Quante tortine di frutta, al minimo, serviranno a Fratello Giovanni per realizzare la sua torta a forma di cubo?

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1 Giochi Bocconi 1) LA FINESTRA SULLA TAVOLA PITAGORICA Disponete di una tavola pitagorica (tavola delle moltiplicazioni fino a 20 x 20), ogni prodotto è scritto nella casella corrispondente. Disponete anche di una finestra come quella riportata in figura mediante la quale si possono individuare quattro "caselle - prodotto" contigue. Si chiede di posizionare la finestra sulla tavola pitagorica in modo che la somma dei quattro numeri che appaiono sia uguale a 93 Quale numero su legge in basso a destra nella finestra? 2) IL NUMERO MISTERIOSO Questo numero è un numero di tre cifre tutte differenti, scritte dalla più piccola (a sinistra) alla più grande (a destra). La cifra delle unità è tripla di quella delle centinaia, e la somma delle cifre vale 17. Trovate il numero misterioso. 3) PECCATO MONASTICO I monaci dell'abbazia di Tournay (sui monti pirenei), preparano delle deliziose tortine di frutta a forma di "mattoncini" di 5 cm, 5 cm e 3 cm. Fratello Giovanni, goloso e amante dei giochi, si diverte a costruire torte più grandi utilizzando, come "mattoncini" le tortine di frutta. Così, con 12 tortine ha realizzato la torta in figura. Ma non è soddisfatto, poichè vorrebbe realizzare un cubo, cioè una torta le cui tre dimensioni (lunghezza, larghezza e altezza) fossero uguali. Certamente Fratello Giovanni intende sempre utilizzare le tortine di frutta senza modificarne le dimensioni. Quante tortine di frutta, al minimo, serviranno a Fratello Giovanni per realizzare la sua torta a forma di cubo? 4) LA CLUB HOUSE Il Sindaco e la Giunta di una piccola stazione balneare hanno deciso di costruire un campo da golf a 18 buche. Il signor Tekte, di nome Arcibaldo (per gli amici Archie) è incaricato di fare il progetto della "Club-House", cioè della sede del Golf che sarà costruita su quel terreno. Le sue direttive sono semplici: questa casa dovrà avere esattamente 18 aperture (porte e finestre). ogni stanza dovrà avere due aperture verso l'esterno e due aperture verso l'interno (verso un'altro locale). Quante stanze avrà la Club-house?

2 5) RETTANGOLI DI TEGOLE Con dodici tegole quadrate potrei costruire a scelta tre rettangoli: ma ho molte più tegole, ne ho infatti un numero compreso tra 50 e 75, e posso costruire 6 rettangoli differenti. Quante tegole ho? 6) 5 PASSI AVANTI E 3 PASSI INDIETRO Questo gioco si gioca su un percorso (come il gioco dell'oca), con l'aiuto di un dado. Se tirando il dado si fa più di tre, si avanza di 5 caselle, se si fa meno di 3 si retrocede di 3 caselle, se si fa esattamente tre si resta fermi. Durante una partita ho lanciato 13 volte il dado e sono avanzato di 9 caselle. Quante volte ho fatto 3? 7) BERE, BERE, BERE Alain e Alex sono gemelli; i loro genitori li hanno autorizzati ad invitare i loro amici per festeggiare il decimo compleanno. Alain e Alex decidono di preparare delle bevande per semplificarsi la vita, serviranno a tutti del "latte - fragola". Il "latte - fragola" viene preparato secondo le seguenti proporzioni: una parte di sciroppo di fragola per ogni quattro parti di latte. Ogni invitato (compresi Alain ed Alex, esclusi i genitori) berrà un litro di "latte - fragola". Alain ha invitato otto amici mentre Alex dieci. tre ragazzi invitati da Alex sono stati invitati anche da Alain e due ragazze invitate da Alain sono state invitate da Alex. Quanti litri di latte e quanti di sciroppo di fragola devono acquistare Alex e Alain? 8) LA CACCIA AI TRIANGOLI Il vostro compito consiste nel trovare tutti i triangoli che si possono formare utilizzando tre punti della figura sottostante. Quanti sono? Nota: i triangoli "piatti" (tre punti in linea reatta) non contano.

3 Le soluzioni 1) La finestra sulla tavola pitagorica Indichiamo la posizione della finestra sulla tavola pitagorica con il numero della riga e della colonna che corrispondono alla casella in alto a sinistra. Possiamo notare che la somma dei quattro numeri che appaiono nella finestra è sempre uguale a: quattro volte il prodotto della riga corrispondente per quello della colonna più il doppio del numero della riga, più il doppio del numero della colonna, più uno. Allora 93 = 4 X (1 x 15) + 2 x x Naturalmente possiamo invertire le righe e le colonne. La decomposizione del numero 93 corrisponde allora alle due finestre rappresentate sotto. In entrambi i casi il numero che appare a destra è sempre il 32 2) Il numero misterioso Poichè la cifra delle unità risulta il triplo della cifra delle centinaia, il numero misterioso potrà scriversi nel modo seguente: 1_3, 2_6 o 3_9 (il simbolo "_" deve essere sostituito dalla cifra delle decine mancante). La somma delle tre cifre deve essere uguale a 17 allora, nel primo caso, dovremo sostituire con 14, che è impossibile. Nel secondo caso possiamo sostituire "_" con 9, ma le tre cifre non sarebbero nell'ordine crescente. Infine, nel terzo caso, "_" verrebbe sostituito con 5, che risponde alle nostre esigenze. Il numero misterioso è allora ) La club-house 3) Peccato monastico 3 x 5 = 5 x 3 = 15 Fratello Giovanni dovrà "costruire" 5 piani, ciascuno formato di 3 file di 3 tortine di frutta Utilizzarà 5 x 3 x 3 = 45 tortine di frutta, per ottenere un cubo Se visitiamo tutte le stanze della Club-house progettata dal Sig. Tekte, contando tutte le aperture di ogni stanza, alla fine della visita, avremo contato le aperture verso l'esterno una sola volta e le aperture interne due volte (una volta ciascuna per ogni stanza che collega). Il numero totale di aperture sarà allora quadruplo del numero delle stanze, ricordando però che le aperture interne sono state contate due volte. Se poi visitiamo

4 nuovamente la Club-house del sig. Tekte, contando questa volta le aperture della casa una sola volta (siano esse interne od esterne), arriveremo ad un totale che è il triplo dei locali (bisogna togliere la metà delle aperture interne contate due volte nel primo procedimento). Il numero dei locali della Club-house progettata dal sig. Tekte è dunque: 18 : 3 = 6 locali Il disegno sottostante mostra una possibile soluzione. 5) Rettangoli di tegole Dodici tegole permettono di costruire 3 rettangoli poichè il numero 12 ha 6 divisori: 12 = 1 x = 2 x 6 12 = 3 x 4 Un numero di tegole che permetta di costruire 6 rettangoli differenti deve necessariamente possedere 12 divisori. Solo due numeri compresi tra 50 e 75 hanno questa proprietà: 60 = 1 x = 2 x = 3 x = 4 x = 5 x = 6 x = 1 x = 2 x = 3 x = 4 x = 6 x = 8 x 9 Vi sono dunque 60 o 72 tegole 6) 5 passi avanti e 3 passi indietro Le nove caselle di cui sono avanzato corrispondono alla differenza tra il numero totale delle caselle di cui ho proceduto (che è multiplo di 5) ed il numero delle caselle di cui sono retrocesso (che è multiplo di 3), le volte che sono rimasto fermo non intervengono nel computo. Osserviamo i multipli di 3 ed i multipli di 5, nella tabella sottostante. Si noti che (caselle ombreggiate): 3 x 5-2 x 3 = 9 6 x 5-7 x 3 = 9 9 x 5-10 x 3 = 9 Sono però accettabili solo i primi due casi, in quanto il numero dei lanci di dado effettuati (e quindi le volte che sono avanzato o retrocesso) non deve superare 13. Analizziamo in dettaglio i due casi: ho fatto 3 volte più di 3 e 2 volte meno di 3. Dunque per 8 volte (13-3-2) ho fatto esattamente 3; ho fatto 6 volte più di 3 e 7 volte meno di 3. Dunque non ho mai ottenuto 3. Il problema ha dunque due soluzioni: ho ottenuto o 0 o 8 volte 3

5 7) Bere, bere, bere Il disegno rappresenta gli invitati dei nostri due amici. Alain e Alex hanno cinque invitati in comune (tre maschi e due femmine, rappresentati nell'intersezione). Alain ha dunque cinque altri invitati (maschi e femmine, mentre Alex ne ha altri 8 sempre maschi o femmine). In totale vi sono = 13 invitati, ai quali bisogna naturalmente aggiungere Alain e Alex, dunque 15 persone. Con un litro di sciroppo di fragola, si devono utilizzare quattro litri di latte, ottenendo cinque litri di latte-fragola. Si noti che 15 = 3 x 5 = 3 x x 4. I quindici partecipanti berranno dunque in totale quindici litri di latte-fragola, che richiederanno l'utilizzo di 12 litri di latte e di 3 litri di sciroppo di fragola 8) La caccia ai triangoli I punti della figura possono essere suddivisi in due gruppi : A, B, C, che non sono allineati e D, E, F, che sono pure allineati. Un triangolo non degenere ("piatto") comprende obbligatoriamente due punti in uno dei due gruppi citati ed il terzo punto nell'altro gruppo. Supposto che il punto isolato sia A, possiamo tracciare i triangoli ADE, AEF e ADF. Allo stesso modo prendendo il punto B si hanno i triangoli: BDF, BDE e BEF. Considerando C si ottengono CFE, CFD e CED. Scegliendo il punto isolato tra D, E e F si otterranno ancora per tre volte tre triangoli. Esistono dunque 18 triangoli non degeneri che si possono disegnare a partire dalla figura data

6 Giochi Bocconi 1996 Inizio C1 1) L'Acquario Un acquario riempito d'acqua a filo del bordo pesa 108 kg. Quando è per metà vuoto, lo stesso acquario pesa 57 kg. Quanto pesa questo acquario vuoto? 2) Fino a due Scrivo il numero 1996 su un foglio bianco. Essendo pari lo divido per due ottenendo, con calcoli mentali o con l'aiuto della calcolatrice 998,che scrivo sul foglio. Continuo allora con queste regole: a) se l'ultimo numero scritto è pari, lo divido mentalmente per due, e scrivo il risultato; b) se il numero è dispari, gli aggiungo 1, e scrivo il numero ottenuto. Dopo un po' di passaggi, ottengo il numero 2, che scrivo sul foglio. Quanti numeri sono stati scritti sul mio foglio? 3) Il libro di Tom Tom si diverte con la sua enciclopedia dei giochi matematici. Questo libro è composto di 4 pagine di copertina non numerate e 256 pagine numerate nell'ordine da 1 a 256.Le pagine a sinistra portano un numero pari mentre quelle a destra hanno un numero dispari. Tom ha aperto a caso un numero dell'enciclopedia. Calcola la somme delle sei cifre dei due numeri di pagina che ha davanti.questa somma è la più grande possibile. Qual è il numero della pagina a sinistra? 4) La Pinzatrice Piego un foglio di carta in sedici parti, cioè piego questo foglio 4 volte di seguito e ogni piegatura, a partire dalla seconda, risulta perpendicolare alla piega precedente. Con un colpo di pinzatrice fisso lo spesso rettangolo ottenuto, poi, cambiando idea, tolgo il fermaglio e riapro completamente il foglio sul quale risultano disegnati 16 rettangoli. Questi 16 rettangoli sono rappresentati nella figura sovrastante che indica il segno del fermaglio sul rettangolo M. Dove risulta posizionato il segno del fermaglio sul rettangolo H? Sul foglio risposta si scriva solo il numero corrispondente al rettangolo H sul quale risulta posizionata correttamente la traccia del fermaglio.

7 Inizio C2, L1, L2, GP 5) Le Sei Querce Il vecchio padre Anselmo è molto saggio e prepara la sua successione. Vuole dividere la sua proprietà di forma rettangolare (vedi figura) tra i due figli rispettando le regole seguenti: a) la casa deve restare in comune; b) ogni parte contiene tre querce non allineate (rappresentate con dei pallini nel disegno). Seguendo la quadrettatura del disegno, trovate una soluzione per aiutare il padre Anselmo. 6) Corsa a Sei Sei concorrenti che indossavano dei pettorali numerari da 1 a 6 hanno partecipato ad una corsa. I corridori con pettorali pari hanno ottenuto all'arrivo dei piazzamenti dispari. I concorrenti recanti dei numeri multipli di 3 si sono classificati a dei posti il cui numero non è divisibile per 3. Infine i corridori recanti dei numeri superiori a 3 hanno conquistato le prime tre posizioni. Qual'è l'ordine d'arrivo? 7) Il Quadrato Incantato Riempire le nove caselle del quadrato sopra con i numeri da 1 a 9 (1 e 7 sono già posizionati) in modo che la somma dei numeri scritti in ogni quadrato di 4 caselle (come quelle con lo sfondo nella figura) sia sempre la stessa. 8) La Tombola Adriano, Beatrice, Claudia, Domenico e Emanuela partecipano ad una tombola. Essi estraggono da un cappello una carta tra dodici numerate da 1 a 12, ogni numero corrispondente ad un premio. Ciascuno dei cinque amici estrae due carte ma, per complicare un po' il gioco, al momento di svelare i numeri che la sorte ha attribuito ad ognuno, ciascuno indica agli altri solo la somma dei due numeri: Adriano 11, Beatrice 4, Claudia 16, Domenico 7, Emanuela 19. Indicate il minore dei due numeri estratti da ognuno. 9) Il Quadrato Tagliato Fine C1 Abbiamo tagliato un quadrato con una retta in modo che essa divida il perimetro del quadrato in due parti di lunghezza rispettiva 35 cm e 21 cm. La stessa retta taglia un lato del quadrato in due segmenti di lunghezza 1 cm e 13 cm, ed un altro lato in due segmenti di lunghezza 6 cm e 8 cm. Qual è l'area della più piccola delle due parti del quadrato delimitata dalla retta? 10) Le Tre Coppie Le tre coppie Angelo e Chiara, Enrico e Simonetta, Guido e Marina totalizzano in sei 137 anni. Enrico e sua moglie hanno 47 anni in due; Chiara è la più anziana delle tre signore ed ha 4 anni in più della più giovane, mentre ogni marito ha 5 anni più della rispettiva moglie. Trovate le età dei tre mariti.

8 11) Le Quattro Corde Quattro pezzi di corda di lunghezza rispettiva 3 metri, 5 metri, 11 metri e 13 metri sono attaccate con un solo nodo. Tendiamo questi quattro pezzi di corda in modo che le loro estremità libere indichino i vertici di un quadrilatero di area la più grande possibile. Trovate questa area. Fine C2 La risposta sarà data in metri quadrati, eventualmente arrotondata al metro quadrato più vicino (si trascuri la lunghezza del pezzetto di corda utilizzato per il nodo). 12) Il Torneo Durante un torneo di scacchi, ogni giocatore ha giocato esattamente una partita contro ciascuno degli altri giocatori. Cinque giocatori hanno perso due partite ciascuno ed i giocatori restanti hanno vinto due partite ciascuno. Non si hanno avute partite patte (finite in parità. Quanti giocatori partecipavano a questo torneo? 13) I Cinque Numeri Il professore ha scritto cinque numeri su di un foglio poi, girato il foglio, ha scritto i dieci numeri 6, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 12, ottenuti calcolando tutte le possibili somme dei numeri prima scritti, presi due a due. Quali erano i cinque numeri scritti all'inizio dal professore? E' richiesto che questi numeri vengano scritti in ordine crescente. 14) Il Torroncino Fine L1 Abbiamo un blocco cubico di torrone; con l'aiuto di una accetta da cucina si danno due colpi a questo cubo ottenendone un torroncino a forma di tetraedro. I vertici di questo torroncino sono i centri di quattro facce del cubo iniziale. Il volume del torroncino è di 9 dm cubi. Qual è il volume delle parti tolte dal cubo iniziale, in dm cubi? 15) I campi di Penta e Logo I campi di Penta e Logo sono triangolari, ma non equilateri; i loro lati misurano tutti e due numeri interi di ettometri. Le lunghezze di due lati del campo di Penta sono rispettivamente le stesse di quelli di due lati del campi di Logo. I tre angoli del campo di Penta sono rispettivamente gli stessi di quelli del campo di Logo. La superficie del campo di Penta è strettamente inferiore di quella del campo di Logo. Qual è in ettometri il perimetro minimo del più piccolo tra i due campi? 16) I Lingotti di Ezechiele Fine L2 e GP I lingotti di Ezechiele sono 9 parallelepipedi rettangoli A, B, C, D, E, F, G, H, ed I, aventi la stessa altezza. Le loro basi sono 9 quadrati, e i 9 lati dei quadrati, tutti differenti tra loro, hanno per misura, in centimetri, i 9 interi da 1 a 9. Con l'aiuto di una bilancia perfettamente funzionante Ezechiele constata che:

9 A è più leggero di D; B è più leggero di C; D è più leggero di G; E è più leggero di F; H è più leggero di I; A, B, C, insieme equilibrano E, F, e G insieme; B, C, e D, insieme equilibrano G, H, ed I insieme; Trovate le lunghezze rispettive, in centimetri, dei 9 lati di base dei lingotti dello zio Ezechiele. Inizio C1 1) L'Acquario L'acquario vuoto pesa 6 Kg. 2) Fino a due Sul foglio sono scritti 14 numeri. 3) Il libro di Tom La pagina di sinistra ha il numero ) La Pinzatrice La posizione corretta è quella corrispondente al disegno nr.5. 5) Le Sei Querce Inizio C2, L1, L2, GP La soluzione è quella mostrata nella figura. 6) Corsa a Sei L'ordine di arrivo è: ) Il Quadrato Incantato 8) La Tombola

10 Adriano: 4, Beatrice:1, Claudia: 6, Domenico: 2, Emanuela: 8. 9) Il Quadrato Tagliato Fine C1 L'area è 49 oppure 52 cmq. 10) Le Tre Coppie Angelo ha 27 anni, Enrico ha 26 anni, Guido ha 23 anni. 11) Le Quattro Corde Fine C2 L'area è 128 mq. 12) Il Torneo Partecipavano 10 giocatori. 13) I Cinque Numeri I cinque numeri sono: ) Il Torroncino Fine L1 Il volume è 207 dmc. 15) I campi di Penta e Logo Il perimetro minimo è 38 ettometri. 16) I Lingotti di Ezechiele Fine L2 e GP I lingotti ABCDEFGHI hanno un lato di lunghezza 2, 4, 9, 5, 1, 6, 8, 3 e 7 rispettivamente.