Modellazione e Analisi di Reti Elettriche

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1 Modellazione e Analisi di eti Elettriche Modellazione e Analisi di eti Elettriche Davide Giglio Introduzione alle eti Elettriche e reti elettriche costituite da resistori, condensatori e induttori (bipoli), con resistenza, capacità e induttanza costanti, sono un tipico esempio di sistema dinamico lineare tempo invariante. Per potere definire le equazioni di stato di una rete elettrica è necessario partire dalle leggi di funzionamento dei tre componenti illustrati nella seguente figura (a sinistra un resistore, al centro un condensatore e a destra un resistore), dove con v e i sono indicate le tensioni e le correnti. i i i v v v Il resistore è caratterizzato da una tensione ai morsetti del componente che è proporzionale alla corrente che scorre all interno del componente stesso. a sua legge elementare è: v = i Il condensatore è caratterizzato da una corrente che scorre all interno del componente che è proporzionale alla derivata della tensione ai morsetti del componente stesso. Si ha quindi: i = d dt v induttore è caratterizzato da una tensione ai morsetti del componente che è proporzionale alla derivata della corrente che scorre all interno del componente stesso, ovvero: v = d dt i In generale, nelle reti elettriche costituite dai tre bipoli sopra descritti, lo stato del sistema è rappresentato dalle tensioni ai morsetti dei condensatori e dalle correnti che scorrono all interno degli induttori. Dal punto di vista fisico infatti, lo stato del sistema è rappresentato dalle grandezze che definiscono l energia (potenziale) che viene immagazzinata in un circuito elettrico; nei circuiti elettrici costituiti da resistori, condensatori e induttori, l energia viene immagazzinata nei condensatori (e condensatore = 2 v2 ) e negli induttori (e induttore = 2 i2 ). e equazioni di stato possono essere ricavate in maniera sistematica a partire dalle leggi fondamentali e sfruttando il Davide Giglio aboratorio di Analisi dei Sistemi

2 Modellazione e Analisi di eti Elettriche 2 fatto che le somme delle correnti entranti in un nodo sono nulle (prima legge di Kirchoff equazione ai nodi) e le somme delle tensioni lungo una maglia sono nulle (seconda legge di Kirchoff equazione alle maglie). Essendo le variabili di stato relative ai condensatori e agli induttori (che rappresentano gli elementi reattivi del sistema), l ordine del sistema è uguale al numero di tali elementi presenti nella rete. Una rete elettrica può essere alimentata in tensione o in corrente. on riferimento alla figura seguente, a sinistra vi è la schematizzazione di un generatore di tensione e a destra quella di un generatore di corrente. Il generatore di tensione e il generatore di corrente sono due generatori indipendenti ovvero il primo fornisce una certa tensione qualsiasi sia la corrente erogata mentre il secondo fornisce una certa corrente qualsiasi sia la tensione ai suoi capi. a tensione o la corrente rappresentano quindi l ingresso del sistema. Il tipo di generatore da utilizzare (di tensione o di corrente) dipende dalla tipologia della rete e, in particolare, dalla presenza di bipoli in serie o in parallelo. i v In genere, le tensioni e le correnti generate e poste in ingresso alla rete elettrica possono essere continue oppure alternate: nel primo caso avremo in ingresso un segnale costante (gradino) mentre nel secondo caso un segnale sinusoidale (in certi casi si esplicita il fatto di essere in tensione o corrente alternata mettendo il simbolo sinusoidale nella schematizzazione del generatore e, più precisamente, all interno del cerchio). E comunque possibile mettere in ingresso anche altri tipi di segnale, ad esempio un onda quadra. e reti elettriche più semplici sono quelle costituite da due bipoli, di cui almeno uno reattivo. Si hanno pertanto i circuiti, e. I primi due vengono descritti da equazioni di stato del primo ordine mentre gli ultimi da equazioni del secondo ordine. 2 ircuiti v i i v Davide Giglio aboratorio di Analisi dei Sistemi

3 Modellazione e Analisi di eti Elettriche 3 Nella figura precedente è illustrato un circuito in serie. Tale rete elettrica può essere rappresentata come un sistema TI di primo ordine la cui variabile di stato è la tensione ai capi del condensatore. Per ottenere l equazione di stato si applica la seconda legge di Kirchoff all unica maglia presente nella rete. A tale proposito, siano la tensione in ingresso alla rete (il circuito serie è alimentato da un generatore di tensione ovvero è pilotato in tensione), v e v le tensioni ai capi del resistore e del condensatore, i e i le correnti che scorrono all interno del resistore e del condensatore (si veda la figura precedente, a destra). a corrente all interno dei componenti della stessa maglia è uguale. Si ha quindi: i = i = i Per quanto riguarda invece le tensioni, la seconda legge di Kirchoff fornisce: = v + v = = i + v = = d dt v + v equazione di stato del sistema è pertanto: d dt v = v + Ipotizzando come uscita la tensione ai capi del condensatore si ottiene: v = v + y = v Valutiamo il comportamento del sistema attraverso Matlab e Simulink. a figura seguente (a sinistra) illustra la risposta al gradino, ipotizzando = 5 Ohm e = 2 Farad, e una tensione di ingresso costante pari a V in = Volt (cioè = ). v i Da questa figura si vede come la tensione ai capi del condensatore. inizialmente nulla, aumenti fino a tendere al valore Volt. Il significato fisico di questo comportamento è il processo di carica del Davide Giglio aboratorio di Analisi dei Sistemi

4 Modellazione e Analisi di eti Elettriche 4 condensatore (tutte le cariche che inizialmente fluiscono all interno della rete rimangono intrappolate tra le facce del condensatore). Questo comportamento può essere verificato analiticamente attraverso la determinazione della funzione di trasferimento del sistema e quindi dell uscita. a funzione di trasferimento è: T(s) = s + = s + Supponendo che il segnale d ingresso costante abbia un ampiezza pari a V in, l uscita del sistema è: Y (s) = T(s) U(s) = s + V in s = V in ( s s + che, antitrasformata, diventa la seguente funzione nel tempo: y = v = V in ( e t) ) Tale funzione corrisponde (quando V in = ) alla curva illustrata nella precedente figura. uscita del sistema y, derivata e moltiplicata per la costante, fornisce l andamento della corrente nel circuito al variare del tempo. Analiticamente si ottiene: i = d dt y = V in e t = V in e t che corrisponde (quando V in = ) al segnale illustrato nella figura precedente a destra. ome si può vedere, la corrente, inizialmente non nulla, con il passare del tempo tende a a causa delle cariche che non possono più fluire rimanendo bloccate all interno del condensatore. Il circuito presentato può essere modellato in Simulink attraverso il seguente diagramma a blocchi: /(*) v' s v y /(*) Attraverso questo diagramma a blocchi valutiamo il comportamento del circuito in presenza di un segnale in ingresso sinusoidale (sistema pilotato in tensione alternata) e in presenza di un onda quadra in ingresso. Nella figura seguente sono illustrati l ingresso e l uscita del sistema nel caso di segnale in ingresso sinusoidale con con frequenza ω =.5 rad sec. ome si può vedere, passato un certo periodo di transitorio, il segnale in uscita è una sinusoide di ampiezza minore. effetto di un sistema di questo tipo è una attenuazione del segnale in ingresso. Davide Giglio aboratorio di Analisi dei Sistemi

5 Modellazione e Analisi di eti Elettriche 5 y Se però mettiamo in ingresso un segnale sinusoidale con frequenza più bassa (ad esempio ω =, il segnale di uscita risulta meno attenuato, come si può vedere nella figura seguente. rad sec y E possibile verificare analiticamente questo comportamento attraverso il calcolo della risposta in frequenza del sistema, ovvero del comportamento a regime del sistema quando è pilotato da un ingresso sinusoidale. Sia sinωt il segnale in ingresso. uscita del sistema a regime è pari a: y r = A sin(ωt + ϕ) dove A e ϕ sono rispettivamente il modulo e la fase di T(jω). Si ha: ( jω ) T(jω) = jω + = ω 2 = 2 2 A = ( 2 2 ω 2 + ) ω 2 ( 2 2 ω 2 + ) 2 = ω ϕ = arctan 2 2 ω 2 + = arctan(ω) 2 2 ω ω 2 + j 2 2 ω ω 2 + ω 2 2 ω 2 + Davide Giglio aboratorio di Analisi dei Sistemi

6 Modellazione e Analisi di eti Elettriche 6 uscita del sistema a regime è quindi: 2 y r = 2 ω ω 2 sin(ωt arctan(ω)) + ispetto all ingresso, l uscita del sistema è sfasata verso destra di una quantità pari ad arctan(ω) e presenta una attenuazione in quanto è evidente che 2 2 ω ω 2 + = <. A tale proposito, si può inoltre osservare che l attenuazione è tanto più forte quanto più è alta la frequenza 2 2 ω 2 + ω del segnale in ingresso, mentre per valori bassi di ω l uscita non viene attenuata più di tanto (ovviamente hanno influenza anche i valori di e ). Questo è il tipico comportamento di un filtro passa-basso (di primo ordine) ovvero un sistema che taglia le alte frequenze e lascia passare le basse frequenze. I filtri dei segnali sono molto importanti in quanto consentono di pulire il segnale da frequenze indesiderate (ad esempio, rumori e disturbi che agiscono a determinate frequenze). Il circuito può fungere anche da filtro passa-alto (di primo ordine), che taglia le basse frequenze e lascia passare le alte frequenze. Per fare ciò è necessario considerare come uscita la tensione ai capi del resistore v. icordando che = v + v, il sistema TI diventa: v = v + y = v + a funzione di trasferimento di questo sistema è: T(s) = s + + = s + = s s + a risposta in frequenza, ovvero il valore del segnale di uscita a regime a fronte di un ingresso sinusoidale sin ωt, è: y r = ω ( ( )) 2 2 ω ω 2 sin ωt + arctan + ω essendo: ( jω jω ) ω 2 = 2 2 jω ω 2 j ω T(jω) = jω + = ω 2 = ω 4 A = ( 2 2 ω 2 + ) ω 2 ( 2 2 ω 2 + ) 2 = ω 2 2 ω ω 2 + ω ( ) ϕ = arctan 2 2 ω ω 2 = arctan ω 2 2 ω ω ω j ω 2 2 ω 2 + A parte lo sfasamento (in questo caso è verso sinistra e ha un intensità pari all inverso di quella del caso precedente), in questo caso si ha una forte attenuazione del segnale per bassi valori di ω, mentre il segnale di ingresso rimane praticamente invariato per alti valori di ω. Quindi il circuito con uscita sul resistore funge da filtro passa-alto. Torniamo al sistema considerato inizialmente (circuito con uscita sul condensatore). Davide Giglio aboratorio di Analisi dei Sistemi

7 Modellazione e Analisi di eti Elettriche 7 y Nella figura precedente sono illustrati l ingresso e l uscita del sistema nel caso di onda quadra in ingresso. ome si può vedere, l uscita del sistema è caratterizzata da periodi di carica del condensatore (corrispondente agli intervalli di tempo in cui l ingresso è ) seguiti da periodi di scarica del condensatore (corrispondente agli intervalli di tempo in cui l ingresso è ). Il fenomeno di scarica del condensatore può essere osservato attraverso la risposta libera del sistema. a forma del segnale di uscita dipende fortemente dai valori e. Nella figura precedente è illustrato il comportamento dell uscita quando = 2 Ohm e = Farad mentre nella figura successiva è illustrato il comportamento dell uscita quando =.8 Ohm e.5 Farad. y Nel caso in cui >, quando = il condensatore fa molta fatica a caricarsi e quindi presenterà un lungo periodo di transitorio; allo stesso modo, quando = la scarica del condensatore è molto lenta. In pratica, il segnale, sia nella fase di carica che nella fase di scarica del condensatore non riesce mai a raggiungere valori prossimi al valore a cui tende ( nella carica e nella scarica). Il risultato è un segnale in uscita con un andamento triangolare come quello illustrato nella figura vista in precedenza. Per > e soprattutto per, si ha invece, in corrispondenza di =, una carica del condensatore molto rapida e quindi l andamento esponenziale può essere assimilato ad una andamento a gradino; allo stesso modo, quando = il condensatore subirà una scarica molto veloce. Il risultato è un segnale in uscita assimilabile all onda quadra in ingresso, come quello illustrato nella figura precedente. Davide Giglio aboratorio di Analisi dei Sistemi

8 Modellazione e Analisi di eti Elettriche 8 onda quadra in ingresso può essere generata attraverso un generatore di tensione costante che viene alternativamente connesso al circuito da uno switch. Nel caso illustrato in figura il generatore di tensione è collegato ai due bipoli e quindi si carica il condensatore. Quando lo switch viene posizionato sull altro connettore, i due bipoli vengono corto-circuitati (non ricevono più la tensione fornita dal generatore) e quindi si scarica il condensatore (in questo caso si ha l evoluzione libera del sistema). evoluzione libera del circuito in serie può essere studiata a partire dal circuito illustrato nella figura seguente. Nel circuito non è presente alcun generatore ma si suppone che, all istante iniziale, la tensione ai capi del condensatore non sia nulla e sia uguale a V. V equazione di stato del sistema è la stessa vista in precedenza in cui però bisogna imporre =. a risposta libera, dovuta esclusivamente alle condizioni iniziali, è: Y l (s) = s + V = V s + che, antitrasformata, diventa la seguente funzione nel tempo: y l = V e t Questa curva rappresenta l andamento nel tempo della tensione ai capi del condensatore quando il circuito non è alimentato. ome si può vedere nella figura seguente (si è di nuovo ipotizzato V = Volt, oltre che = 5 Ohm e = 2 Farad), la tensione presente inizialmente ai capi del condensatore va via via estinguendosi con il passare del tempo (scarica del condensatore). Davide Giglio aboratorio di Analisi dei Sistemi

9 Modellazione e Analisi di eti Elettriche 9 v Il resistore e il condensatore possono essere messi in parallelo invece che in serie. Il circuito risultante è quello illustrato nella figura seguente. Si noti che in questo caso il circuito è alimentato da un generatore di corrente che fornisce una corrente a prescindere dalla tensione ai capi del generatore. ome nel caso del circuito in serie, anche il circuito in parallelo può essere rappresentato come un sistema TI di primo ordine, la cui variabile di stato è sempre la tensione ai capi del condensatore. Questa volta però, per ottenere l equazione di stato, bisogna applicare la prima legge di Kirchoff al nodo che unisce generatore di corrente, resistore e condensatore. i i v v In un sistema di questo tipo la tensione ai capi dei tre componenti è la stessa: v = v = v Invece, la corrente entrante il nodo citato in precedenza è uguale alla corrente uscente, ovvero (prima legge di Kirchoff): = i + i = = v + d dt v = = v + d dt v equazione di stato del sistema è quindi: d dt v = v + Davide Giglio aboratorio di Analisi dei Sistemi

10 Modellazione e Analisi di eti Elettriche onsiderando come uscita sempre la tensione ai capi del condensatore si ottiene: v = v + y = v Il comportamento nel tempo del circuito in parallelo è molto simile al comportamento visto in precedenza per quanto riguarda il circuito in serie (si noti comunque la variazione in ampiezza del segnale). Nella figura seguente (a sinistra) è illustrata la risposta al gradino ottenuta con Matlab, ipotizzando = 5 Ohm e = 2 Farad, e una corrente di ingresso costante pari a I in = Ampère. 5 v 5 i Dal punto di vista analitico, l uscita del sistema (cioè la tensione ai capi del condensatore ma anche di ogni altro bipolo del circuito) è data da Y (s) = T(s) U(s) = s + in Iin I s = s ( ) s + avendo indicato con I in la corrente costante in ingresso. Antitrasformando si ottiene la seguente funzione nel tempo: y = v = I in ( e t) uscita del sistema y, derivata e moltiplicata per la costante, fornisce l andamento della corrente che fluisce nel condensatore al variare del tempo (figura precedente a destra). Analiticamente si ottiene: i = d dt y = V in e t = I in e t Anche la risposta in frequenza fornisce risultati analoghi a quelli del circuito in serie. In questo caso, il valore del segnale a regime è 2 y r = 2 ω ω 2 sin (ωt arctan(ω)) + cioè, rispetto alla risposta in frequenza del circuito in serie, vi un ulteriore amplificazione del segnale di ingresso (o attenuazione se < ). Davide Giglio aboratorio di Analisi dei Sistemi

11 Modellazione e Analisi di eti Elettriche 3 ircuiti Il circuito, illustrato nella seguente figura, presenta un comportamento simile a quello del circuito. In questo caso l elemento dinamico è rappresentato dall induttore. Il circuito può essere rappresentato come un sistema TI di primo ordine la cui variabile di stato è la corrente che fluisce all interno dell induttore. v i i v Analogamente a quanto in precedenza, per ottenere l equazione di stato del circuito in serie, si applica la seconda legge di Kirchoff all unica maglia presente nella rete. A tale proposito, siano la tensione in ingresso alla rete, v e v le tensioni ai capi del resistore e dell induttore, i e i le correnti che scorrono all interno del resistore e dell induttore (si veda la figura precedente, a destra). a corrente all interno dei componenti della stessa maglia è uguale. Si ha quindi: i = i i rappresenta la variabile di stato del sistema. Dalla seconda legge di Kirchoff si ha: = v + v = = i + d dt i = = i + d dt i equazione di stato del sistema è pertanto: d dt i = i + Ipotizzando come uscita la corrente che fluisce all interno dell induttore si ottiene: i = i + y = i a figura seguente (a sinistra), ottenuta con Matlab, illustra la risposta al gradino, ipotizzando = 2 Ohm e = 2 Henry, e una tensione di ingresso costante pari a V in = Volt (cioè = ). Davide Giglio aboratorio di Analisi dei Sistemi

12 Modellazione e Analisi di eti Elettriche 2 i v In relazione al grafico ottenuto, si possono fare delle valutazioni equivalenti a quelle fatte per il circuito in serie, facendo attenzione però che in questo caso l uscita è rappresentata dalla corrente e non dalla tensione. Quindi, in questo caso, l induttore, alimentato da una tensione costante, viene percorso dalla massima corrente possibile, mentre la tensione ai capi dell induttore va esaurendosi nel tempo (figura a destra). Per verificare analiticamente questo comportamento, si consideri la funzione di trasferimento del sistema: T(s) = s + = s + Supponendo che il segnale d ingresso costante abbia un ampiezza pari a V in, l uscita del sistema è: Y (s) = T(s) U(s) = s + V in s = V in ( s s + ) = V in s V in s + che, antitrasformata, diventa la seguente funzione nel tempo: y = i = V in ( e t) Tale funzione corrisponde (quando V in = ) alla curva illustrata nella precedente figura. uscita del sistema y, derivata e moltiplicata per la costante, fornisce l andamento della tensione ai capi dell induttore al variare del tempo. Analiticamente si ottiene: v = d dt y = V in e t che corrisponde (quando V in = ) al segnale illustrato nella figura precedente a destra. ome si può vedere, la tensione, inizialmente non nulla, con il passare del tempo tende a (l induttore tende a corto-circuitarsi). o schema Simulink del circuito, illustrato nella seguente figura, ci consente di valutare il comportamento del sistema alimentato da tensioni con una particolare forma d onda. Davide Giglio aboratorio di Analisi dei Sistemi

13 Modellazione e Analisi di eti Elettriche 3 / i' s i y / Ad esempio, nella figura seguente sono illustrati l ingresso e l uscita del sistema nel caso di segnale in ingresso sinusoidale con frequenza ω =.5 rad sec. Anche in questo caso, passato un certo periodo di transitorio, il segnale in uscita è una sinusoide di ampiezza minore. Bisogna però fare sempre attenzione perché tale segnale in uscita è la corrente nell induttore e non la tensione ai suoi capi. Per fare quindi delle considerazioni relative alle caratteristiche di filtraggio dobbiamo considerare la derivata nel tempo di questo segnale di uscita. ome si vedrà più avanti analiticamente, il circuito in serie, così come presentato, ha caratteristiche di filtraggio passa-alto. y Attraverso il calcolo della risposta in frequenza determiniamo analiticamente il valore dell uscita a regime con il segnale sin ωt in ingresso. uscita è: ( ( )) 2 ω y r = ω sin ωt arctan ω essendo: T(jω) = jω + = A = ( jω ) ω = 2 ( 2 ω ) ω 2 ( 2 ω ) 2 = ϕ = arctan ω 2 ω ω = arctan 2 + j ω 2 ω = 2 ω ω ( ) ω 2 ω j ω 2 ω Davide Giglio aboratorio di Analisi dei Sistemi

14 Modellazione e Analisi di eti Elettriche 4 ome già osservato precedentemente, y r rappresenta la corrente nell induttore. Per verificare caratteristiche di filtraggio dobbiamo invece verificare il comportamento a regime del valore della tensione ai capi dell induttore. Per effettuare questo calcolo, osserviamo che: y = { } s Y (s) y( ) e quindi, supponendo y( ) =, si ottiene: ω y = ( s s + ) = s (s 2 + ω 2 ) s + ω s 2 + ω 2 E quindi possibile determinare la risposta in frequenza al sistema caratterizzato dalla funzione di trasferimento: T(s) = s s + Il risultato è il valore a regime della tensione ai capi dell induttore: v,r = ω ( ( )) 2 ω ω sin ωt + arctan ω essendo: ( jω jω ) T(jω) = jω jω + = = ω2 j 2 ω = ω ω ω 4 A = ( 2 ω ) ω 2 ( 2 ω ) 2 = ω 2 ω ω ω ( ) ϕ = arctan 2 ω ω 2 = arctan ω 2 ω ω 2 2 ω j ω 2 ω analisi di questo valore a regime, al variare della frequenza ω del segnale di ingresso, porta a concludere che il circuito in serie può essere utilizzato come filtro passa-alto. i i v v Davide Giglio aboratorio di Analisi dei Sistemi

15 Modellazione e Analisi di eti Elettriche 5 Il resistore e l induttore possono essere messi in parallelo invece che in serie. Il circuito risultante è quello illustrato nella figura precedente. In questo caso il circuito è alimentato da un generatore di corrente che fornisce una corrente a prescindere dalla tensione ai capi del generatore. Per ottenere l equazione di stato del circuito parallelo si applica la prima legge di Kirchoff al nodo che unisce generatore di corrente, resistore e induttore. Essendo i componenti in parallelo, la tensione ai capi del generatore, del resistore e dell induttore è la stessa: v = v = v Invece, la corrente entrante il nodo che unisce i tre bipoli è uguale alla corrente uscente, ovvero (prima legge di Kirchoff): = i + i = = v + i = = v + i = equazione di stato del sistema è quindi: d dt i = i + d dt i + i onsiderando come uscita sempre la corrente all interno dell induttore si ottiene: i = i + y = i Il comportamento nel tempo del circuito in parallelo è analogo (a meno di differenze dovute ai diversi parametri) al comportamento visto per il circuito in serie. 4 ircuito (oscillatore elettrico) v i i v Il circuito illustrato nella precedente figura è la più semplice rete elettrica che viene rappresentata da un sistema TI di secondo ordine. Il circuito presenta infatti due elementi dinamici: un Davide Giglio aboratorio di Analisi dei Sistemi

16 Modellazione e Analisi di eti Elettriche 6 induttore (con induttanza ) collegato in serie ad un condensatore (con capacità ). Il circuito è alimentato da un generatore di tensione. e variabili di stato del sistema TI saranno la corrente che fluisce all interno dell induttore (che, data la struttura della rete, corrisponde alla corrente che circola nell intera maglia) e la tensione ai capi del condensatore. Siano la tensione in ingresso alla rete, v e v le tensioni ai capi dell induttore e del condensatore, i e i le correnti che scorrono all interno dell induttore e del condensatore. Si osserva subito che le correnti che fluiscono nei singoli bipoli sono tutte uguali, cioè: i = i a seconda legge di Kirchoff, applicata all unica maglia presente nella rete, fornisce: = v + v = = d dt i + v Questa equazione è un equazione di stato. Per determinare l altra equazione di stato bisogna cercare un equazione che metta in relazione la derivata dell altra variabile di stato (la tensione ai capi del condensatore) con le due variabili di stato. A tale proposito, si osservi che la legge di funzionamento del condensatore mette in relazione la derivata della tensione ai capi del condensatore con la corrente che fluisce al proprio interno, che però è la stessa della corrente che fluisce all interno dell induttore, ovvero: d dt v = i = i Questa relazione può essere utilizzata (nella determinazione delle equazioni di stato) ogni volta che un condensatore e un induttore sono presenti nella stessa maglia. Si ha quindi: d dt i = v + d dt v = i Ponendo i = x e v = x 2 e ipotizzando come uscita la tensione ai capi del condensatore si ha la seguente classe di sistemi TI: ẋ = x + y = [ ] x Prima di valutare il comportamento del sistema attraverso Matlab e Simulink, facciamo alcune considerazioni su questa classe di sistemi. [ ] s det(si A) = det = s 2 + s = Essendo > il sistema presenta due poli complessi coniugati a parte reale nulla: s = ±j Davide Giglio aboratorio di Analisi dei Sistemi

17 Modellazione e Analisi di eti Elettriche 7 a matrice inversa (si A) è: s s 2 + s 2 + s s 2 + s 2 + da cui si ottiene la funzione di trasferimento: T(s) = (si A) B = s 2 + I poli del sistema e la struttura della funzione di trasferimento evidenziano un comportamento oscillatorio del sistema. Il circuito viene infatti chiamato oscillatore elettrico in quanto presenta, anche con una tensione costante in ingresso, una uscita sinusoidale. Tutte le correnti e le tensioni in gioco presentano un andamento nel tempo oscillatorio. Valutiamo, attraverso Matlab, il valore della tensione ai capi del condensatore e della corrente nel circuito quando = Henry e = 2 Farad e in ingresso vi è una tensione costante pari a Volt. v i e curve illustrate nelle due figure precedenti evidenziano l andamento oscillatorio del sistema. Determiniamo analiticamente, nel caso generale, i due segnali (tensione ai capi del condensatore e corrente nel circuito). A fronte di un ingresso costante di tensione V in Volt, l uscita è: Y (s) = T(s) V in s = V in ( s s 2 + ) = V in s s s 2 + Antitrasformando si ottiene: e quindi: y = v = V in ( cos ) t i = d dt v = V in sin t = V in sin t Davide Giglio aboratorio di Analisi dei Sistemi

18 Modellazione e Analisi di eti Elettriche 8 a tensione ai capi dell induttore è: v = v = V in V in V in cos e, ovviamente: i = i = V in sin ome si può vedere, oscilla tutto. t t = V in cos t In presenza di sistemi che sono caratterizzati da un comportamento oscillatorio dello stato è molto importante stare attenti quando si alimenta il sistema con una tensione alternata. E infatti possibile che, con segnali di ingresso con certe frequenze (in particolare con la stessa frequenza secondo la quale evolve il sistema), l uscita diventi instabile. Questo a causa del fenomeno della risonanza. Verifichiamo questo fatto implementando attraverso Simulink il nostro sistema. Il modello utilizzato è quello nella figura seguente. / i' i v' v s / s y / Si consideri inoltre lo specifico sistema caratterizzato da = Henry e = 2 Farad, ovvero: [ ] [ ] ẋ = x +.5 y = [ ] x Nei grafici seguenti vi è l uscita del sistema per = sint e = sin 2 2 t. 3 3 y Davide Giglio aboratorio di Analisi dei Sistemi

19 Modellazione e Analisi di eti Elettriche y ome si può vedere, nel secondo caso, la frequenza del segnale di ingresso, uguale a quella dovuta ai poli del sistema, rende instabile l uscita del sistema. oscillatore elettrico evolve nel tempo con il comportamento sopra descritto anche in assenza di segnale in ingresso. In assenza di tensione in ingresso, al posto del generatore di tensione vi è un filo (il bipolo viene corto-circuitato). In questo caso l evoluzione del sistema è dovuta esclusivamente alla componente libera ( evoluzione libera ). Il circuito risultante è quello illustrato nella figura seguente. e equazioni di stato di questo sistema sono: ẋ = x (non ci interessa l uscita). Determiniamo l evoluzione dello stato attraverso Simulink. Il modello Simulink da utilizzare è illustrato nella figura seguente. x' x x2' x2 s / s -/ Davide Giglio aboratorio di Analisi dei Sistemi

20 Modellazione e Analisi di eti Elettriche 2 Si ponga x ( ) = i ( ) = 4 Ampère e x 2 ( ) = v ( ) = 4 Volt. on tali condizioni iniziali (e con = Henry e = 2 Farad), l evoluzione dello stato è quella illustrata di seguito. x x In generale, analiticamente si ha: X(s) = (si A) x( ) con x( ) = X(s) = x ( ) s x 2( ) s 2 + x ( ) + x 2 ( ) s s 2 + [ x ( ) x 2 ( ) Antitrasformando si ottiene: x = x ( ) cos t x 2( ) sin t x 2 = x ( ) sin t + x 2( ) cos t a figura seguente illustra l andamento al variare del tempo del rapporto x2( ) x ( ). ] x x Davide Giglio aboratorio di Analisi dei Sistemi

21 Modellazione e Analisi di eti Elettriche 2 E interessante osservare come l andamento al variare del tempo del rapporto tra la variabile di stato x 2 e la variabile di stato x produca un andamento ellittico costante. Questo è il classico comportamento di un sistema oscillatorio semplicemente stabile. Nella figura precedente è illustrato tale andamento per tre diverse coppie di valori x ( ) e x 2 ( ). ellisse più esterna è relativa ai valori x ( ) = 4 Ampère e x 2 ( ) = 3 Volt, l ellisse centrale è relativa ai valori x ( ) = 3 Ampère e x 2 ( ) = 2 Volt e, infine, l ellisse più interna è relativa ai valori x ( ) = 2 Ampère e x 2 ( ) = Volt. 5 ircuito Si consideri la rete elettrica illustrata nella seguente figura. Essa è composta da un induttore (con induttanza ), da un resistore (con resistenza ) e da un condensatore (con capacità ). I tre bipoli sono in parallelo. Il circuito è alimentato da un generatore di corrente. obiettivo è determinare l evoluzione nel tempo della tensione ai capi del condensatore (che, in ogni caso, data la struttura del circuito, corrisponde alla tensione ai capi degli altri due bipoli). Nella figura seguente sono indicate tutte le tensioni e le correnti in gioco. i i i v v v e variabili di stato del sistema TI che rappresenta il funzionamento di questo circuito sono la corrente i all interno dell induttore e la tensione v ai capi del condensatore. Il sistema risultante sarà quindi di secondo ordine. Per scrivere le equazioni di stato è necessario applicare le leggi di Kirchoff. Dalla prima legge di Kirchoff si ottiene: = i + i + i = = i + v + d dt v Davide Giglio aboratorio di Analisi dei Sistemi

22 Modellazione e Analisi di eti Elettriche 22 e, dal momento che v = v e v = v (seconda legge di Kirchoff applicata alle due magli della rete), si ottiene: = i + v + d dt v che fornisce la prima equazione di stato: d dt v = v i + Per scrivere la seconda equazione di stato bisogna cercare una relazione che leghi la derivata della corrente che fluisce all interno dell induttore con tale corrente e con la tensione ai capi del condensatore (o, data la struttura parallela del circuito, con ogni altra tensione). Una relazione di questo tipo è la legge di funzionamento dell induttore. Si ha infatti: v = d dt i v = d dt i che fornisce la seconda equazione di stato: d dt i = v Ponendo v = x e i = x 2 si ottiene la seguente classe di sistemi TI: ẋ = x + y = [ ] x Si ponga =.5 Ohm, = 4 Farad e = 2 Henry. Il sistema risultante è: [ ] [ ] ẋ = x +.5 y = [ ] x Valutiamo il comportamento di quest ultimo sistema attraverso Matlab / Simulink, e, in particolare, attraverso il seguente modello: ss(a,b,,d) ircuito y Nella figura seguente a destra è illustrata l uscita del sistema (tensione ai capi del condensatore) a fronte di un ingresso costante di 2 Ampère (illustrato nella figura seguente a sinistra). Davide Giglio aboratorio di Analisi dei Sistemi

23 Modellazione e Analisi di eti Elettriche 23 y Nella figura seguente è invece illustrata l uscita del sistema quando si pone in ingresso un segnale sinusoidale sin 2t. y ete elettrica complessa () Si consideri la rete elettrica illustrata nella seguente figura Davide Giglio aboratorio di Analisi dei Sistemi

24 Modellazione e Analisi di eti Elettriche 24 Essa è composta da due resistori (con resistenza e 2 ), da due condensatori (con capacità e 2 ) e da due induttori (con induttanza e 2 ). Il circuito è alimentato da un generatore di corrente. obiettivo è determinare l evoluzione nel tempo della tensione ai capi dei due condensatori. Nella figura seguente sono indicate tutte le tensioni e le correnti in gioco. Per potere mettere in equazioni di stato è necessario innanzitutto definire le variabili di stato e poi ricavare le equazioni dalle due leggi di Kirchoff (alle maglie e ai nodi). v i i i v v i 2 v v 2 i 2 2 i 2 v 2 ome più volte ricordato, le variabili di stato di una rete elettrica sono rappresentate dalle tensioni ai capi dei condensatori e dalle correnti che fluiscono all interno degli induttori. Nel nostro caso abbiamo quindi 4 variabili di stato, cioè un sistema del quarto ordine. Data la struttura della rete, dalla prima legge di Kirchoff possiamo ricavare le seguenti equazioni: = i + i = i + d dt v i 2 = + i 2 2 d dt v 2 = + i 2 mentre dalla seconda legge si ottiene: v v v = v d dt i i = v 2 + v 2 + v 2 = v d dt i i 2 = Avendo posto v = x, v 2 = x 2, i = x 3 e i 2 = x 4 (si veda la figura seguente) si ottiene le seguenti equazioni di stato: ẋ = x 3 + ẋ 2 = 2 x Davide Giglio aboratorio di Analisi dei Sistemi

25 Modellazione e Analisi di eti Elettriche 25 ẋ 3 = x x 3 ẋ 4 = 2 x x 4 x 3 x x x 4 2 Dal momento che l uscita è rappresentata sia dalla tensione ai capi del condensatore sia da quella ai capi del condensatore 2, il sistema (o meglio la classe di sistemi TI) è: ẋ = y = [ ] x 2 x + 2 Si consideri, per semplicità, = 2 =, = 2 = e = 2 = e si ponga = 2 Ohm, = Farad e = Henry. Il sistema risultante è: ẋ = 2 x + 2 [ ] y = x Valutiamo il comportamento di quest ultimo sistema attraverso Matlab / Simulink, e, in particolare, attraverso il seguente modello: ss(a,b,,d) ete elettrica complessa () y Davide Giglio aboratorio di Analisi dei Sistemi

26 Modellazione e Analisi di eti Elettriche 26 Nelle due figure seguenti sono illustrate, oltre l ingresso, le uscite del sistema (tensioni ai capi dei condensatori) a fronte di un ingresso costante di 2 Ampère. e due uscite sono uguali. y e y Nelle due figure seguenti sono invece illustrate le uscite del sistema quando si pone in ingresso un segnale sinusoidale sin 2t. y e y ete elettrica complessa (2) Si consideri la rete elettrica illustrata nella seguente figura Davide Giglio aboratorio di Analisi dei Sistemi

27 Modellazione e Analisi di eti Elettriche 27 Essa è composta da sei resistori (con resistenza i, i =,...,6), da quattro condensatori (con capacità j, j =,...,4) e da un induttore (con induttanza ). Il circuito è alimentato da un generatore di corrente. obiettivo è determinare l evoluzione nel tempo della tensione complessiva tra i resistori 5 e 6. Nella figura seguente sono indicate tutte le tensioni e le correnti in gioco. Per potere mettere in equazioni di stato è necessario innanzitutto definire le variabili di stato e poi ricavare le equazioni dalle due leggi di Kirchoff (alle maglie e ai nodi). v i i i i 3 v 3 i 3 i 5 v v v 5 i 2 2 v 2 i 2 i 4 v 4 v 3 i 4 i 6 v v 6 v 4 Nella rete elettrica considerata si hanno 5 variabili di stato: quattro dovute ai condensatori e una dovuta all induttore. Si ha quindi un sistema del quinto ordine. Data la struttura della rete, dalla prima legge di Kirchoff possiamo ricavare le seguenti equazioni: = i + i i + i = i + i 3 + i 3 + i 5 i = i 2 + i 2 i 2 + i 3 = i 4 i 3 + i 5 = i 4 + i 6 i 2 + i 4 + i 4 + i 6 = Dalla seconda legge di Kirchoff si ottiene invece: v = v v + v 2 v 3 = v 2 v 2 v 4 = v 3 + v 4 v 3 v 4 = v 3 v 5 = Davide Giglio aboratorio di Analisi dei Sistemi

28 Modellazione e Analisi di eti Elettriche 28 v 4 v 6 = Queste 2 equazioni consentono di definire le equazioni di stato. Per fare questo è necessario scrivere tutte le equazioni in funzione delle sole variabili di stato e delle loro derivate. a prima cosa da fare per ottenere ciò è scrivere espressamente le variabili di stato per quanto riguarda i condensatori e gli induttori (cioè sostituire i termini i j, j =,...,4, con j v j e il termine v con il termine i ). Inoltre, per minimizzare il numero di incognite, si devono scrivere le tensioni ai capi dei resistori in funzione delle correnti, in modo da avere, come uniche incognite, le correnti che fluiscono nei resistori. Si ottengono quindi le seguenti equazioni: () = i + v (2) i + v = i + i v 3 + i 5 (3) i = 2 v 2 + i 2 (4) 2 v 2 + i 3 = i 4 (5) 3 v 3 + i 5 = 4 v 4 + i 6 (6) i 2 + i v 4 + i 6 = (7) i = v (8) i + v 2 3 i 3 = (9) 2 i 2 v 2 4 i 4 = () 3 i i 4 v 3 v 4 = () v 3 5 i 5 = (2) v 4 6 i 6 = e equazioni di stato si ottengono dalle equazioni che presentano la derivata di una variabile di stato. Delle 7 equazioni che contengono una derivata (non tutte linearmente indipendenti in quanto le variabili di stato sono 5), si utilizzino le equazioni (), (2), (3), (6) e (7). Il risultato sono le seguenti equazioni: v = i + v 3 = 3 [ i i 3 i 5 ] v 2 = 2 [i i 2 ] v 4 = 4 [ i 2 i 4 i 6 ] i = v a prima e l ultima sono equazioni già nella forma corretta (non compare nulla che non sia variabile di stato, sua derivata o ingresso). Nelle tre equazioni centrali sono invece presenti i termini relativi alle correnti che fluiscono all interno dei resistori. E necessario esprimere questi termini in funzione delle variabili di stato. E possibile fare questo utilizzando le restanti equazioni dell elenco visto precedentemente. Davide Giglio aboratorio di Analisi dei Sistemi

29 Modellazione e Analisi di eti Elettriche 29 Per semplificare la trattazione, si ipotizza che tutti i resistori abbiano la stessa resistenza, cioè i = i =,...,6, e che tutti i condensatori abbiano la stessa capacità, cioè j = i =,...,4. Inoltre verrà indicata con l induttanda dell unico induttore presente nella rete. Si noti che senza questa semplificazione i conti risulterebbe estremamente lunghi e complicati. Dalle equazioni () e (2) si ricava immediatamente: i 5 = v 3 i 6 = v 4 Per il calcolo di i, i 2, i 3 e i 4 si considerino le equazioni (), (2), (5), (6) e le equazioni (8), (9), (). e prime quattro forniscono (con opportuni calcoli di sostituzione): i 2 + i 4 i i 3 = che, insieme alle ultime tre, compongono il seguente sistema di quattro equazioni lineari a quattro incognite. i 2 + i 4 i i 3 = i + v 2 i 3 = i 2 v 2 i 4 = i 3 + i 4 v 3 v 4 = a risoluzione di questo sistema fornisce: i = 2 v v v 4 i 2 = 2 v v v 4 i 3 = 2 v v v 4 i 4 = 2 v v v 4 Si noti che i = i 4 e i 2 = i 3. Tornando alle nostre equazioni di stato, operando le opportune semplificazioni, si ottiene: i = v v = i + v 2 = v 2 v 3 = 2 v 3 v 4 + v 4 = v 3 2 v 4 + uscita richiesta è la tensione complessiva tra i resistori 5 e 6, ovvero: y = v 5 + v 6 = v 3 + v 4 Davide Giglio aboratorio di Analisi dei Sistemi

30 Modellazione e Analisi di eti Elettriche 3 x 2 x 3 x x x Ponendo v = x, i = x 2, v 2 = x 3, v 3 = x 4 e v 4 = x 5 si ottiene la seguente classe di sistemi TI: ẋ = 2 2 y = [ ] x x + Si ponga =.5 Ohm, = 2 Farad e = Henry. Il sistema risultante è:.5.5 ẋ = 2 x y = [ ] x Valutiamo il comportamento di quest ultimo sistema attraverso Matlab / Simulink, e, in particolare, attraverso il seguente modello: ss(a,b,,d) ete elettrica complessa (2) y Nella figura seguente a destra è illustrata l uscita del sistema (tensione complessiva tra i resistori 5 e 6 ) a fronte di un ingresso costante di 2 Ampère (illustrato nella figura seguente a sinistra). Davide Giglio aboratorio di Analisi dei Sistemi

31 Modellazione e Analisi di eti Elettriche 3 y Nella figura seguente è invece illustrata l uscita del sistema quando si pone in ingresso un segnale sinusoidale sin 2t. y ete elettrica non lineare Si consideri la rete elettrica illustrata nella seguente figura. v v N i i N BN i v v i Davide Giglio aboratorio di Analisi dei Sistemi

32 Modellazione e Analisi di eti Elettriche 32 Tale rete è composta da quattro bipoli in serie: un condensatore con capacità, un resistore con resistenza, un induttore con induttanza e un bipolo non lineare caratterizzato dalla seguente relazione caratteristica tensione-corrente: v = i + i 3 Il circuito è alimentato da un generatore di tensione. uscita del sistema è rappresentata dalla tensione ai capi del condensatore. Per definire le equazioni di stato che regolano il funzionamento del circuito, procediamo come visto in precedenza. Dalla seconda legge di Kirchoff si ottiene: = v + v + v N + v = = v + i i N + i 3 N + d dt i Dato che i = i = i N = i (la corrente all interno di una maglia è la stessa per tutti i bipoli): si ottiene: = v + i i + i 3 + d dt i = = v + i 3 + d dt i Una equazione di stato è quindi: d dt i = v i3 + altra equazione di stato è data dalla legge di funzionamento del condensatore: i = d dt v quindi: i = d dt v d dt v = i Ponendo v = x e i = x 2 e ricordando che l uscita corrisponde a v, si ottiene il sistema non lineare tempo invariante descritto dalle seguenti equazioni di stato: ẋ = x 2 ẋ 2 = x x3 2 + y = x Questa classe di sistema non lineare può essere modellata in Simulink attraverso il seguente schema. Davide Giglio aboratorio di Analisi dei Sistemi

33 Modellazione e Analisi di eti Elettriche 33 x2' x2 x' x / s / s y 3 x2^3 u v / / Si ponga = 2 Ohm, = 2 Farad e = Henry. Il sistema risultante è: ẋ =.5 x 2 ẋ 2 = x x y = x Nelle due figure seguenti è illustrata l uscita del sistema (tensioni ai capi del condensatore) a fronte di un ingresso costante pari a 4 Volt, cioè un segnale di ingresso = 4 (figura a sinistra), e a fronte di un ingresso sinusoidale pari a.5 sin 2t (figura a destra). 5 y.3 y Nella figura seguente è invece illustrata l evoluzione libera del sistema (quindi in assenza di tensione di ingresso, = ) avendo posto come stato iniziale del circuito v ( ) = 2 Volt e i ( ) = Ampère. Davide Giglio aboratorio di Analisi dei Sistemi

34 Modellazione e Analisi di eti Elettriche Davide Giglio aboratorio di Analisi dei Sistemi

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