Soluzione della Prova Parziale di Analisi Matematica III - 17/02/04. C.L. in Matematica e Matematica per le Applicazioni. Prof. Kevin R.

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1 Soluzione della Prova Parziale di Analisi Matematica III - 7//4 C.L. in Matematica e Matematica per le Applicazioni Prof. Kevin R. Payne Esercizio. a. Ricordiamo inanzitutto la seguente: efinizione: Si chiama superficie regolare un applicazione Φ : R R 3 tale che (SR è un dominio (la chiusura di un aperto connesso e Φ C (. (SR Φ è iniettiva su (l interno di. (SR3 La matrice Jacobiana Φ(u, v ha rango per ogni (u, v. Si vede che Φ(u, v (u cos v, u sin v, v per (u, v [, 3] [, π] è di classe C ( con un dominio connesso, quindi vale (SR. Per la iniettività (SR si nota che Φ(u, v Φ(u, v implica subito che v v v e quindi si ha [u u ] [cos v sin v ], ma la seconda possibilità è assurda, e quindi Φ è una biezione su tutto (non solo sul interno. La matrice Jacobiana è φ(u, v cos v u sin v sin v u cos v e ha rango per ogni (u, v avendo due righe linearmente indipendente e quindi vale anche (SR3. i nuovo si usa il fatto che non esiste v tale che cos v sin v. N.B. È anche chiaro che Φ è una superficie regolare con bordo ed è stokiana. Si nota che è anche misurabile secondo Peano-Jordan (è un rettangolo! e quindi l area del sostegno e ben definito come l integrale A(Σ Φ u Φ v dudv. alla matrice jacobiana sopra si vede i j k Φ u Φ v cos v sin v (sin v, cos v, u ( u sin v u cos v

2 Quindi Φ u Φ v + u e possiamo applicare il teorema della riduzione (perchè la funzione integranda è continua su un dominio normale: A(Σ π + u dudv u du ( π + u dv du Quindi tutto il conto riduce per la n-esima volta alla bestia + u du. Facendo la sostituzione u tan θ e ricordando l identità + tan sec si trova A(Σ π π/3 sec θ sec θ dθ π π/3 sec 3 θ dθ π [tan θ sec θ + ln sec θ + tan θ ] π/3 [ π 3 ( + ] 3 + ln + dove abbiamo integrato sec 3 θ per parti usando tan (θ sec (θ e usato i valori noti per le funzioni trigonometriche in θ, π/3. b. Ricordiamo le definizioni efinizione: Sia F : A R 3 R 3 un campo vettoriale in A aperto e connesso con componenti F (F, F, F 3. Si dice a F C (A, R 3 è conservativo in A se esiste U : A R una funzione di classe C tale che U F in A. b F C (A, R 3 è irrotazionale in A se F i x j (x F j x i (x x A. Abbiamo visto che ogni campo conservativo gode la proprietà che il lavoro effettuato lungo ogni curva orientata, regolare a tratti, con sostegno in A dipende solamente dagli estremi della curva. In particolare, il lavoro lungo curve chiuse è zero. Inolte abbiamo mostrato che ogni campo conservativo di classe C deve essere irrotazionale ma esistono campi vettoriali irrotazionali ma non conservativi (su domini con bucchi. altre parte, abbiamo visto che i due concetti sono uguali su domini stellati ( x A : [x, x] A x A. La stessa affermazione è valida nei domini semplicamente connessi.

3 c. Il campo vettoriale F (x, y, z (xz, yz, y è di classe C ed il suo rotore i j k rotf (x, y, z x y z (y, x, ( xz yz y non è zero su nessun aperto di R 3 ; solo sulla retta {(,, z : z R}. Quindi in ogni aperto F non soddisfa la condizione necessaria di essere conservativo. Il lavoro effettuato da F di classe C lungo la curva γ + che è il bordo orientato della superficie Stokiana definita in parte a si può calcolare tramite il Teorema di Stokes: γ + F, T ds F, T ds rotf, ν dσ + Σ Σ rotf (Φ(u, v, Φ u Φ v dudv (u sin v, u cos v,, (sin v, cos v, u dudv u(sin v cos v, dudv ( 3 π ( cos (v dv 3 sin (v π dove abbiamo anche usato le formule ( e (. Si nota che il lavoro è nullo su questa curva nonostante il fatto che il campo non è conservativo. Puo capitare. Esercizio. a. Per verificare che l insieme {(x, y, z R 3 : x + y e z, y, z h} con h > è misurabile secondo Peano-Jordan ricordiamo che basta vedere che i è limitato (lo è ovviamente, ii il bordo ha misura nulla 3. Il bordo può essere scritto come Σ S Σ I Σ + L Σ L dove Σ S graf(g S, z g S (x, y h, (x, y B e h( {y } Σ I graf(g I, z g S (x, y, (x, y B ( {y } Σ L graf(g L, y g L (x, y, (x, y { z h, x e z } Σ + L graf(g+ L, y g+ L (x, y e z x, (x, y sono quattro superficie sono grafici di funzioni continua su domini compatti e quindi sono di misura nulla. L unione finito di insiemi di misura nulla ha misura nulla e quindi la tesi. 3

4 Per calcolare la sua area, possiamo integrare per stratti in z dove la sezione z (t {(x, y : (x, y, z, z t} è un semi-disco di raggio e z/ e quindi 3 dxdydz ( z (t dt π ( z (t dxdy dt e t dt π ( e h N.B. Si potrebbe usare anche coordinate cilindriche (ρ, θ, z dove il dominio trasformato è definito da: (θ, z [, π] [, h] e ρ e z/. Questo cambiamento di variabile dà 3 ρ dρdθdz dove integrazione in θ e ρ produce lo stesso inegrale π e z dz calcolato sopra. b. Il dominio dato è l unione di due domini normali e regolari ripsetto l asse z. Infatti, si può fare la decomposizione I E di una parte interna e una parte esterna I {(x, y, z : z h, (x, y B e h( {y } E {(x, y, z : z ln (x + y, (x, y [B ( \ B e h(] {y } Questi due pezzi sono normali rispetto l asse z con lati superiori/inferiori formati di grafici di funzioni di classe C su domini bidemnsionali normali regolari. Per calcolare il flusso di F (x, y, z (xe xy, ye xy, z uscente dal bordo di possiamo usare il Teorema della divergenza perchè è ammissible per tale teorema e F C (. Si ha (con la solita notazione per ν il versore normale esterno, dσ l elemento di area sul bordo, etc. F, ν dσ divf dxdydz dove la divergenza di F è divf (x, y, z x (xexy + y ( yexy + z (z z e quindi integrando di nuovo per strati in z (oppure usando coordinate cilindriche si ha 4

5 F, ν dσ z dxdydz ( z (t t dt π π[ he h e h + ] ( t dxdy z(t dt te t dt π[ te t e t ] h c. Vogliamo mostrare il seguente Proposizione: Siano un aperto in R 3 e u C (, R con la proprietà che il flusso del gradiente uscente da ogni palla in si annula. Allora u soddisfa l equazione di Laplace in Per ipotesi, fissati x e r > tali che B r (x si ha u, ν dσ B r (x ma prendendo r ancora più piccolo possiamo assumere che B r (x e quindi abbiamo u C (B r (x, R 3 dove B r (x è ammissibile per il teorema della divergenza. Quindi si ha div( u dx (3 B r (x ma il divergenza del gradiente è l operatore di laplace; cioè u(x (div u(x 3 j e quindi combinando (3 e (4 per ogni x e r > si ha u(x dx B r (x e quindi dividendo per il volume della palla abbiamo il u Br (x u x (x (4 j ovvero che il valor medio di u su ogni palla piccola attorno ad x si annula. Prendendo il limite si trova usando anche la continuità di u. u(x lim r + u B r (x 5