Lezione n La concentrazione

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1 1 La concentrazone Corso d Laurea: Economa Azendale Nello studo de fenomen economc e socal descrtt attraverso caratter quanttatv d tpo trasferble può essere nteressante analzzare la cosddetta concentrazone E trasferble quel carattere la cu ntenstà globale o una sua parte è attrbuble (anche solo dealmente) ad una o ad un certo numero d untà del collettvo oggetto d studo: Caratter trasferbl Reddto Quote d mercato Quote d produzone Rscho commercale (fatturato) Caratter non trasferbl Età Altezza Peso Component del nucleo famlare Se valor della varable sono lvell raggungbl da qualsas untà ed ha un senso la loro somma o aggregazone allora lo studo d concentrazone è plausble

2 2 Trasferbltà de caratter Corso d Laurea: Economa Azendale Data una dstrbuzone untara d n osservazond un carattere X, ordnat n senso crescente x 1 x 2... xn s è nteressat a studare come l ammontare totale del carattere n A= x sa rpartto fra le dverse untà statstche che compongono l collettvo: (1) equdstrbuzone cascuna delle n untà possede 1/n dell ammontare complessvo A del carattere, ossa: (2) massma concentrazone =1 x=a n=x l nteroammontaredel lntero carattereè posseduto daunauntà: untà: x 1= x 2=...=x n 1 =0 x n =A=nx

3 3 Defnzon prelmnar Corso d Laurea: Economa Azendale S consder un carattere (trasferble) X osservato su un collettvo d N untà statstche e sano queste ordnate secondo l ammontare posseduto Indchamo con p la frequenza relatva cumulata delle prme untà p= n Allo stesso modo, dato l ammontare A, ndchamo con q la frazone cumulata del carattere posseduto dalle prme untà A q = con A=A+A+A+...+A A S dmostra che per ogn untà del collettvo vale la relazone p q

4 4 Msurare la concentrazone Corso d Laurea: Economa Azendale Per msurare la concentrazone d un carattere X n un collettvo è necessaro consderare gl scart (dfferenze) tra frequenze relatve cumulate delle untà statstche e frazone cumulata dell ammontare d carattere posseduto: c=(p q) La concentrazone totale nel collettvo è ottenuta sommando gl scart N 1 =1 (p( q ) (1) quando s ha mnma concentrazone (EQUIDISTRIBUZIONE) la somma è par a 0 N 1 =1 p (2) quando s ha massma concentrazone allora la somma è par a

5 5 Costrure un ndce normalzzato Corso d Laurea: Economa Azendale In statstca ttt spesso abbamo l esgenza d costrure ndc che consentano un confronto tra le modaltà d una dstrbuzone o tra dstrbuzon dverse prescndendo dall untà d msura del carattere studato Per ottenere un ndce che vara tra 0 e 1 e può essere espresso n percentuale s usa dvdere l valore dell ndce per l valore massmo che l ndce stesso può assumere: ESEMPIO n = f = numero d untà statstche che presentano la esma modaltà numero d untà statstche che presentano la esma modaltà n rapporto alla dmensone del collettvo In generale l ndce ottenuto come rapporto tra l valore osservato e l massmo valore che s poteva osservare rspetto al fenomeno studato è detto INDICE NORMALIZZATO N.B.: la msura è nfluenzata dalle potes nzal assunte per calcolare l massmo dell ndce

6 6 L ndce d Gn Corso d Laurea: Economa Azendale Per msurare la concentrazone d un carattere n un collettvo è possble utlzzare un ndce normalzzato noto come rapporto d concentrazone d Gn n 1 n 1 ( p q ) R 1 q =1 =1 n 1 n 1 R= =1 p =1 =1 p se R=0 se R=1 equdstrbuzone max concentrazone S esprme n percentuale: un valore k compreso tra 0 e 1 ndca un lvello d concentrazone par al k% d quella massma osservable nella dstrbuzone del carattere studato

7 7 Regole d lettura dell ndce Corso d Laurea: Economa Azendale La lettura e l nterpretazone d un ndce è semplce ma spesso rsulta dffcle esprmerlo n modo charo e unvocamente comprensble In generale abbamo vsto come per R=0 s possa dre che non c è concentrazone oppure che è c è equdstrbuzone b dl del carattere studato t nel collettvo; allo stesso modo per R1 R=1 s può dre che c è massma concentrazone Quando l ndce R è compreso tra 0 e 1 allora la quanttà ottenuta può essere letta n termn percentual rspetto a quella massma osservable n quel collettvo per quel carattere: da 0 a 0,25 la concentrazone è bassa (es. R=0,18 > 18% della max concentrazone osservable, qund s ha una bassa concentrazone) da 0,25 a 0,5 la concentrazone è medo bassa (es. R=0,36 > 36% della max concentrazone osservable, qund s ha una concentrazone medo bassa) per R=0,5 sha una meda concentrazone da 0,5 a 0,75 la concentrazone è medo alta (es. R=0,69 > 69% della max concentrazone osservable, qund s ha una concentrazone medo alta) da 0,75 a 1 la concentrazone è alta (es. R=0,83 > 83% della max concentrazone osservable, qund s ha una alta concentrazone)

8 8 Uno schema per l calcolo Corso d Laurea: Economa Azendale untà X p A q p q Ordnate n senso crescente 1 x 1 1/n A 1 A 1 /A n p 1 q 1 d d d 2 x 2 2/n A 2 A 2 /A n p 2 q 2 3 x 3 3/n A 3 A 3 /A n p 3 q 3 x /n A A /A n p q n x n 1 A n 1 0 Per procedere da un punto d vsta operatvo allo studo della concentrazone è convenente organzzare dat secondo la tabella rportata d fanco R= n 1 =1 ( p q ) n 1 =1 p Totale dell ultma colonna fno alla penultma rga Totale della terza colonna fno alla penultma rga

9 9 Esempo Corso d Laurea: Economa Azendale Voglamo studare la concentrazone de rcav dervant dalla pubblctà d un collettvo d emttent prvate operant n una certa Regone Emttent televsve Introt pubblctar p A q Tele No , ,029 TV , ,067 Rete Beta , ,126 Telesuper , ,237 Canale , ,365 Noa TV , ,517 Tele Bella , ,673 Onda Sud , ,832 TV Max TOTALE: n 1 ( p q ) =1 n 1 R= =0,288 29% p n 1 =1 La concentrazone degl ntrot pubblctar è par al 29% d quella massma osservable C è un basso lvello d concentrazone

10 10 Alcune consderazon (1) Corso d Laurea: Economa Azendale La tabella rappresentata n basso rporta reddt d una socetà n cu vvono cnque ndvdu. A causa della rapda crescta economca, reddt d tutt gl ndvdu raddoppano. In questa socetà la dsuguaglanza è aumentata, dmnuta o nvarata? u.s. x A p q p q u.s. x A p q p q ,2 0,068 0,132 R= 0, ,2 0,068 0,132 R= 0, ,4 0,220 0, ,4 0,220 0, ,6 0,407 0, ,6 0,407 0, ,8 0,661 0, ,8 0,661 0, ,0 1, ,0 1,000 0 Qund se applchamo una trasformazone del tpo ax al carattere studato mantenamo lo stesso lvello d concentrazone, come dmostrato dall esempo Cosa accade se nvece applchamo una trasformazone del tpo X+b al carattere? Provamo ad aggungere a tutte le untà 500, 1000 e 2000 : cosa accade al lvello d concentrazone del reddto?

11 11 Alcune consderazon (2) Corso d Laurea: Economa Azendale u.s. x A p q p q ,20 0,068 0,132 R =0, ,40 0,220 0,180 (32%) ,60 0,407 0, ,80 0,661 0, ,00 1,000 0, ,20 0,128 0,072 R =0, ,40 0,303 0, (17%) ,60 0,495 0, ,80 0,725 0, ,00 1,000 0, ,20 0,151 0,049 R =0, ,40 0,333 0,067 (12%) ,60 0,528 0, ,80 0,748 0, ,00 1,000 0, ,20 0,175 0,025 R =0, ,366 0,034 (6%) ,60 0,563 0, ,80 0,773 0, ,00 1,000 0,000 La concentrazone non è nvarante per trasformazon del tpo X+b Se l reddto d cascun ndvduo aumenta n modo proporzonale la concentrazone non camba, ma se l reddto cresce della stessa quanttà allora la concentrazone rsulterà nferore, perché è come se l reddto d ogn untà s avvcnasse a quello degl altr Infatt la frazone d reddto posseduta dalle dverse untà rsulta essere: u.s ,068 0,128 0,151 0, ,153 0,174 0,182 0, ,186 0,193 0,195 0, ,254 0,229 0,220 0, ,339 0,275 0,252 0,227

12 Corso d Laurea: Economa Azendale 12 Rappresentazone grafca della concentrazone Con le coppe (p, q ) è possble realzzare una rappresentazone grafca della dll concentrazone detto Curva d Lorenz Frazone cumulata del carattere Frequenza cumulata delle untà Maggore è l area tra la bsettrce e la curva maggore è l lvello della concentrazone

13 13 Esempo Corso d Laurea: Economa Azendale q Il valore d R esprme l area compresa tra la spezzata d concentrazone e la lnea d equdstrbuzone: pù pccolo è R (fno a 0) pù la spezzata s avvcna alla lnea, pù grande è R (fno a 1) pù la spezzata concde con catet del trangolo (max concentrazone) p n 1 ( p q ) =1 R= =0,228 n 1 p =1 Rprendendo l esempo delle emttent televsve s vede anche grafcamente come c sa una bassa concentrazone degl ntrot pubblctar

14 Corso d Laurea: Economa Azendale 14 Rapporto d Concentrazone e Curva d Lorenz Consderamo l lvello d concentrazone d un fenomeno n due collettv (l prmo è ndcato con la lnea blu, l secondo con la lnea tratteggata rossa) A q B q p p Nel caso A possamo dre che nel collettvo ndcato con la lnea blu l fenomeno è meno concentrato rspetto a quello ndcato con la lnea rossa Nel caso B non ruscamo nvece dall anals della Curva d Lorenz a dare una rsposta precsa: Nel caso B non ruscamo nvece dall anals della Curva d Lorenz a dare una rsposta precsa: questo è uno de lmt della rappresentazone grafca. Dobbamo calcolare anche l ndce R per poter dre n quale collettvo l fenomeno è pù o meno concentrato

15 Corso d Laurea: Economa Azendale 15 Concentrazone per dstrbuzon d frequenza Consderamo un carattere dscreto con k modaltà, e supponamo d avere a dsposzone l numero d untà statstche sulle qual abbamo osservato le dverse modaltà In questo caso per calcolare la concentrazone è pù comodo utlzzare le seguent espresson: Frequenza cumulata delle untà n xn h =1 p= h q= n h k xn h =1 Frazone cumulata del carattere Per msurare la concentrazone utlzzamo ancora una volta l ndce d Gn

16 16 Dstrbuzon d frequenze n class Corso d Laurea: Economa Azendale Nelle dstrbuzon d frequenza e nelle dstrbuzon n class abbamo una nformazone n pù: possamo rlevare quante untà statstche posseggono un certo ammontare d carattere Nel caso d dstrbuzon n class per studare la concentrazone dobbamo consderare alcune potes nzal: CASO A: se conoscamo l ammontare d carattere posseduto e l numero d untà s assume che c sa equdstrbuzone (ogn untà della classe possede lo stesso ammontare d carattere) CASO B: se non conoscamo l ammontare d carattere posseduto dalle untà della classe allora possamo stmarlo moltplcando l valore centrale per l numero d untà statstche della classe In tale stuazone possamo utlzzare la formula k 1 R 1 q + q p p ( )( ) = (k è l numero d class) Attenzone!!! In questo caso la sommatora parte da =0

17 17 Rappresentazone grafca q O R B A Corso d Laurea: Economa Azendale L area d max concentrazone (l trangolo OAB) è sempre par a 1/2 L area d concentrazone (ndcata con R) s ottene sottraendo alla max concentrazone trapez e l trangolo (l prmo da snstra) traccat sotto la spezzata Per approssmazone ottenamo la formula gà vsta n precedenza p 1 pq 1 1 q+q(p p 1) q n 1+q(p p n n n 1) n R= 1 q + q p p 1 2 =0 ( )( ) +1 +1

18 18 Esempo Corso d Laurea: Economa Azendale class mprese addett ,0 2718, ,0 2845, ,2 1352, , , ,8 808, ,3 1588, ,8 529,4 2846, ,5 class mprese p addett q ,0 0,7177 0, ,3 0,2444 0, ,0 0,2234 0, ,6 0,2558 0, ,2 0,0363 0, ,0 0,1215 0, ,4 0,0152 0, ,2 0,1152 0, ,8 0, , ,7 0, , ,3 0,0029 0, ,3 0,1428 0, ,8 0,0003 1, ,4 0,0476 1, , ,5 1 Voglamo studare la concentrazone degl addett nelle mprese d un certo settore: n questo caso s assume l equdstrbuzone dell ammontare d carattere per ogn classe (addett per mpresa) ( q +1+ q )( p+1 p ) 0,1754 0,1664 0,0407 0,0207 0, ,0051 0,0005 0,4152 R 1 0,4152= 0,5848 La concentrazone d addett per mpresa osservata, par al 58% crca, è medo alta Frequenza relatva delle mprese Frazone relatva degl addett

19 Corso d Laurea: Economa Azendale 19 Esercz (1) Nella tabella d seguto sono rportat reddt dcharat (n ) per l anno 2003 da alcun parlamentar talan Studare la concentrazone del reddto (2) Nella tabella sono rportat dat relatv agl spettator de prm 10 flm della stagone 2003 Studare la concentrazone degl spettator

20 20 Esercz Corso d Laurea: Economa Azendale È stata analzzata la quanttà d ferro (n mg) contenuta n 84 campon d terreno A e 72 campon d terreno B. I rsultat sono rportat nella seguente tabella n cu sono rportate le dstrbuzon d frequenza e l ammontare d ferro per ogn classe: TERRENO A TERRENO B quanttà ferro (mg) n campon totale ferro (mg) n campon totale ferro (mg) Totale Verfcare n quale terreno l ferro è pù concentrato