Geometria analitica: curve e superfici

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1 Geometria analitica: curve e superfici geometriche algebriche e matrici e isometrie Riduzione Invarianti Studio di coniche Intersezione con rette e tangenti in forma parametrica 006 Politecnico di Torino 1

2 come luoghi geometrici Ellisse: insieme dei punti del piano la cui somma delle distanze da due punti F 1 e F, detti fuochi, è costante. Il caso F 1 = F corrisponde alla circonferenza. Iperbole: insieme dei punti del piano la cui differenza delle distanze da due punti F 1 e F, detti fuochi, è costante. Parabola: insieme dei punti del piano equidistanti da una retta d, detta direttrice e da un punto F, F d, detto fuoco Politecnico di Torino

3 in forma canonica (1/3) Sia C una conica. Scegliamo un sistema di riferimento Oxy nel piano in modo che: Se C è una ellisse o una iperbole, allora F 1 = (c, 0) e F = (-c, 0) con c 0; Se C è una parabola, F = (0, c ) e d : y = -c con c > 0. 5 in forma canonica (/3) Nei sistemi di riferimento del tipo descritto le coniche sono rappresentate da equazioni di forma particolarmente semplice. Si dice in tal caso che le coniche sono in forma canonica Politecnico di Torino 3

4 in forma canonica (3/3) 7 Ellisse in forma canonica (1/) Se C è una ellisse, C è rappresentata in Oxy da un equazione del tipo: x a y + = 1 dove a b > 0 sono i semiassi e c = a b. Per a = b C è la circonferenza di raggio a e centro O. b Politecnico di Torino 4

5 Ellisse in forma canonica (/) C ha un centro di simmetria (l origine) e due assi di simmetria (gli assi coordinati). Le intersezioni di C con gli assi, dette i vertici di C, sono i punti (a, 0), (-a, 0), (0, b ), (0, -b ). 9 Iperbole in forma canonica (1/) Se C è un iperbole, C è rappresentata in Oxy da un equazione del tipo: x y = 1 a b dove a >0, b > 0 sono i semiassi e c = a + b. Per a = b C è una iperbole equilatera Politecnico di Torino 5

6 Iperbole in forma canonica (/) C ha un centro di simmetria (l origine) e due assi di simmetria (gli assi coordinati). I vertici di C sono i punti (a, 0), (-a, 0). Le rette bx ± ay = 0 sono gli asintoti di C. 11 Parabola in forma canonica Se C èuna parabola, C è rappresentata in Oxy da un equazione del tipo: y = ax dove a > 0 è la concavità e c = 1/4a. C ha un asse di simmetria (asse delle ordinate) e un vertice (l origine) Politecnico di Torino 6

7 Premessa Le coniche si possono rappresentare come luoghi di zeri di particolari polinomi di secondo grado in due variabili. Invertendo tale procedimento, studieremo i luoghi di zeri dei generici polinomi di secondo grado in due variabili. Chiameremo tali luoghi di zeri coniche algebriche Politecnico di Torino 7

8 Polinomi a due variabili Il generico polinomio di grado in due variabili a coefficienti reali ha forma ( ) 1,1 1,, 1 p x, y = a x + a xy + a y + b x + b y + c, con i coefficienti a i,j non tutti nulli. 15 come luoghi di zeri (1/) Il luogo di zeri C = Z (p ) = {(x, y ) p (x, y ) = 0} di p si dice conica algebrica in R di equazione p (x, y ) = 0. Quindi C : a x + a xy + a y + b x + b y + c = 0 1,1 1,, 1 Se k 0 il polinomio kp (x, y ) definisce la stessa conica, quindi l equazione di C è determinata a meno di un fattore non nullo Politecnico di Torino 8

9 come luoghi di zeri (/) In questa lezione per conica intenderemo conica algebrica in. Questa definizione, oltre a ellissi, iperboli o parabole, comprende altri insiemi, come si vede dai seguenti esempi. 17 Esempi Se C : x + y + 1 = 0 o C : x +1 = 0, allora C =. Se C : x + y = 0, allora C è il punto (0, 0). Se C : x y = 0, allora C è la coppia di rette incidenti y =± x. Se C : x 1 = 0, allora C è la coppia di rette parallele x =±1. Se C : x = 0, allora C è la retta x = Politecnico di Torino 9

10 degeneri e non degeneri Le ellissi, iperbole e parabole si dicono coniche non degeneri mentre il, i punti, le rette, le coppie di rette (incidenti o parallele) si dicono coniche degeneri. 19 isometriche Se C, C sono coniche e se esiste una isometria f tale che f (C ) = C, C e C si dicono isometriche (tramite f ). Essere isometriche è una relazione di equivalenza: C è isometrica a sé stessa tramite Id ; Se C e C sono isometriche tramite f, allora C e C sono isometriche tramite f -1 ; Se C e C sono isometriche tramite f e se C e C sono isometriche tramite g, allora C e C sono isometriche tramite f o g Politecnico di Torino 10

11 Elementi fondamentali Poiché le coniche non degeneri sono definite da condizioni metriche, se C e C sono isometriche tramite f e se C è non degenere, anche C lo è e gli elementi fondamentali (fuochi, assi, centro, vertici, asintoti, semiassi, concavità) di C saranno i trasformati di quelli di C tramite f. 1 Riduzione e riconoscimento Proveremo che ogni conica C è isometrica a una conica C in forma canonica tramite una isometria f detta riduzione di C a C. Poiché C può essere inserita in uno degli 8 tipi di coniche individuati (tra non degeneri e degeneri), otteniamo un procedimento di classificazione di C detto riconoscimento di C. 006 Politecnico di Torino 11

12 Matrice associata Sia 1,1 1,, 1 C : a x + a xy + a y + b y + b y + c = 0. La matrice simmetrica 3 x 3 a1,1 a1, b1 M = C a1, a, b b b c 1 si dice matrice associata alla conica C Politecnico di Torino 1

13 Equazione matriciale (1/) Posto a1,1 a 1, 1, b = =, = x A B X, a a b y 1,, abbiamo l equazione matriciale t t C : XAX + BX + c = 0. 5 Equazione matriciale (/) La forma quadratica q A (X ) = t XAX si dice parte quadratica, l applicazione lineare l B (X ) = t BX si dice parte lineare mentre c è il termine noto. C è univocamente determinata da M C a meno di un fattore non nullo Politecnico di Torino 13

14 Esempio Se C :4x + 4y 4xy + 6x y + = 0, allora 4 3 A = B =, 4 1 e 4 :(, ) x ( 3, 1) x C x y + + = 0. 4 y y 7 traslate t t Sia C : XAX + BX + c = 0 una conica. Se la matrice A è diagonale diremo che C è una conica traslata. In particolare, se A = ai con a 0 abbiamo C : ax + ay + b x + b y + c = 0. 1 Quindi C è una circonferenza, un punto o il vuoto Politecnico di Torino 14

15 a centro Le ellissi e le iperboli in forma canonica sono coniche traslate con parte lineare nulla. In generale, le equazioni del tipo αx + βy γ =0 con α, β non entrambi nulli definiscono le coniche a centro in forma canonica. Queste coniche (se diverse da ) hanno l origine come centro di simmetria e gli assi come assi di simmetria. 9 Parabole Le parabole in forma canonica sono coniche traslate con parte quadratica dipendente solo da x, parte lineare solo da y e termine noto nullo. In generale, le equazioni del tipo αx γ y = 0 con α, γ non nulli definiscono le parabole in forma canonica. Queste coniche hanno l origine come vertice e l asse delle ordinate come asse di simmetria Politecnico di Torino 15

16 Equazioni di coniche e isometrie (1/) Sia C : p (X ) = t XAX + t BX + c = 0 e sia f (X ) = NX + P una isometria di. Per ogni X esiste un unico ' ' x X = y ' tale che X = f (X ) Allora X = NX + P C se e solo se t t ( ' ) ( ' ) ( ' ) NX + P A NX + P + B NX + P + c = t t t ( ) ( ) = X ' NANX ' + N AP + B X ' + p P = Politecnico di Torino 16

17 Equazioni di coniche e isometrie (/) Osserviamo che p (P ) = t PAP + t BP + c è il valore che il polinomio p assume nel punto P. Posto A = t NAN, B = t N (AP + B ) e c = p (P ), la conica t ètale che f (C ) = C e f -1 (C ) = C. t C ': XA ' X + B ' X + c ' = 0 33 Matrice di riduzione (1/3) Sia C : t XAX + t BX + c = 0. Poiché A è simmetrica, esiste N O () tale che 0 t ' α NAN = A = 0 β dove α, β sono gli autovalori di A. Per ipotesi A O, quindi α e β non sono entrambi nulli Politecnico di Torino 17

18 Matrice di riduzione (/3) Ricordiamo che: Le colonne [N ] 1 = X α, [N ] = X β di N sono autovettori di A con autovalori α e β rispettivamente e formano una base ortonormale di ; D (A ) = D (A ) = αβ, tr (A ) = tr (A ) = α + β. 35 Matrice di riduzione (3/3) La matrice N si dice matrice di riduzione della conica C. Osserviamo che N non è unica ma che, se α β e se fissiamo l ordine degli autovalori, vi sono quattro matrici di riduzione ottenute cambiando i segni di X α e X β. Se α = β, A = αi, e ogni matrice N O () è di riduzione (caso delle circonferenze) Politecnico di Torino 18

19 Convenzione sugli autovalori Adotteremo le seguenti convenzioni: Se D (A ) > 0, allora α β ; Se D (A ) < 0 e D (M C ) > 0, allora α > 0 e β < 0; Se D (A ) < 0 e D (M C ) < 0, allora α < 0 e β > 0; Se D (A ) = 0, allora α 0 e β = Politecnico di Torino 19

20 Riduzione a coniche traslate Se C : p (X ) = t XAX + t BX + c = 0 e se N è una matrice di riduzione di C, dato P l isometria f (X ) = NX + P trasforma la conica traslata ( ) ( ) ( ) t t t C ': X NAN X + N AP + B X + p P = 0 in C. C è una conica in forma canonica a centro se t N (AP + B ) = O. Ciò equivale a AP + B = O in quanto N è invertibile. 39 a centro La conica C : p (X ) = t XAX + t BX + c = 0 si dice conica a centro se il sistema AX = -B è risolubile. In tal caso, se P è una soluzione di AX = -B e se f (X ) = NX + P, posto γ = -p (P ) abbiamo la conica in forma canonica C ': αx + βy γ = 0. Quindi f è una riduzione di C a C Politecnico di Torino 0

21 Parabole (1/4) Se C : p (X ) = t XAX + t BX + c = 0 e se il sistema AX = -B è impossibile, allora D (A ) = 0 e A ha autovalori α 0, β = 0. Se B = {X α, X 0 } è una base ortonormale di autovettori per A, prendiamo come matrice di riduzione N la matrice ortogonale che ha come colonne tali versori. 41 Parabole (/4) Se f (X ) = NX + P è un isometria con P qualsiasi, e se C = f -1 (C ) t x C ': αx + N ( AP + B) + p( P) = 0. y Allora si prova che esistono unici P e γ 0 tali che p (P ) = 0 e t N (AP + B ) = (0, -γ ) = -γe Politecnico di Torino 1

22 Parabole (3/4) Siccome Ne = X 0, tali condizioni equivalgono al sistema (non lineare!) parametrico t t XAX BX c 0 S : + + = AX = B γ X 0 Si prova che esiste un solo γ 0 per cui S ha soluzione P e che tale soluzione è unica. 43 Parabole (4/4) Scegliendo per definire f (X ) = NX + P il punto P e il numero γ che soddisfano alle equazioni di S otteniamo la conica in forma canonica C ': αx γy = 0. Quindi C è una parabola, e f è una riduzione di C a C Politecnico di Torino

23 Teorema di Riduzione Se C è una conica, allora esiste una riduzione di C a una conica in forma canonica C. Osserviamo che questo teorema assicura che le coniche possono essere riconosciute utilizzando le coniche in forma canonica e permette di ottenere gli elementi fondamentali di una conica C come trasformati degli elementi fondamentali di una sua forma canonica C tramite la relativa riduzione f. 45 Centro e assi di una conica a centro (1/) Sia C una conica a centro e sia f (X ) = NX + P una riduzione di C a una forma canonica C. Allora f trasforma l origine e gli assi coordinati in centro e assi di simmetria. Quindi Se P è una soluzione del sistema AX = -B, allora P è centro di simmetria di C ; Le rette passanti per P e con direzione gli autovettori di A sono assi di simmetria di C Politecnico di Torino 3

24 Centro e assi di una conica a centro (/) In particolare se D (A ) 0 vi è unico centro di simmetria, detto il centro di C ; se inoltre C non è una circonferenza, vi sono due assi di simmetria, detti gli assi di C. 47 Vertice e asse di una parabola Sia C una parabola e sia f (X ) = NX + P una riduzione di C a una forma canonica C. Allora f trasforma l origine nel vertice e l asse delle ordinate nell asse di simmetria. Quindi: Se P C è soluzione di AX = -B -γx 0, con X 0 autovettore di A relativo a 0 e allora P èil vertice di C ; X 0 = 1, L asse di simmetria di C è la retta passante per P con direzione X Politecnico di Torino 4

25 Teorema di Invarianza Siano C : t XAX + t BX + c = 0 e C : t XA X + t B X + c = 0 coniche isometriche. Allora D (A ) = D (A ), tr (A ) = tr (A ), D (M C ) = D (M C ), r (M C ) = r (M C ). I numeri D (A ), tr (A ), D (M C ), r (M C ) si dicono numeri invarianti di C Politecnico di Torino 5

26 Matrici di forme canoniche I numeri invarianti e i Teoremi di Riduzione e di Invarianza ci permettono di riconoscere una conica C : t XAX + t BX + c = 0. Se C è una forma canonica di C, M C ' 0 0 α = 0 0 β 0 0 γ o M C ' 0 0 α = 0 0 γ. 0 γ 0 51 Parabole Posto M C = M e M C = M, osserviamo che nel primo caso D (A ) = αβ = 0 D (M ) = - αβγ = 0 mentre nel secondo D (A ) = 0 e D (M ) = - αγ 0 Quindi se D (A ) = 0 e D (M ) 0, allora C èuna parabola Politecnico di Torino 6

27 a centro (1/3) Se D (A ) > 0, α e β hanno lo stesso segno (che è il segno di tr (A ) = α + β ) mentre γ ha il segno opposto a D (M ). Se tr (A ) D (M ) < 0, γ ha lo stesso segno di α e β e C è un ellisse; Se tr (A ) D (M ) > 0, γ ha segno opposto a α e β e C = ; Se D (M ) = 0, γ = 0 e C è un punto (l unica soluzione di AX = -B ). 53 a centro (/3) Se D (A ) = αβ < 0, α e β hanno segni opposti. Se D (M ) 0, γ 0 e C è una iperbole; Se D (M ) = 0, γ = 0 e C è una coppia di rette incidenti. Se D (A ) = αβ = 0, α 0, β = 0 e D (M ) = 0. Se r (M ) = 1, allora γ = 0 e C è una retta; Se r (M ) =, allora γ 0 e C è una coppia di rette parallele o il a seconda del segno di α e γ Politecnico di Torino 7

28 Riconoscimento e caso degenere Riassumendo, ogni conica è classificabile in uno dei seguenti tipi: non degeneri: ellisse, iperbole, parabola; degeneri: punto, retta, coppia di rette incidenti, coppia di rette parallele, vuoto. Dallo studio dei numeri invarianti otteniamo che: Se C è una conica e C, allora C ènon degenere se e solo se D (M C ) Forma canonica con invarianti Se C è una conica a centro e D (A ) 0, abbiamo ( ) ( ) ; γ = D M D A ( ) ( ). Se C èuna parabola, γ =± D M tr A Quindi possiamo ottenere una forma canonica C di C senza calcolare esplicitamente la riduzione di C a C Politecnico di Torino 8

29 C ( ) Parabola (1/5) Sia C : p x, y = x + y + xy x + 1= 0. Allora = =, = 0, = 1, M M D( A) D( M) quindi C è una parabola Politecnico di Torino 9

30 Parabola (/5) L autospazio di A relativo a 0 ha equazione x + y = 0. 1 Se X 0 = ( 1, 1 ), il vertice è soluzione di x + y x + = ( ) : p X = 0 1 S cioè S : x + y = 1 γ AX = B γ X 0 1 x + y = γ ( ) Parabola (3/5) Quindi γ = 1 e S è equivalente a da cui + + = 1 x + y = ( x y) x P =, Politecnico di Torino 30

31 Parabola (4/5) Poiché α = tr ( A) =, abbiamo la forma canonica C ': x y = 0, quindi C ': y = x. 1 X α è un versore ortogonale a X 0 : sia X α = ( 1,1 ). Allora una riduzione di C a C è f , x = y 8 1 (( x y) ) 61 Parabola (5/5) L asse di simmetria è la retta r : t ( 1, 1) + 1 ( 5, 1 ). 8 1 Il fuoco di C è F ' = 0,, quindi il fuoco di C è F = f ( F ') =, Poiché f 0, =,0, la direttrice di C è 4 la retta 1 d : t ( 1,1 ) +, Politecnico di Torino 31

32 Iperbole (1/5) C Sia C : x + y + 4xy + 6x 4 = 0. Allora = =, M M D( A) D( M) quindi C è una iperbole. = 3, = 3, 63 Iperbole (/5) Gli autovalori di A sono α = 3 e β = -1 e ( ) ( ) = D M γ D A =1, C : 3x y = 1, da cui 1 con a =, b = 1. 3 quindi abbiamo la forma canonica x y C ': = 1 a b Politecnico di Torino 3

33 Iperbole (3/5) Il centro P di C è l unica soluzione di AX = -B : P = (1, -). Scegliendo gli autovettori 1 1 X α = ( 1,1 ) e X β = ( 1,1) abbiamo la riduzione di C a C : f , x = y (( x y) ) 65 Iperbole (4/5) Gli assi di simmetria di C sono le rette r1 : t ( 1,1) + ( 1, ) e r : t ( 1,1) + ( 1, ). I fuochi di C sono 1 F ' 1, = ( ± a + b,0) = ±,0, 3 quindi i fuochi di C sono F1, = f ( F ' 1,) = 1, ± + ± Politecnico di Torino 33

34 Iperbole (5/5) Gli asintoti di C sono le rette b s ' 1, : y =± x =± a 3 x, quindi gli asintoti di C sono le rette s1 = f ( s ' 1) : t 1 ( 1 3,1+ 3) + ( 1, ), s = f ( s ' ) : t 1 ( 1+ 3,1 3) + ( 1, ). 67 Ellisse (1/4) Sia C k : x + y + xy + 6x + k = 0 con k. Allora M Ck = M k =, 3 0 k ( ) ( ) ( ) D A = 3, tr A = 4, D M = 3k 18, k quindi C k è una ellissi per k < 6, un punto per k = 6 e il vuoto per k > Politecnico di Torino 34

35 Ellisse (/4) Sia C = C 5 : x + y + xy + 6x + 5 = 0. Gli autovalori di A sono α = 1 e β = 3 e ( ) ( ) = D M γ D A =1, quindi abbiamo la forma x y canonica C ': x + 3y = 1, da cui C ': + = 1 a b 1 con a = 1, b = Ellisse (3/5) Il centro P di C è P = (-, 1). Scegliendo gli autovettori 1 1 X α = ( 1, 1 ) e X β = ( 1,1) abbiamo la riduzione di C a C : f 1 1 1, x = y 1 (( x y) ) Politecnico di Torino 35

36 Ellisse (4/5) Gli assi di simmetria di C sono le rette r 1 : t (1, -1) + (-, 1) e r : t (1, 1) + (-, 1). I fuochi di C sono F ' 1, = ( ± a b,0) =,0 ± 3 quindi i fuochi di C sono 1 1 F1 = f ( F ' 1) =, 1 +, F = f ( F ' ) =, Ellisse (5/5) Politecnico di Torino 36

37 degeneri (1/) Sia C k : x + y + xy -x y + k = 0 con k Allora M C = M = k k, 1 1 k D( A) = D( M k ) = 0, quindi C k è una retta per k = 1 (r (M k ) = 1) mentre C k è o una coppia di rette parallele per k degeneri (/) Poiché C k : (x + y ) -(x + y ) + k = = (x + y 1) + k 1 = 0, C 1 è la retta x + y -1 = 0; C k è la coppia di rette parallele x + y = per k < 1 mentre C k = per k > 1. ± 1 k Politecnico di Torino 37

38 Intersezione tra coniche e rette Dallo studio precedente otteniamo che intersecando una conica C con una retta r abbiamo uno dei seguenti casi: C r = ; C r è un punto; C r sono due punti; C r = r (solo caso degenere) Politecnico di Torino 38

39 Esempio Se C : p (x, y ) = x + y + xy -x + = 0 e se r k : P k (t ) = t (0, 1) + (k, 0) per k, sostituendo abbiamo ( k ( )) p P t = t + kt + k k + = 0 che ha soluzioni Se k > 1, C r k = {P k (t 1 ), P k (t )}; se k = 1, C r 1 = {P 1 (-1) = (1, -1)}; se k < 1, C r k =. t 1, = k ± k. 77 Tangente a una conica Sia C : p (x, y ) = 0 una conica non degenere e sia P C. Una retta r : P (t ) passante per P si dice tangente a C in P se l equazione in t p(p (t )) = 0 è di secondo grado con due soluzioni coincidenti. Per ogni punto di C passa una e una sola retta tangente a C in P, che indichiamo con tg P (C ) Politecnico di Torino 39

40 Equazione della tangente (1/3) Se C : p (x, y ) = t XAX + t BX + c = 0, P C r : P (t ) = tl + P si verifica che l equazione p (P (t )) = 0 diventa t t ( ( )) ( ) ( ) p P t = LAL t + AP + B Lt = 0 in quanto p (P ) = 0. Allora r = tg P (C ) se e solo se t LAL O e t (AP + B )L = (AP + B ). L = 0. e 79 Equazione della tangente (/3) Quindi tg P (C ) è la retta per P di direzione ortogonale a AP + B. Poiché p (P ) = 0 implica - t PAP t BP = t BP + c, abbiamo l equazione ( ) ( )( ) ( ) tg C : AP + B X P = AP + B X + BP + c = 0. P t t t Politecnico di Torino 40

41 Equazione della tangente (3/3) Se P = (x 0, y 0 ), l equazione della tangente si può scrivere in modo esplicito: P ( ): ( 1,1 0 1, 0 1) ( ) tg C a x + a y + b x + + a x + a y + b y + b x + b y + c = 0 1, 0, Per esempio, se C : x + y 4xy 4x + y 1 = 0, il punto P = (-1, -1) C e tg P (C ) : -x + y = Tangenti nei vertici Sia C una conica non degenere e sia P un vertice di C. Per il Teorema di Riduzione abbiamo: Se C è una conica a centro, tg P (C ) è la retta per P parallela all asse di simmetria non contenente P ; Se C è una parabola, tg P (C ) è la retta per P parallela alla direttrice Politecnico di Torino 41

42 Ellisse in forma canonica x y x y Se C : + = 1, posto = cosθ e = sen θ, a b a b abbiamo la parametrizzazione cos ( ) x = a θ P θ =, θ 0,. = sen π y b θ Politecnico di Torino 4

43 Iperbole in forma canonica x y x Se C : = 1, posto = cosh( t ) e a b a y = senh( t ) abbiamo le parametrizzazioni b () x =± a cosh() t P t =, t R. y = b senh () t L iperbole è unione di due curve in forma parametrica, dette i rami di C. 85 Parabola in forma canonica Se C : y = ax, posto x = t, abbiamo la parametrizzazione () x = t P t =, t R. y = at Politecnico di Torino 43

44 Caso generale Sia C una conica qualsiasi e sia f (X ) = NX + P una riduzione di C a una forma canonica C. Se Q (t ) è una parametrizzazione di C, allora P (t ) = NQ (t ) + P è una parametrizzazione di C. 87 Esempio (1/) Sia C : x + y + xy + 6x + 5 = 0. C èuna ellisse e 1 ': 3 1, ((, )) 1 1 x C x + y = f x y = y 1 sono rispettivamente una forma canonica di C e una riduzione di C a C Politecnico di Torino 44

45 Esempio (/) Poiché C 1 ': Q ( θ ) = cos, sen, θ 3 θ abbiamo la parametrizzazione di C : P 1 1 x = cosθ + senθ 6 = ( ) = 1 1 y = cosθ + senθ ( θ) f Q( θ) Politecnico di Torino 45