LA TRASFORMATA DI LAPLACE

Transcript

1 LA TRASFORMATA DI LAPLACE I sistemi dinamii invarianti e lineari (e tali sono le reti elettrihe) possono essere studiati, nel dominio del tempo, attraverso le equazioni differenziali nelle quali l'inognita non è un numero reale, ome nelle equazioni algebrihe, bensì una funzione del tempo. e(t) Ad esempio la ondizione d equilibrio (legge generalizzata di Ohm) per una rete elettria ostituita dalla serie di un ondensatore di apaità C ed una resistenza di valore R, alimentata da un generatore di tensione qualsiasi avente f.e.m. e(t), si srive: he ostituise appunto una equazione differenziale dove l inognita è v(t), ovvero una funzione del tempo (he oltretutto dipende anhe dal valore he nell istante iniziale aveva la tensione ai api del ondensatore v(0 ), ovvero he dipende dalle ondizioni iniziali). Lo studio analitio di una simile equazione sarà visto nel orso di matematia ove si impareranno le regole per la risoluzione delle equazioni differenziali. Lo studio dei transitori, tuttavia, diventa più agevole, pur restando rigoroso, se si trasferise il alolo dal ampo reale, ove le variabili sono funzione del tempo t, al ampo omplesso, ove le variabili sono funzione di s s + j w ed s è hiamata frequenza omplessa. Tale operazione avviene mediante la trasformazione di Laplae L:

2 dove deve essere f(t)0 per t<0, f(t) definita per ogni t ³ 0, f(t) soddisfaente alle ondizioni di Dirihlet in ogni intervallo finito di tempo (ovvero presentare un numero finito di disontinuità, osillare tra un valore massimo e minimo un numero finito di volte, assumere solamente valori finiti). Tali ondizioni sono, almeno nelle appliazioni he i interessano, sempre soddisfatte. E' possibile anhe la antitrasformazione L -1 ossia il passaggio dalla F(s) alla f(t): Esiste quindi una orrispondenza biunivoa tra le funzioni f(t) trasformabili seondo Laplae e le loro trasformate F(s). Nei asi più omuni non è neessario alolare l'integrale ma è suffiiente onsultare la tabella riportata nelle pagine seguenti. Le regole fondamentali di trasformazione, utilizzate nelle appliazioni he i interessano, sono le seguenti: 1) La trasformata di Laplae del prodotto di una ostante K per la funzione f(t) è data dal prodotto fra la ostante stessa e la trasformata F(s) della f(t): L[ K f(t) ] K F(s) 2) La trasformata della derivata di una funzione f(t) è data dalla trasformata F(s) della funzione moltipliata per s e diminuita del valore f(0 - ) he la funzione assume all'istante t 0 - (ondizioni iniziali); in detto enuniato è anhe riassunto il osiddetto teorema della trasformata della derivata generalizzata: 3) La trasformata dell'integrale di una funzione f(t) orrisponde alla F(s) divisa per s: dove, nei asi pratii, l integrale sritto a seondo membro altro non è he la grandezza f(t) t alolata nell istante iniziale. 4) Teorema del valore iniziale: il valore assunto dalla funzione f(t) all'istante t0 si ottiene moltipliando s per la trasformata della funzione stessa e alolandone suessivamente il limite per s tendente all'infinito:

3 5) Teorema del valore finale: il valore assunto dalla funzione f(t) quando t tende a infinito si ottiene moltipliando s per la trasformata della funzione stessa e alolandone suessivamente il limite per s he tende a 0. Questo teorema vale solo se il denominatore della s F(s) ha radii tutte a parte reale minore di zero. Questi due teoremi onsentono di valutare rispettivamente il valore iniziale e quello finale (ondizione di regime statio) della grandezza assoggettata ad un fenomeno transitorio, nota he sia latrasformata della grandezza stessa. 6) La trasformata della somma di due funzioni f1(t) e f2(t) è data dalla somma delle trasformate delle due funzioni (la stessa regola vale anhe per le antitrasformate): L [ f1(t) + f2(t) ] F1(s) + F2(s) 7) Teorema della moltipliazione per t: 8) Teorema della traslazione in s: Ovvero una traslazione a nel dominio della variabile s orrisponde nel tempo a moltipliare per la quantità e -a t. 9) Teorema della traslazione nel tempo: Ovvero una traslazione t nel dominio del tempo orrisponde a moltipliare per il termine e -s t dominio della s. nel Il grande vantaggio di ondurre l'analisi del transitorio nel dominio della frequenza omplessa onsiste nel fatto he la trasformazione di Laplae onsente di riondurre operazioni on derivate ed integrali ad operazioni algebrihe ovvero di riondurre equazioni differenziali ad equazioni algebrihe. Quindi, in linea del tutto generale, possiamo onludere he assegnata una qualsiasi equazione differenziale, purhé siano rispettate le ondizioni sopra rihiamate, è possibile mediante la trasformata di Laplae passare dal dominio del tempo al dominio della frequenza omplessa, risolvere algebriamente l equazione in s osì ottenuta, ed infine antitrasformare per avere la soluzione nel dominio del tempo.

4 Risposta libera e risposta forzata di un sistema lineare Abbiamo in preedenza riavato dv v nel dominio del tempo t dt v i RC + Ora trasformo on Laplae L appliando i teoremi e le proprietà : RC( s v (0 ) + nel dominio di s i Notiamo he l usita (s) dipende sia dall ingresso i he dalla ondizione iniziale v (0). Riavo la risposta libera ossia l usita he dipende dalle sole ondizioni iniziali on ingresso nullo i0. 0 RC ( s v (0 ) + 0 src RCv (0 ) + ed infine lib RCv (0 ) 1+ RCs risposta libera Riavo la risposta forzata ossia l usita he dipende dal solo ingresso e ondizioni iniziali v (0 - )0. RCs + ed infine i for i. risposta forzata 1 + RCs Appliando la sovrapposizione si ha he la risposta totale è la somma della risposta libera e di quella forzata: RCv (0 ) i RCs 1+ RCs Eserizio Analizzare un iruito RL e riavare la risposta libera e forzata nel dominio di s relativa alla orrente imposta da un generatore di tensione in ingresso vi.

5 Relazioni ostitutive omponente Relazione ostitutiva Con ondizione iniziale apaità I v( 0 ) + I sc sc In s trasformando si ha X 1 sc induttanza In s trasformando si ha sli X L sl v ( t) Ri( t) In s trasformando si ha I i( 0 ) + sl RI resistenza In pratia rispetto le reattanze in alternata al posto di jω si sostituise s. Tutte le leggi dell elettrotenia ontinuano a valere nel dominio trasformato.

6 Il serbatoio termio Per un orpo dotato di apaità termia C Th esiste la seguente relazione fra quantità di alore Q aumulata e temperatura assoluta T raggiunta: Q C Th T La apaità termia è una grandezza fisia he si misura in Watt seondo/ C [W s/ C]. Pertanto, la legge he lega le variazioni di quantità di alore alle variazioni di temperatura è data da: ΔQ C Th ΔT Dividendo entrambi i membri per l'intervallo di tempo in ui tali variazioni avvengono, faendo tendere a zero tale intervallo e sostituendo gli inrementi finiti on gli infinitesimi, si ottiene il modello matematio di un serbatoio termio: dq/dt C Th dt/dt Questa formula mette in relazione la potenza aumulata (o eduta) ad un erto istante dal sebatoio termio on la veloità di variazione della sua temperatura. La trasmissione termia Se l interno e l esterno di un orpo sono poste rispettivamente a temperatura T e T a, al suo interno si stabilise un flusso di alore, dall'estremità più alda verso quello più fredda, dato da: dq/dt (1/R Th ) (T - T a ) Il flusso di alore rappresenta la quantità di energia he attraversa il orpo nell'unità di tempo e si misura in Watt [W]. La resistenza termia è un parametro he dipende dal tipo di materiale he ostituise il orpo, dalla sua forma e dalle sue dimensioni. Si misura in C/Watt [ C/W]. Per alolare, ad esempio, la resistenza termia di un avo di superfiie A e oeffiiente globale i trasmissione termia λ, si deve utilizzare la formula seguente: R Th 1/λA Il modello omplessivo Per ottenere il modello omplessivo di un sistema termio bisogna impostare la osiddetta equazione delbilanio energetio: Tradotta in formule, diventa: C Th dt/dt + (1/R Th ) [ T - T a ] P (t) T e T a sono rispettivamente la temperatura interna del sistema e la temperatura esterna (ambiente). Se assumiamo he la temperatura ambiente abbia valore ostante, sfruttando una nota proprietà delle derivate he pone:

7 d [ T - T a ]/dt dt/dt si ottiene : Sostituendo θ (t) T (t) - T a : Moltipliando tutto per R Th : C Th d [ T - T a ]/dt + (1/R Th ) [ T (t) - T a ] P (t) C Th dθ/dt + (1/R Th ) θ (t) P (t) R Th C Th dθ/dt + θ (t) R Th P (t) Sostituendo la ostante di tempo τ definita ome τ R Th C Th, si ottiene infine: τ dθ/dt + θ (t) R Th P (t) Questa equazione ostituise il modello matematio di un sistema termio e risulta analoga all equazione già vista di un sistema RC elettrio. Sistema elettrio RL. E t) v r + v L ( e riordando he v v r L Ri L di dt si ottiene di nuovo un equazione differenziale del primo ordine: di E( t) L di E ( t) Ri + L i + dove la τl/r. dt R R dt Soluzione generale dei sistemi del primo ordine al gradino. y( t) Y in e t τ + Y fin Y fin e t τ Dove Y in è il valore iniziale del transitorio e Y fin è quello finale.