4 Simulazione di prova d Esame di Stato

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1 Simulazione di prova d Esame di Stato Problema Risolvi uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si articola il questionario Si consideri una sfera di centro O e raggio R; sia SS un suo diametro. Un piano si muove mantenendosi perpendicolare a questo diametro. Nel cerchio, intersezione del piano con la sfera, si inscriva un triangolo equilatero ABC e sia H il centro di questo cerchio. Si indichi SH. a. Calcolare in funzione di e di R l area A; R) del triangolo equilatero ABC e il volume V; R) della piramide SABC. b. Studiare le variazioni di S e di V in funzione di e disegnare le curve rappresentatrici in uno stesso sistema di riferimento, senza tenere conto delle restrizioni legate al problema geometrico. La posizione reciproca delle due curve dipende da R? Discutere i casi possibili. c. Calcolare l area della parte di piano delimitata dalle due curve, distinguendo i casi trovati al punto b. d. Determinare in modo che l area A sia mr. Nel caso particolare in cui l area sia R, dimostrare che, per il valore maggiore di, SABC è regolare e il triedro S ABC è trirettangolo. LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO OS OS R SH, 0 <<R A A S H C O S H B B K C a. AHO triangolo rettangolo in H AH AO HO R R ) R, 0 <<R Teorema dei seni applicato a AHB: AB sen π AH sen π 6 AB R ) R )

2 AKB triangolo rettangolo in K. AK AB BK AB Area ABC A; R) BC AK ) AB AB AB R ) Volume SABC V; R) A; R) SH R ). b. A; R) +R). La funzione rappresenta una parabola di vertice V R ) R ) R ). R; R ), concavità rivolta verso il basso, intersezione con l asse delle ascisse per 0, R. V; R) R ) V) V) 0se 0 R V) > 0 se R >0 <R lim V) ± V) Non esistono asintoti obliqui, infatti lim ± V ) R ) 0se 0 R. LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO V ) > 0 se 0 << R 0punto di minimo, R punto di massimo V ) R 6) 0se R V ) > 0 se < R R flesso R ) V) A): R ) R ) R ) ) 0 0 R R )

3 A) V ) O R R R R< < 8 V ma 8 7 R, A ma V ma > A ma R> 8 V ) A) <R<8 R O R R R V ) A) O R> 8 R R R LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO c. R< [A) V)] d [ R +)+6R]d ) R + +R + c F ) R 0 [A) V)] d + [ R 6 <R<8 R>8 R [V) A)] d F R) F 0) F ) R 8R +R 8 R +8R 9R + 7 ) ) )] 8 8R 7 + 7R

4 0 R 0 [A) V)] d + R [A) V)] d F ) F 0) R 8 0 [A) V)] d + 8 [V) A)] d F ) F 0) F R) 9R 7 ) R [V) A)] d d. A; R) R ) mr 6 R +mr 0 R ± 7R mr, 0 <m< 7 ± 9 m R Se m R R +8R 7 ) ) accettabile in quanto minore di ) R, R. Se R, AB R R ) 8 R R 6 R SA AH + SH R R ) ) R + R 6 R LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO la piramide SABC ha tutti gli spigoli uguali regolare. SABC regolare S A S B S C Triedro S ABC trirettangolo AŜ B AŜ C BŜ C π. Occorre verificare che AB, S A, S B è una terna pitagorica: S A SS SA R 9 R R AB S A + S B 8 R R verificato AS B rettangolo in S.

5 Problema Sia data la funzione f). a. Studiare il comportamento di f) e tracciarne il grafico γ. b. Individuare il più grande intervallo contenuto nel dominio di f) in cui tale funzione ammette funzione inversa, motivando la scelta. Precisare dominio e codominio di f. Determinare l espressione di f ) e tracciarne il grafico γ. c. Scrivere l equazione delle tangenti a γ e γ nel punto {P } γ γ e calcolare l ampiezza dell angolo acuto tra le due curve in P. d. Calcolare l area Aa) della parte di piano limitata da γ e dalle rette di equazioni, a,, con <a<. Determinare il limite di Aa) per a. a. f) D f ; ) ; + ) f ) f) funzione pari si può limitare lo studio della funzione in ; + ) e usare la simmetria per costruire il grafico anche in ; ). lim f) + asintoto verticale destro + lim f) asintoto orizzontale + LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO f) > 0 D f f) ; + ) f ) ) ; + ) f ) 0 punti stazionari f ) < 0 ; + ) f) decrescente f 6 ) > 0 ; + ) f) convessa ) 5 O 5

6 b. f) monotòna decrescente in ; + ) biunivoca invertibile. Lo stesso si può dire per la funzione ristretta all intervallo ; ). Sia h) f) ;+ ), dominio h codominio h ; + ), codominio h dominio h ; + ),, ), h ) Il grafico γ della funzione h si ottiene da quello di γ applicando la simmetria rispetto alla bisettrice. γ γ P LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO O c. P γ γ deve appartenere all asse di simmetria. Quindi può anche essere ottenuto semplicemente da γ { } P { ) 0 P ; ). Retta tangente a γ in Pt γ : f ) ) Retta tangente a γ in Pt γ : h ) ) ) f ) ) Da cui t γ : + ; t γ : + Sia α l angolo acuto compreso tra le due rette tangenti f ) h ) ) tg α +f )h ) ) α arc tg. 6

7 Oppure, ricordando che i vettori velocità sono tangenti alle curve che rappresentano il moto, si può usare il concetto di prodotto scalare tra vettori: cos α v γ,p v γ,p v γ,p v γ,p { t γ: t t ft) { v γ : f t) Nel punto P, che corrisponde a t, si ha v γ,p ; ). In modo analogo si trova v γ,p ; ). cos α + ) ) 5 5 α arc cos 5. 5 Verifichiamo che l angolo α trovato attraverso i due metodi è lo stesso: cos α tg α cos α d. Aa) a [ f)d a) ] a a ) d a) +a a +a. LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO lim a Aa) 0 +. Si può così concludere che la funzione f) è integrabile in senso improprio in [ ; ]. Questionario Dati due numeri reali positivi e : a. dimostrare che la media geometrica g è sempre minore o al più uguale alla media aritmetica a + ; b. usare il risultato del punto a per dimostrare che, tra tutti i rettangoli di perimetro assegnato, il quadrato ha l area maggiore. 7

8 , R + a. + + ) La disuguaglianza è verificata, R. ) 0se. ) 0 b. Siano e le lunghezze dei lati di un rettangolo. Perimetro P + ) Area A Dalle relazioni verificate in a si ha P A A P 6. Il valore massimo dell area è quindi P 6. P 6 P 6 P + P ) 6 8P+ P 0 P ) 0 P 6 P il rettangolo è un quadrato. LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO Le lattine delle bibite sono approssimativamente dei cilindri la cui altezza è,6 volte il raggio. Si può affermare che le proporzioni tra le dimensioni sono scelte dai produttori per rendere minima la quantità di metallo necessario per fabbricarle? Supponiamo il volume delle lattine assegnato, pari a V. La quantità di metallo per confezionare le lattine è proporzionale alla superficie totale di un cilindro di raggio R e altezza h. S πr +πr h V πr h h V πr SR) πr +π V πr π R + V ) πr S R) π R V ) V πr 0se V πr R π S R) π + V ) V πr > 0 R R è un minimo. π Per tale valore di V, h R,6R. Si deve concludere che le proporzioni tra le dimensioni delle lattine non sono scelte per minimizzare la quantità di materiale necessario per produrle. 8

9 Individuare il numero di punti stazionari della funzione f) ln b +5 al variare del parametro b. Discutere la natura di tali punti. f) ln b +5 f ) ln + b. Un punto 0 si dice stazionario se f 0 )0: f 0 )0 ln b grafica: si cercano i punti di intersezione tra g) ln e h) b che è un fascio di rette con centro in 0; ). Retta tangente a g) in un generico punto 0 ; g 0 )ln 0 ): t: ln ) Se voglio che 0; ) t ln ) 0 t:. LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO O ln numero punti stazionari di f numero di intersezioni tra g) e h) b punto stazionario 0, flesso a tangente orizzontale f non cambia segno a destra e a sinistra di 0 ) b> punti stazionari 0 <b< punti stazionari < f ) > 0 se << minimo, massimo b 0 punto stazionario 0 f ) ln +> 0 > e 0 e minimo b<0 punto stazionario 0 f ) > 0 se > 0 0 minimo. 9

10 Dimostrare che il prodotto di funzioni con la stessa parità è pari, con parità differente è dispari. Fornire degli esempi. a. Il prodotto di due funzioni pari è pari. Ipotesi f ) f) g ) g) Tesi f )g ) f)g) Dimostrazione Immediato dimostrare la tesi, semplicemente sostituendo le singole funzioni. b. Il prodotto di due funzioni dispari è dispari. Ipotesi f ) f) g ) g) Tesi f )g ) f)g) Dimostrazione f )g ) [ f)][ g)] f)g). c. Il prodotto di due funzioni, una dispari e una pari, è dispari. Ipotesi f ) f) g ) g) Tesi f )g ) f)g) Dimostrazione f )g ) [ f)]g) f)g). LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO 5 Determinare e rappresentare graficamente l insieme A B C, dove B { ; ) R < } e C { ; ) R + }. 0

11 B {; ) R < } C { ; ) R + } + O O LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO A B C { ; ) R <<+ { }} + O { A ; ) R }, << +

12 6 Scrivere l espressione di F ) f[g)], essendo + se > f) + e g). e + se 0 + se >0 f) + e + se g) g)+ se g) > 0 F ) f[g)] g)+ e g) + seg) 0 g) g) > 0 ) ) { se se << { { > 0 > > > > { { >0 < << << + se > + > F ) e F ) + se<< e + << e + se e + LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO +tg 7 Calcolare il valore del limite lim 0 sen +tg. lim 0 +tg sen +tg [ ] 0 lim 0 0 lim 0 sen + tg ) + sen ) cos sen + tg + sen cos + +0.

13 8 Determinare il valore dell integrale e e +ln + +ln ) d sostituzione +ln t e t, d te t dt e t t t e t + t) et t dt +t dt t + ) [ t dt t + ] t +ln t + +ln + +ln ) d. [ +ln +) ] + ln ln+ lnln Trovare, se possibile, il valor medio della funzione { 0 f) e >0 nell intervallo [ ; ]. In caso affermativo, determinare l ascissa del punto che realizza tale valore. LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO Il valore medio di una funzione f) continua su [a; b] è dato da { se 0 f) e se >0 0 + e b a b a f)d. f) continua su [ ; ]: lim 0 ) lim Valor medio: [ m 0 ] )d + e d [ 0 ] 0 + [ e ] 0 + ) + e ) e e e 6. e

14 Per il Teorema della media, esiste almeno un punto c [ ; ] tale che fc) m. e 6 e +e e 60 e 6e ± 60e + e e 6e 60e + e < 0 accettabile e 6e + 60e + e > 0 non accettabile e 60e + e 6e >0 e + e >0 vero) e e 6 e ln e 6 e > 0 accettabile Esistono quindi due punti c e c tali che fc i )m, i,. 0 Nello sviluppo di a +b) n il quinto coefficiente è 5 volte il sesto. Determinare n. ) a +b) n n n a) n k b) k k0 k ) n Quinto coefficiente per k : ) n Sesto coefficiente per k 5: 5 ) n 5 ) n 5 n!!n )! 5 n! 5!n 5)! LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO!n )!!n 5)n )! 0 n 5)!n 5)! 0 n 60 n 6.