Energia Potenziale Elettrica e Potenziale elettrico

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1 Enegia otenziale Elettica e otenziale elettico La foza di Coulomb, mattone di tutta l elettostatica, è una foza consevativa. E quindi possibile definie pe essa una funzione Enegia otenziale. L enegia potenziale è la funzione U(x,y,z), definita in ogni punto (x,y,z) dello spazio, che dà il lavoo necessaio pe potae una caica q da un punto di ifeimento pecedentemente deteminato al punto, cambiato di segno. Come pe ogni foza consevativa il calcolo del lavoo non dipende dalla taiettoia che viene pecosa. Le popietà dell enegia potenziale elettica saanno le medesime di quella gavitazionale già tovata in meccanica Una situazione simile a quella della foza gavitazionale in possimità della supeficie teeste (una foza cioè costante) si può ottenee all inteno di un condensatoe a piatti piani paalleli, nella egione in cui il campo è costante F mg j L( ) mg( h h) E / ε L( j ) ( q F q / ε )( h h ) E otenziale Elettico, Cap HRW

2 Enegia potenziale pe una caica puntifome L enegia potenziale posseduta da una caica puntifome q nel punto (x,y,z ) immesa in un campo elettico geneato dalla caica puntifome è dato dal lavoo necessaio potae la caica da ad un punto di ifeimento F ds q 2 l l ds q (x,y,z ) oiché il lavoo non dipende dalla taiettoia posso scegliee una taiettoia facile pe andae da a ) Mi muovo su un aco di ciconfeenza di cento in da al punto oiché lo spostamento è otogonale alla foza (adiale) il lavoo è nullo 2) Mi muovo in diezione adiale da a q (x if,y if,z if ) q 2 > d q d q 2 > q > d 2 q if q q Se consideo il punto di ifeimento all infinito. Il potenziale di una caica puntifome q posta nel punto all inteno del campo elettico geneato dalla caica distante da q è dato da: q ( ) U otenziale Elettico, Cap HRW 2

3 otenziale Si definisce potenziale del punto, V() il appoto dell enegia potenziale con il valoe della caica sonda q. V ( ) q a> if F ds q if > E ds [ ] [ J ] [ C] V Volt E lo stesso appoccio con cui si è passati dalla foza al campo elettico si elimina cioè la caica pova e si cea una funzione che dipende solo dalla sogente del campo. Nel caso in cui è una sogente puntifome alloa V ( ) V (, ) Il potenziale è associato unicamente alla distibuzione di caica che genea il campo elettico. Il potenziale di una caica puntifome costituisce il mattone con cui, con un pocesso di integazione, si costuisce il potenziale di una qualsiasi distibuzione di caiche (x,y,z ) V ( x, y, z ) vol ρ( x, y, z) dv ρ( x, y, z) Densità di caica in x, y, z otenziale Elettico, Cap HRW 3

4 Come è possibile passae dal campo elettico al potenziale (con un pocesso di integazione nello spazio) è anche possibile itonae indieto, passae cioè dal potenziale al campo elettico. Il pocedimento matematico è quello, ovviamente, di deivazione. Tuttavia: Il potenziale è uno scalae il campo elettico è un vettoe. Il passaggio da campo elettico a potenziale è stato fatto mediante un podotto scalae. Dal potenziale dobbiamo ecupeae tutte e te le componenti di E. L opeatoe matematico in gado di fae questo pocedimento inveso è il gadiente indicato come o come Gad. E V x y z θ sin ( ) θ ϕ θ z Le componenti del campo elettico si ottengono a patie dal potenziale come la deivata paziale del potenziale ispetto alla vaiabile stessa cambiata di segno. In dipendenza dal sistema di coodinate usato la deivata paziale può avee o meno un coefficiente moltiplicativo. In geneale pe descivee un sistema di caiche più che la foza o il campo elettico si usa il potenziale. Infatti: Il potenziale è uno scalae (ho cioè una sola componete, invece che te) Mediante il gadiente è facile passae dal potenziale al campo Il potenziale mi pemette il calcolo del lavoo, che in geneale è l ossevabile che seve nei poblemi patici otenziale Elettico, Cap HRW 4

5 otenziale di una caica puntifome E data una caica puntifome posta nell oigine del sistema di coodinate sfeiche. Il potenziale geneato da questa caica nel punto posto ad una distanza adiale è dato da: V ( ) V (, ) L andamento del potenziale V in funzione della distanza adiale è di tipo ipebolico. assando dalla posizione alla posizione (avvicinandosi quindi a caica sogente del campo) una caica qualsiasi q passa da una egione a potenziale più basso ad una egione a potenziale più alto. Il lavoo che dovà essee compiuto è pai a: L q V ( ) V ( ) q V (, ) V (, ) L q ( ( )) (( )) E cioè positivo pe una caica positiva e negativo pe una caica negativa Una caica positiva, se lasciata libea di muovesi, acceleeà da una egione di potenziale maggioe veso una egione a potenziale minoe otola giù dalla cuva Una caica negativa, se lasciata libea di muovesi, acceleeà da una egione di potenziale minoe veso una egione a potenziale maggioe Ovviamente non cambia assolutamente nulla pe un campo elettico geneato da una caica - basta solo invetie i segni otenziale Elettico, Cap HRW 5

6 Supefici Equipotenziali Una supeficie equipotenziale è una supeficie dello spazio 3D su cui il potenziale elettico è lo stesso in ogni punto. Nel caso di un campo elettico geneato da una caica puntifome le supefici equipotenziali sono delle sfee. V (, ) costante costante In caso di distibuzione di caiche più complesse le supefici equipotenziali possono assumee fome piu complicate Nota: Non si deve compiee lavoo pe muovee una caica su una supeficie equipotenziale L intensità del campo elettico geneato da una qualsiasi distibuzione di caiche è sempe pependicolae alle supefici equipotenziali ed è oientata nel veso del potenziale cescente otenziale Elettico, Cap HRW 6

7 Obiettivi geneali degli esecizi (aula/tuto.): Sape calcolae il potenziale dovuto ad una caica e compendee e sape utilizzae il pincipio di sovapposizione; Sape calcolae il lavoo nota la ddp e sape applicae la consevazione dell enegia pe l elettostatica. Nota: nche questi agomenti tattati esclusivamente in ula sono agomento di esame otenziale Elettico, Cap HRW 7