x. PESI TRADIZIONALI Il procedmento ottmale per pesare nel caso n cu pes sano quell tradzonal è l seguente: S comnca dal peso maggore e coè 000. Infatt pes che s possono ottenere sono nfatt sta a metà tra possbl pes dvers che s possono ottenere. Il duecentesmo peso che posso ottenere è propro 000. Qund metto 000 sul patto e po metto la metà tra l massmo peso 995 e 000, crca 500, e po tra 500 e 995 e così va. 6