Misure indipendenti della stessa grandezza, ciascuna con una diversa precisione.

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1 Msure ndpendent della stessa grandezza, cascuna con una dversa precsone. Consderamo d avere due msure o n generale della stessa grandezza, ndpendent, caratterzzate da funzone denstà d probabltà d Gauss. bbamo gà vsto che se le msure hanno tutte la stessa precsone e sono o state fatte tutte con lo stesso apparato d msura la mglor stma del valore vero d è la meda artmetca delle msure : e la sua ncertezza è l errore standard della meda: Se le msure non hanno la stessa precsone, la mglor stma del valore vero s otterrà dando un peso dverso a cascuna msura, un peso che sarà maggore per la msura pù precsa. bbamo vsto un caso analogo nel metodo de mnm quadrat pesat. nche qu possamo dmostrare che l peso opportuno è l nverso della varanza. Marta Calv 009 Lezone 9, pag.

2 pplchamo l metodo della massma verosmglanza. Scrvamo la probabltà per l osservazone congunta de due valor e con devazon standard e della grandezza l cu valore vero è sconoscuto L ;,,, e e f standard e, della grandezza l cu valore vero è sconoscuto. Essa è data da: e La mglor stma d che chameremo è quella che rende massma la probabltà dell osservazone de due valor e coè quella che rende massma la funzone o l suo logartmo: L ln L ln massma la funzone o l suo logartmo: Cerchamo l massmo calcolando la dervata prma rspetto : Marta Calv 009 Lezone 9, pag.

3 0 ln... lnl meda pesata Posso defnre pes delle due msure: p / e p / e rscrvere: p p p p p p p Marta Calv 009 Lezone 9, pag. 3 p p

4 Qual è l ncertezza corrspondente al volere d così determnato? Per calcolarla s utlzza la propagazone degl error. Poché le msure sono ndpendent e hanno funzone denstà d probabltà Gaussana: ndpendent e hanno funzone denstà d probabltà Gaussana: Generalzzando ad msure ndpendent: meda pesata Marta Calv 009 Lezone 9, pag. 4

5 Osservamo che se ora ponamo tutte ugual le devazon standard:... rtrovamo le formule conoscute: b Marta Calv 009 Lezone 9, pag. 5

6 Osservamo che l procedmento seguto per determnare la mglor stma d equvale alla determnazone del mnmo rspetto della funzone χ : χ Il valore che la varable χ assume al mnmo, per, c permetterà anche d valutare quanto buono è l accordo tra le msure e l valore d così determnato. In questo caso è stato rcavato ato a partre dalle msure stesse. In generale possamo utlzzare l test del χ anche per valutare la compatbltà d un nseme d msure con un generco valore atteso, n modo analogo a a quanto fatto per valutare a la bontà dell accordo do d coppe d msure ed una funzone. Marta Calv 009 Lezone 9, pag. 6

7 Compatbltà d un nseme d msure con un valore atteso Per valutare la compatbltà d una sngola msura con un valore atteso avevamo utlzzato la funzone denstà d probabltà d Gauss. Consderamo ora msure della stessa grandezza ndpendent, ottenute n generale con apparat d msura dvers con precson dverse. Faccamo l potes che cascuna abba funzone denstà d probabltà Gaussana, centrata su atteso con varanza, rspettvamente. La varable casuale: atteso χ deve avere funzone denstà d probabltà del χ con d grad d lbertà. Sa χ o l valore trovato n corrspondenza delle msure e P o la probabltà d trovare un valore d χ χ o : P P χ dχ o χ o Marta Calv 009 Lezone 9, pag. 7

8 Fssato arbtraramente un valore lmte ε es. ε 5% se P o > ε l accordo è buono accettamo l potes potes, se P o < ε Pχ le msure non sono compatbl rgettamo l potes l χ o trovato è troppo dstante dal χ medo atteso per grad d lbertà P ο χ ο Rgettare l potes sgnfca negare una o pù delle affermazon fatte: o le msure non sono tutte ndpendent o non sono Gaussane, o le Gaussane non sono tutte centrate n atteso, o le varanze non sono corrette. Marta Calv 009 Lezone 9, pag. 8

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