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1 Controlli atomatici Sistemi a tempo discreto Prof. Paolo Rocco Politecnico di Milano Dipartimento di Elettronica, Informaione e Bioingegneria

2 Introdione Un sistema dinamico a tempo discreto è caratteriato dal fatto che ttte le ariabili del sistema sono fnioni di na ariabile temporale che assme solo alori interi. () 4 5 Le motiaioni dello stdio dei sistemi a tempo discreto sono dplici: migliore comprensione di alcni aspetti del controllo digitale (esegito al calcolatore) stdio di sistemi (economici, ecologici, sociologici, ecc.) che si lasciano natralmente descriere come sistemi a tempo discreto Controlli atomatici Sistemi a tempo discreto P. Rocco []

3 Sistema dinamico a tempo discreto ariabili di ingresso S ariabili di scita Il sistema dinamico a tempo discreto è caratteriato da n certo nmero (m) di ingressi e n certo nmero (p) di scite. Il nmero minimo di condiioni iniiali che occorre assegnare per determinare ttte le scite del sistema, noti gli andamenti degli ingressi a partire dall istante iniiale, prende il nome di ordine del sistema: lo si indica con n. Il sistema si lascia descriere per meo di n eqaioni alle differene, ci si aggingono p eqaioni algebriche per determinare le scite. f, g,,, Si sano le stesse classificaioni iste per i sistemi a tempo contino: sistemi SISO e MIMO, strettamente propri e no, lineari e non lineari, tempo inarianti e arianti. Controlli atomatici Sistemi a tempo discreto P. Rocco []

4 Moimento ed eqilibrio Assegnata na condiione iniiale all istante ed n ingresso a partire da, definiamo moimento dello stato la solione delle eqaioni di stato corredate dalla condiione iniiale assegnata e moimento dell scita la consegente scita, ricaabile dalla trasformaione d scita. L eqilibrio è n particolare moimento costante nel tempo a segito di n ingresso costante nel tempo. Per determinare gli stati di eqilibrio corrispondenti a n ingresso si impone che: Pertanto gli stati di eqilibrio sono le solioni dell eqaione implicita: f, Si danno le stesse definiioni, iste a tempo contino, di moimento stabile, instabile, asintoticamente stabile. Controlli atomatici Sistemi a tempo discreto P. Rocco [4]

5 Esempio: algoritmo nmerico Si spponga di doer risolere nmericamente l eqaione scalare f con f generica fnione non lineare. Un metodo per risolere l eqaione pò consistere nel partire da na certa solione iniiale di tentatio ed iterare secondo la formla: f f Se f() = Sistema dinamico non lineare tempo inariante: l indice temporale scandisce le sccessie iteraioni dell algoritmo Gli eqilibri del sistema sono le solioni dell eqaione data Partendo da () = / Controlli atomatici Sistemi a tempo discreto P. Rocco [5]

6 Esempio: sistema economico Consideriamo n sistema economico in ci definiamo le ariabili: (): reddito naionale nell anno c(): consmi nell anno i(): inestimenti priati nell anno (): spesa pbblica nell anno Il sistema pò essere descritto dalle eqaioni: c i c i c c Rappresentiamo qeste eqaioni in termini di sistema dinamico, introdcendo le ariabili di stato: c i Controlli atomatici Sistemi a tempo discreto P. Rocco [6]

7 Esempio: sistema economico Traslando le ltime de eqaioni di n passo in aanti, si ottiene: c i c c c i i c c Il sistema è SISO, lineare, tempo inariante, non strettamente proprio. Controlli atomatici Sistemi a tempo discreto P. Rocco [7]

8 Sistemi LTI Qando ttte le eqaioni del sistema sono lineari nelle ariabili di stato e di ingresso e non dipendono esplicitamente dal tempo, il sistema si definisce lineare tempo inariante (LTI) ed è descritto dalle eqaioni: A B C D Calcoliamo iteratiamente il moimento dello stato a partire da na condiione iniiale, assegnato n ingresso: A B A B A B A AB B A B A A B AB B Per indione possiamo troare la formla del moimento dello stato e qindi dell scita. Controlli atomatici Sistemi a tempo discreto P. Rocco [8]

9 Moto libero e forato A CA i i A i B i i CA Bi D Moto libero Moto forato Poiché il moto libero è lineare nello stato iniiale e il moto forato è lineare nell ingresso ale il principio di sorapposiione degli effetti. Controlli atomatici Sistemi a tempo discreto P. Rocco [9]

10 A B C D Eqilibri nei sistemi LTI Gli eqilibri in n sistema LTI si indiidano con l eqaione: A B Se la matrice IA è inertibile, ossia se A non ha atoalori in s=, esiste n solo stato di eqilibrio, dato dall espressione: I A B Inoltre rislta: con: C I A B D gadagno statico del sistema Controlli atomatici Sistemi a tempo discreto P. Rocco []

11 Altre proprietà dei sistemi LTI A B C D Cambiamento di ariabili di stato: algono le stesse formle dei sistemi a tempo contino ˆ A ˆ ˆ B ˆ Aˆ TAT, Bˆ TB, ˆ T, dett C ˆ ˆ D ˆ Cˆ CT, Dˆ D Raggingibilità: definiione e test sono gli stessi dei sistemi a tempo contino n Kr B AB A B A B Sistema completamente raggingibile se e solo se ran(k r ) = n Osserabilità: definiione e test sono gli stessi dei sistemi a tempo contino K o C T A T C T A T n T C Sistema completamente osserabile se e solo se ran(k o ) = n Controlli atomatici Sistemi a tempo discreto P. Rocco []

12 Stabilità nei sistemi LTI Per i sistemi LTI a tempo discreto algono consideraioni slla stabilità del ttto analoghe a qelle fatte a tempo contino: la stabilità è na proprietà del sistema (ttti i moimenti sono asintoticamente stabili, stabili o instabili). la stabilità si pò altare stdiando i moti liberi del sistema A A Se A è diagonaliabile, cioè: diag n,,, ˆ : A TAT T ˆ ˆ T T T A T AT T n Introdotte le ariabili (differena tra moimento pertrbato e moimento nominale): Controlli atomatici Sistemi a tempo discreto P. Rocco []

13 Modi Le componenti del moto libero del sistema sono qindi combinaioni lineari degli esponeniali degli atoalori (modi). Di segito sono riportati gli andamenti di al ariare di reale: > = < < < <.8.6 < Controlli atomatici Sistemi a tempo discreto P. Rocco []

14 Criterio degli atoalori Natralmente, accanto ad n atoalore complesso i =r i e jji ci sarà anche il conigato e la combinaione dei de termini darà logo ad n termine reale del tipo r i cos(j i +j i ). Possiamo qindi osserare che: se ttti gli atoalori hanno modlo minore di, ttti i moti liberi sono limitati e decadono a ero se non ci sono atoalori a modlo maggiore di, ma ce ne sono a modlo nitario, nessn moto libero dierge, ma i sono moti liberi che non decadono a ero se c è almeno n atoalore a modlo maggiore di, almeno n moto libero non è limitato. Controlli atomatici Sistemi a tempo discreto P. Rocco [4]

15 Criterio degli atoalori Dall analisi dei modi del sistema si possono trarre le segenti conclsioni (alide per matrice A diagonaliabile): Un sistema dinamico LTI a tempo discreto è: asintoticamente stabile: se e solo se ttti gli atoalori di A hanno modlo minore di stabile: se e solo se ttti gli atoalori di A hanno modlo minore o gale a e ne esistono a modlo gale a instabile: se e solo se esistono atoalori di A a modlo maggiore di Regione di asintotica stabilità tempo contino semipiano sinistro tempo discreto cerchio di centro l origine e raggio nitario Controlli atomatici Sistemi a tempo discreto P. Rocco [5]

16 De osseraioni: Criterio degli atoalori ) L analisi della stabilità è del ttto indipendente dalla scelta delle ariabili di stato: la proprietà di stabilità è na proprietà strttrale del sistema dinamico ) Se la matrice A non è diagonaliabile, l ennciato precedentemente a precisato: se i sono atoalori mltipli a modlo nitario (e non i sono atoalori a modlo maggiore di ), il sistema è instabile se per almeno no degli atoalori a modlo nitario la molteplicità geometrica (nmero degli atoettori linearmente indipendenti associati all atoalore) è inferiore alla molteplicità algebrica (molteplicità con ci l atoalore è radice del polinomio caratteristico) Controlli atomatici Sistemi a tempo discreto P. Rocco [6]

17 Esempio: sistema economico Torniamo all esempio economico, in ci: A Posto =.5, =:.5.5 A.5.5 Gli atoalori sono le radici del polinomio caratteristico: A j Im Re.5 Gli atoalori hanno modlo minore di : il sistema è asintoticamente stabile Controlli atomatici Sistemi a tempo discreto P. Rocco [7]

18 Stabilità: analisi del polinomio caratteristico Anche per i sistemi a tempo discreto è possibile stdiare la stabilità eitando il calcolo diretto degli atoalori, ma stdiando i coefficienti del polinomio caratteristico della matrice A: Si pò procedere in de modi: j n n n deti A j j j jn introdrre n criterio (criterio di Jr) che fornisce direttamente le condiioni per ci il polinomio ha ttte le radici a modlo minore di ricondrsi con n cambiamento di ariabili a n polinomio che ha radici a parte reale negatia se e solo se il polinomio originario le ha a modlo minore di, e qindi sare il criterio di Roth s s trasformaione bilineare Controlli atomatici Sistemi a tempo discreto P. Rocco [8]

19 Trasformaione bilineare: esempio Consideriamo il polinomio: 6 8 j Applicando la trasformaione bilineare ed gagliando a ero si ottiene: 6 8 s s s s s s 6 8 s s s s s s s s s Tabella di Roth: polinomio in s ha ttte le radici a p.r. < polinomio in ha ttte le radici a modlo < Controlli atomatici Sistemi a tempo discreto P. Rocco [9]

20 Stabilità degli eqilibri Dato il sistema non lineare: p m n consideriamo l eqilibrio caratteriato da:,, Il comportamento del sistema nell intorno dello stato di eqilibrio è approssimabile con il sistema lineariato: D C B A doe: g D g C f B f A,,,,,,, g f,, Controlli atomatici Sistemi a tempo discreto P. Rocco []

21 Stabilità degli eqilibri Si consideri dnqe la matrice A del sistema lineariato nell intorno dello stato di eqilibrio: A f, Si dimostrano i segenti risltati: Se la matrice A ha ttti atoalori a modlo minore di (ossia se il sistema lineariato è asintoticamente stabile) lo stato di eqilibrio è asintoticamente stabile Se la matrice A ha almeno n atoalore a modlo maggiore di lo stato di eqilibrio è instabile Se la matrice A ha atoalori a modlo gale a e non ne ha a modlo maggiore di, occorrono approssimaioni del sistema dinamico di ordine speriore rispetto al sistema lineariato. Controlli atomatici Sistemi a tempo discreto P. Rocco []

22 Approccio nel dominio delle trasformate Si consideri noamente n sistema LTI: A B C D Analogamente a qanto fatto a tempo contino, possiamo considerare na rappresentaione alternatia del sistema, ottenta introdcendo i ettori U() e Y(), rispettiamente ettori delle trasformate degli ingressi e delle scite del sistema dinamico: () eq. alle differene () trasformata antitrasformata U() eq. algebriche Y() Anche in qesto caso il legame ingressoscita nel dominio delle trasformate è espresso da eqaioni algebriche. Per i sistemi a tempo discreto si sa la trasformata Zeta. Controlli atomatici Sistemi a tempo discreto P. Rocco []

23 La trasformata Zeta Si consideri na generica fnione reale (), definita per intero. La fnione della ariabile complessa, definita dalla serie: V si dice trasformata Zeta di. In generale la serie conerge solo per alori di esterni a n cerchio (oero nel cocerchio) centrato nell origine del piano complesso, cioè per > r >. Tttaia si assme come trasformata la fnione che, nel cocerchio di conergena della serie, coincide con la somma della serie stessa: in qesto modo la trasformata è definita qasi onqe nel piano complesso. Controlli atomatici Sistemi a tempo discreto P. Rocco []

24 Esempi Implso Consideriamo l implso nitario a tempo discreto (delta di Kronecer): V,, imp rislta: Esponeniale Consideriamo l esponeniale a tempo discreto () = a. Rislta: a a a a a a V < per, Per a= si ha loscalino a tempo discreto: sca V Controlli atomatici Sistemi a tempo discreto P. Rocco [4]

25 Linearità Proprietà della trasformata V V V Anticipi e ritardi V V V V Deriaione in V dv d Valore iniiale limv Valore finale (applicabile se i poli di V sono a modlo < o in =) lim V Controlli atomatici Sistemi a tempo discreto P. Rocco [5]

26 Esempi Rampa ram, Poiché ram() = sca(), si ha: d d ram sca d d Esponeniale Consideriamo n segnale di trasformata: Dai teoremi del alore iniiale e finale: limv Se Se a < a V a lim V lim a lim V lim coerente con il fatto che () = a Controlli atomatici Sistemi a tempo discreto P. Rocco [6]

27 Trasformate noteoli Utiliando le proprietà della trasformata, si pò compilare la segente tabella di trasformate noteoli: doe par() = ()/, imp sca ram par a a V a a a Controlli atomatici Sistemi a tempo discreto P. Rocco [7]

28 Antitrasformata Per trasformate Zeta raionali (rapporti di polinomi), si pò tiliare per l antitrasformata il metodo di Heaiside, ossia di scomposiione in fraioni semplici. Di fatto coniene scomporre V()/, secondo il segente schema (per poli semplici): V V p p, p p imp n p n n p n n n In alternatia si pò sare il metodo della lnga diisione, che consiste nel diidere il polinomio a nmeratore e qello a denominatore, in modo da troare i primi campioni dell antitrasformata: V N D Controlli atomatici Sistemi a tempo discreto P. Rocco [8]

29 Antitrasformata (esempio) 6 5 V Lnga diisione Heaiside V Valtando il polinomio a nmeratore in =, =, =, si ottiene: V imp 6 6 coerenti Controlli atomatici Sistemi a tempo discreto P. Rocco [9]

30 Si consideri il sistema LTI: A B C D Fnione di trasferimento Applichiamo la trasformata Zeta ad entrambi i membri delle eqaioni, spponendo lo stato iniiale nllo (()=): X Y AX BU CX DU Si è ottento: Y GU, G CI A B D X Y I A BU CI A B La matrice a p righe e m colonne G() prende il nome di fnione di trasferimento del sistema e dà la trasformata dell scita forata dall ingresso. D U Controlli atomatici Sistemi a tempo discreto P. Rocco []

31 Fnione di trasferimento: proprietà La fnione di trasferimento a tempo discreto ha formalmente la stessa espressione di qella a tempo contino. Pertanto gode delle stesse proprietà: è inariante rispetto a cambiamenti di ariabili di stato per sistemi SISO è il rapporto di de polinomi: G N D le radici del polinomio a nmeratore si chiamano eri, le radici del polinomio a denominatore poli a meno di cancellaioni, i poli coincidono con gli atoalori della matrice A Controlli atomatici Sistemi a tempo discreto P. Rocco []

32 Fnione di trasferimento: tipo La definiione di tipo della fnione di trasferimento a tempo discreto è diersa da qella a tempo contino. Esso infatti conta il nmero di eri o poli in =. Precisamente: tipo g : sono presenti g poli in = tipo g = : non sono presenti né eri, né poli in = tipo g : sono presenti (g) eri in = Controlli atomatici Sistemi a tempo discreto P. Rocco []

33 Fnione di trasferimento: gadagno Consideriamo na fnione di trasferimento pria di poli o eri in = (oero di tipo ). Definiamo gadagno della fnione di trasferimento il alore che assme per =: G CI A B D Per g =, il gadagno della fnione di trasferimento coincide qindi con il gadagno statico del sistema, ossia con il rapporto scita/ingresso all eqilibrio. Per alori del tipo g, la noione di gadagno si generalia: g G lim Controlli atomatici Sistemi a tempo discreto P. Rocco []

34 Fnione di trasferimento: gadagno Si spponga il sistema asintoticamente stabile e lo si solleciti con n ingresso a scalino: sca U Rislta: lim lim Y lim G G Pertanto il gadagno della fnione di trasferimento è il alore di regime della risposta allo scalino del sistema (come a tempo contino). Controlli atomatici Sistemi a tempo discreto P. Rocco [4]

35 Sistema del primo ordine Consideriamo n sistema del primo ordine: G p p Calcoliamo la risposta allo scalino nitario: p p p sca U Y p, Se p < il sistema è asintoticamente stabile e la risposta conerge a. Controlli atomatici Sistemi a tempo discreto P. Rocco [5]

36 p, Sistema del primo ordine <p< p <p< Contrariamente ai sistemi a tempo contino, anche n sistema del primo ordine, con polo compreso tra e, pò dare logo ad na risposta allo scalino oscillante Controlli atomatici Sistemi a tempo discreto P. Rocco [6]

37 Ritardo di tempo Un ritardo di tempo a tempo discreto si esprime mediante la relaione: h con h intero e positio. Applicando iteratiamente la regola della trasformata per il ritardo di n passo: Y h U Fnione di trasferimento: G Y U h h Contrariamente al tempo contino la fnione di trasferimento di n ritardo di tempo è na fnione raionale. È n sistema a gadagno nitario con h poli in =. Controlli atomatici Sistemi a tempo discreto P. Rocco [7]

38 Risposta in freqena In n sistema LTI asintoticamente stabile, sollecitato dall ingresso: U sin esarito n transitorio iniiale, l scita assme l espressione: Y sin con: j Y U G e G e j La fnione complessa della ariabile reale definita da: G j e,, prende il nome di risposta in freqena del sistema e, come a tempo contino, si definisce per qalsiasi sistema LTI, indipendentemente dalla sa stabilità. Il so so, a tempo discreto, è in qalche misra limitato dalla difficoltà nel tracciamento dei diagrammi di Bode (non esiste n approssimaione asintotica semplice). J Im J J Re Controlli atomatici Sistemi a tempo discreto P. Rocco [8]

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