CAPITOLO 3 LA LEGGE DI GAUSS
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- Arnoldo Sole
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1 CAPITOLO 3 LA LEGGE DI GAUSS
2 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Premesse TEOREMA DI GAUSS Formulazione equivalente alla legge di Coulomb Trae vantaggio dalle situazioni nelle quali vi è una SIMMETRIA nella distribuzione delle cariche Mette in relazione i campi elettrici su superfici chiuse (superfici gaussiane) e le cariche da esse racchiuse
3 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Flusso di un campo vettoriale Concetto di flusso ricavabile partendo dai FLUIDI: Fluido in scorrimento Definizione di FLUSSO (attraverso una sezione del tubo): «quantità in volume o portata volumetrica del fluido stesso» Flusso MASSIMO: tubo ortogonale alla velocità (o alle linee di corrente) Flusso MINIMO (nullo): tubo parallelo alla velocità
4 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Flusso di un campo vettoriale Si consideri la superficie infinitesima dσ, posta in una regione in cui è definito un campo v Si calcoli il FLUSSO del campo v ATTRAVERSO la superficie dσ dφ v = v dσ = v u n dσ = v cos θ dσ = v n dσ dσ v θ u n v n Dove dσ = vettore superficie infinitesima modulo dσ = area della superficie infinitesima direzione u n perpendicolare al piano della superficie stessa
5 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Flusso di un campo vettoriale Estendendo ad una superficie finita Σ Suddivisa in tanti elementi infinitesimi dσ i Per ciascuno si può calcolare il flusso infinitesimo dφ v i = v i u i,n dσ i Sommando i contributi si ottiene un INTEGRALE DI SUPERFICIE v θ u n Φ v = Σ v u n dσ
6 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Flusso di un campo vettoriale Estendendo ad una superficie CHIUSA v θ u n Φ v = Σ v u n dσ Per convenzione, u n si orienta verso l ESTERNO della superficie Se v è diretto verso l esterno contributi positivi (v u n > 0) FLUSSO di v «USCENTE» Se v è diretto verso l interno contributi negativi (v u n < 0) FLUSSO di v «ENTRANTE»
7 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Flusso del campo elettrostatico Il concetto introdotto si può definire per QUALUNQUE CAMPO VETTORIALE La parola «FLUSSO» deriva dalle applicazioni IDRODINAMICHE Flusso di materia attraverso una superficie Definizione di flusso di un campo vettoriale: CONCETTO MATEMATICO Nel caso del campo ELETTROSTATICO si considerano sempre superfici «GAUSSIANE», ovvero superfici chiuse.
8 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A La legge di Gauss Relazione tra il flusso netto del campo elettrico attraverso una superficie chiusa con la carica racchiusa al suo interno Φ E = E u n dσ = 1 ε 0 i q i int Il flusso del campo elettrico E prodotto da un sistema di cariche q i attraverso una superficie chiusa Σ è uguale alla SOMMA ALGEBRICA di tutte le cariche (con segno) contenute ALL INTERNO della superficie, divisa per ε 0. Somma delle cariche negativa Flusso di E negativo Somma delle cariche positiva Flusso di E positivo
9 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A La legge di Gauss Nel caso di distribuzioni CONTINUE di carica: E θ Φ E = E u n dσ = 1 ε 0 τ dq Integrale esteso al volume τ racchiuso dalla superficie Σ τ q u n FORMULAZIONE GENERALE della LEGGE DI GAUSS Φ E = E u n dσ = q ε 0 Unità di misura per il flusso del campo elettrostatico: [Φ] = Volt metro UNITÀ DI MISURA Vm
10 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Dimostrazione della legge di Gauss Si consideri la situazione di una carica puntiforme q che produce un campo elettrico E u n θ E Ci interessa calcolare il contributo del dσ flusso infinitesimo dφ E attraverso una qualunque superficie orientata nello spazio dσ e posta a distanza r dalla carica q Con θ che rappresenta l angolo fra la normale della superficie u n e la direzione del campo elettrico E
11 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Dimostrazione della legge di Gauss Occorre proiettare dσ (in blu) sul piano dσ 0 (in arancione) dσ 0 perpendicolare a u r u r = versore di r, che descrive la distanza della carica q dal piano u r dσ u n θ dσ 0 E Si ottiene dunque: q dφ E = 4 π ε 0 r 2 u r u n dσ q = dσ cosθ 4 π ε 0 r2 = q dσ 0 4 π ε 0 r 2 q
12 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Dimostrazione della legge di Gauss L espressione dσ 0 r 2 rappresenta l angolo solido dω Corrisponde all estensione nello spazio del concetto di angolo piano Angolo piano: Si consideri un generico arco di curva ds L angolo sotteso rispetto a O è dato da dθ = ds cos α r = ds r ds O
13 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Dimostrazione della legge di Gauss Angolo solido Misura della parte di spazio compresa entro un fascio di semirette uscenti da O Si consideri l area di un elemento di calotta sferica in coordinate polari dσ 0 = AB AD = r dθ r senθ dφ = r 2 senθ dθ dφ O dφ r A D B C dσ 0 Per cui dω = dσ 0 r 2 = senθ dθ dφ θ dθ dω NON DIPENDE dal RAGGIO r O
14 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Dimostrazione della legge di Gauss Per una superficie finita, l angolo solido è dato dall integrale: dω = senθ dθ dφ Integro separatamente prima in dφ e poi in dθ: 1. dω = senθ dθ 0 2π dφ = 2π senθ dθ 2. Ω = 0 π 2π senθ dθ = 4 π Risultato valido per una superficie di qualsiasi forma che contenga O L angolo solido sotto cui un punto interno ad una superficie chiusa vede la superficie è sempre 4p, che è il valore massimo di Ω Unità di misura dell angolo solido: STERADIANTE
15 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Dimostrazione della legge di Gauss Ritornando all espressione del flusso del campo elettrico, si trova che: dφ E = q 4 π ε 0 dω Il flusso di una carica puntiforme dipende solo dall ANGOLO SOLIDO NON DIPENDE da superficie nè dalla distanza dalla carica! u n E dσ Tracciando delle semirette da q che definiscono un cono infinitesimo con vertice r dσ 0 in q, il flusso di E è lo stesso per qualsiasi superficie il cui contorno si appoggi sulle superfici laterali del cono stesso u n q
16 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Dimostrazione della legge di Gauss Flusso attraverso una superficie FINITA u n E Φ E = Σ E u n dσ = = q 4 π ε 0 q 4 π ε 0 Ω dω Σ Ω = angolo solido sotto cui è visto il contorno della superficie Σ dalla carica q q Ω
17 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Dimostrazione della legge di Gauss Flusso attraverso una superficie CHIUSA Caso A: Carica INTERNA A E θ u n Φ E = q 4πε 0 dω = q ε 0 q Caso B: Carica ESTERNA dφ 1 E = E 1 u n dσ 1 = q 4πε 0 dω dφ 2 E = E 2 u n dσ 2 = q 4πε 0 dω dφ 1 E + dφ 2 E = 0 B dσ 2 E 2 dσ 1 u n u n E 1 Φ E = E u n dσ = 0 q
18 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Dimostrazione della legge di Gauss Estendendo al caso di più cariche puntiformi si ottiene: Φ E = 1 ε 0 i q i int Somma estesa a tutte e sole le CARICHE INTERNE alla superficie Σ Nel caso di distribuzioni CONTINUE di carica: Φ E = 1 ε 0 τ dq Integrale esteso al volume τ racchiuso dalla superficie Σ Rappresenta la carica totale contenuta all interno della superficie Σ
19 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Considerazioni e applicazioni della legge di Gauss CONSIDERAZIONI: 1. Il campo E é generato da TUTTE LE CARICHE, interne ed esterne alla superficie Σ 2. Il flusso del campo attraverso Σ dipende solo dalle cariche INTERNE 3. La dimostrazione della legge di Gauss si basa sul fatto che la dipendenza del campo elettrico E dalla distanza dalla carica va come 1 r 2 La legge di Gauss = formulazione alternativa della legge di Coulomb
20 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Considerazioni e applicazioni della legge di Gauss APPLICAZIONI: 1. Con la legge di Gauss è possibile determinare il campo E Nei casi di ELEVATO GRADO DI SIMMETRIA della distribuzione di carica (Es. sferica, cilindrica, pian) si individuano superfici chiuse nei cui punti il campo è parallelo o ortogonale alla superficie stessa 1. Campo PARALLELO alla superficie: E u n dσ = 0 contributo nullo 2. Campo PERPENDICOLARE alla superficie:e u n dσ = E dσ Φ E = E u n dσ = E dσ = E Σ = q ε 0 Nel caso della carica puntiforme si ricava E = q ε 0 Σ = q ε 0 4πr 2
21 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 3.1 Una carica q è distribuita con densità superficiale σ costante su una superficie sferica di raggio R. 1. Calcolare il campo elettrostatico e il potenziale nei punti all interno e all esterno della superficie. σ O R r P
22 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 3.2 Una carica q è distribuita con densità di carica volumetrica ρ uniforme nel volume di una sfera di raggio R. 1. Calcolare il campo elettrostatico e il potenziale nei punti all interno e all esterno della superficie. ρ O R r P
23 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 3.3 Calcolare il campo elettrostatico E generato da una carica distribuita con densità lineare λ su un filo indefinito.
24 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 3.4 Calcolare il campo elettrostatico E generato da una carica distribuita con densità superficiale σ su una lamina isolante.
25 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 3.5 Una particella dotata di carica q e massa m si trova in prossimità di un piano orizzontale isolante carico con densità di carica uniforme σ in cui è praticato un foro circolare di raggio R e centro C. 1. Si calcoli l altezza h 0 rispetto a C del punto lungo l asse del foro in cui la particella è in equilibrio. q 2. Se la particella è inizialmente ferma lungo l asse ad un altezza h 0 2 rispetto a C, osservando che la particella σ R C attraversa il centro del foro, quale sarà la sua velocità? (q = 1 nc, m = 1 mg, σ = 1 μc m2, R = 1 m)
26 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Divergenza del campo elettrico Ci interessa ricavare la FORMA LOCALE del teorema di Gauss Si utilizza il TEOREMA DELLA DIVERGENZA: Φ v = v u n dσ = τ v dτ Il FLUSSO di un campo vettoriale v attraverso una SUPERFICIE CHIUSA è uguale all INTEGRALE DELLA DIVERGENZA v di tale campo, esteso al VOLUME τ RACCHIUSO dalla stessa superficie
27 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Divergenza del campo elettrico Per cui la legge di Gauss diventa: Φ E = τ E dτ = 1 ε 0 τ ρ x, y, z dτ Si ottiene Dove ρ = densità di carica all interno del volume τ E = ρ ε 0 In coordinate cartesiane si esplicita: E = E x x + E y y + E z z ρ x, y, z = ε 0 FORMULAZIONE LOCALE DELLA LEGGE DI GAUSS
28 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Divergenza del campo elettrico Utilizzando il legame tra E e V in termini di gradiente (E = V) si ricava l EQUAZIONE DI POISSON: V = 2 V = 2 V x V y V z 2 = ρ ε 0 Caso particolare (ρ = 0: descrizione dello spazio vuoto) EQUAZIONE DI LAPLACE 2 V = 0
29 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Rotore del campo elettrico Ci interessa ricavare la forma locale dell espressione ottenuta nel primo capitolo, che affermava che il campo E ha circuitazione nulla, ovvero f.e.m. nulla: Ɛ = E ds = 0 Si utilizza il TEOREMA DI STOKES: v ds = Σ ( v) u n dσ La CIRCUITAZIONE di un campo vettoriale v lungo una linea chiusa C è pari al FLUSSO DEL ROTORE di tale campo (rot v = v) attraverso una qualunque superficie Σ avente per contorno C.
30 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Rotore del campo elettrico Applicando al CAMPO ELETTROSTATICO si trova: E = 0 Il campo elettrostatico è CONSERVATIVO cioè IRROTAZIONALE
31 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Riepilogo campo elettrostatico Il campo elettrostatico può essere calcolato in 3 MODI DIFFERENTI: 1. Dalla definizione diretta Calcolo può implicare 3 integrali di volume 2. Come gradiente del potenziale elettrico Calcolo può implicare un integrale (per il calcolo del potenziale) ed un operazione di derivazione per ogni componente spaziale 3. Dal teorema di Gauss Calcolo più immediato, ma applicabile solo in condizioni di un elevato grado di simmetria del sistema
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