Principi di ingegneria elettrica. Lezione 6 a. Analisi delle reti resistive

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1 Prncp d ngegnera elettrca Lezone 6 a Anals delle ret resste

2 Anals delle ret resste L anals d una rete elettrca (rsoluzone della rete) consste nel determnare tutte le corrent ncognte ne ram e tutt potenzal ncognt a nod allo scopo d descrere stante per stante l funzonamento della rete. In lnea generale una rete s rsole operatamente con un sstema d equazon che legano funzonalmente le aral. Le tecnche rsolute sono approntate per l ndduazone del pù pccolo nseme d equazon (e/o alla loro pù semplce formulazone) suffcent a rcaare tutte le aral ncognte.

3 Anals delle ret resste Questa rete presenta 4 nod e 5 lat. Per rsolere la rete s può procedere: con l calcolo de alor equalent delle resstenze (per comnazon sere-parallelo) per po applcare la regola del parttore d tensone e/o del parttore d corrente oppure calcolare le cadute d tensone su cascun componente man mano che s determnano le corrent ne ram. Pù n generale s possono fare le consderazon seguent.

4 Anals delle ret resste La rete presenta 5 lat e qund una corrente e una tensone ncognte per cascuno d ess, per un totale d 0 aral ncognte. Per de 4 nod s può applcare la LKC. Alle magle s può applcare la LKV. Per cascun lato s applca la relazone costtuta. S ottene un sstema d 0 equazon n 0 ncognte che rsole la rete. Le equazon espresse dalle LKC e LKV sono sempre lnear. Le relazon costtute dpendono nece da component e sono lnear per le resstenze ohmche e n generale per parametr lnear.

5 Topologa de crcut elettrc Un crcuto elettrco è un nseme connesso d pol generator e utlzzator. La topologa del crcuto è descrtta dal "grafo" e coè da un dsegno stlzzato n cu ders pol del crcuto sono rappresentat da tratt che unscono nod (punt d connessone tra morsett de pol). Quest tratt, denomnat lat del crcuto, engono numerat n successone. Anche nod engono numerat a partre da un nodo qualsas cu s assegna l numero zero (nodo d massa). I graf conness sono pr d part separate.

6 Per studare una rete occorre fssare le conenzon d msura delle corrent e delle tenson ne lat. Una olta scelta la conenzone d msura della corrente per ogn lato s otterrà un "grafo orentato.

7 Il teorema fondamentale delle ret elettrche Il teorema fondamentale delle ret elettrche afferma che una rete d l lat è rsolule: è possle ndduare le l ncognte, corrspondent alle tenson e corrent d lato, aalendos delle equazon lnearmente ndpendent relate alle LKC e LKT e a legam costtut. Se n sono nod della rete è possle screre (n) equazon ndpendent a nod asate sulla LKC. Consderando l'nseme d tutte le equazon a nod s può osserare che la corrente d ogn lato, essendo quest'ultmo nserto tra due nod, compare n due equazon ma con segn oppost. Poché la sommatora delle equazon a nod rsulta nulla, s deduce che esse sono lnearmente dpendent.

8 Il teorema fondamentale delle ret elettrche Escludamo l nodo d massa e mettamo n edenza lat che lo collegano con la parte restante della rete. Le (n) equazon che s deducono dalla LKC per nod, e non possono pù dare somma nulla, perché le corrent de lat, 7 e 8 conness con l nodo d massa compaono una sola olta nel sstema d equazon. S può dunque affermare che tal (n) equazon sono tra loro ndpendent.

9 Il teorema fondamentale delle ret elettrche Dmostramo ora che se a sono gl anell d una rete planare è possle screre (a) equazon ndpendent agl anell asate sulla LKT. Numeramo gl anell del grafo partendo da quello "esterno" cu assegnamo l numero zero orentandolo n senso antoraro. Orentamo po gl anell ntern n senso oraro.

10 Il teorema fondamentale delle ret elettrche Ogn lato del grafo fa parte d due anell e ene percorso n senso opposto (ne due anell) per cu la tensone a su cap compare con segn oppost nelle corrspondent LKT de due anell. Conseguentemente la somma delle tenson che compaono nelle LKT d tutt gl anell è nulla e questo ndca che tal equazon sono lnearmente dpendent.

11 Il teorema fondamentale delle ret elettrche Escludamo ora l'anello esterno e mettamo n edenza lat che fanno parte contemporaneamente degl anell ntern e d quello escluso. Le tenson d tal lat comparranno una sola olta nelle equazon agl anell ntern e pertanto esse non potranno pù aere somma nulla: s ence che (a) sono le equazon agl anell tra loro ndpendent.

12 Il teorema fondamentale delle ret elettrche Alero: nseme d ram che unsce tutt nod senza formare magle. Se l sono lat della rete allora (a)l-(n-).

13 Il teorema fondamentale delle ret elettrche Complessamente per una rete ad l lat e qund con l ncognte (la corrente e la tensone d ogn lato) aamo a dsposzone l equazon corrspondent a legam costtut d ogn lato, n- equazon ndpendent corrspondent alla LKC a nod ed (a)l-(n-) equazon ndpendent corrspondent alla LKT agl anell: l numero delle equazon ndpendent l è par qund al numero delle ncognte. Il teorema fondamentale propone un metodo d calcolo del tutto generale per la soluzone d una rete, ma rsulta puttosto oneroso perché rchede d alutare contemporaneamente tutte le corrent e le tenson. rspetto a metod che consentono l calcolo d un numero pù rdotto d ncognte Esso comunque fornsce le ndcazon d ase per tutt metod derat (p.es. potenzal a nod, corrent cclche) e consente la soluzone "a sta" delle ret pù semplc.

14 egola generale d rsoluzone delle ret Data una rete con n nod e l lat s possono screre: n- equazon lnearmente ndpendent a nod (LKC) l-(n-) equazon lnearmente ndpendent alle magle (LKT) l relazon costtute relate a lat Con questo nseme d relazon s compone un sstema d l equazon n l ncognte che rsole la rete.

15 Metodo de potenzal a nod In una rete con n nod, l potenzale elettrco d uno d ess ene assunto come rfermento per potenzal nodal de rmanent n- nod (d solto al rfermento ene assegnato artraramente l alore zero). Applcando la LKC a quest n- nod s ottene un sstema d n- equazon lnearmente ndpendent. Se le corrent ncognte (aendo presente che le corrent mpresse da generator sono termn not) engono espresse come prodotto tensone conduttanza, le equazon presenteranno come ncognte gl n- potenzal nodal rfert al nodo 0. solto l sstema, not potenzal nodal, la corrente d cascun ramo della rete s calcola come prodotto tra la d.d.p. tra nod a qual l ramo è connesso e la conduttanza del ramo stesso.

16 Metodo de potenzal a nod modaltà operate S fssa un nodo d rfermento: normalmente quello cu afferscono l maggor numero d ram. Per ogn -esmo nodo degl n- nod ndpendent, consderat ram ad esso afferent, s applca la LKC. Posto che l lato l -j sa connesso a nod e j, s sosttusce alla corrente l d ogn lato l prodotto (*) j l. S ottengono n- equazon negl n- potenzal nodal ncognt. (*) j è la d.d.p. tra nod e j; l è la conduttanza del lato l -j

17 La corrente ene espressa n funzone della tensone e della resstenza del polo Per ogn nodo s applca la LKC Metodo de potenzal a nod ) ( a a 0 0 ) ( ) ( ) ( d c a

18 Metodo de potenzal a nod

19 Metodo de potenzal a nod

20 Metodo de potenzal a nod

21 Metodo de potenzal a nod

22 Metodo de potenzal a nod 0 0 I I I ) ( I ) ( I ) ( I ) ( c a a c a a

23 Metodo de potenzal a nod

24 Metodo de potenzal a nod spezone sa

25 Metodo de potenzal a nod

26 Metodo de potenzal a nod La matrce de coeffcent è sempre smmetrca

27 Metodo de potenzal a nod esempo

28 Metodo de potenzal a nod esempo

29 Metodo de potenzal a nod ret con generator d tensone

30 Metodo de potenzal a nod ret con generator d tensone

31 Metodo de potenzal a nod ret con generator d tensone

32 Metodo de potenzal a nod esempo 4 V 4 V

33 Metodo de potenzal a nod esempo

34 0 0 0 nodo a nodo c a S a c a S Poché c 0 e S è un termne noto, s ottene un sstema d equazon nelle due ncognte a e, che n termn d conduttanze s scre: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 a a S a S a a Metodo de potenzal a nod esempo

35 Metodo de potenzal a nod esempo I I 0 ma 50 ma 4 kω kω 0 kω kω

36 Elettrotecnca - Prncp e applcazon orgo zzon I nodo I nodo Il segno rsultante per ndca che l erso effetto è opposto a quello attruto nzalmente n modo artraro. ( ) ( ) ( ) ( ) 4 I nodo I nodo ma V V

37 Elettrotecnca - Prncp e applcazon orgo zzon Anals nodale con sorgent d tensone

38 Elettrotecnca - Prncp e applcazon orgo zzon In presenza d generator d tenson l anals nodale s solge tenendo presente che potenzal de nod conness a generator sono aral non pù ndpendent, ma dpendent. ( ) ( ) S c S c S a S c c c a nodoc nodo

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