F = γ mm 0 G = G = γ m. r 2. Il Campo Gravitazionale e la legge di Gauss. Si ricordi la legge universale della Gravitazione:

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1 Il Campo avitazionale e la legge di auss Si icodi la legge univesale della avitazione: pe due punti mateiali m, m 0, la foza su massa pova m 0 dovuta alla pesenza di m e data (se l oigine delle coodinate polai coincide con m) da: F = γ mm 0 Dove γ γ ˆ e la costante di gavitazione univesale 11 = Nm kg Si icodi, inolte, la definizione del Campo avitazionale: = F m 0 = γ m ˆ cioe foza gavitazioneale pe unita di massa (campo vettoiale), che, pe il punto mateiale m si iduce a: m 0 F m 0 F m m 1

2 La appesentazione geometica del campo gavitazionale e utile ed istuttiva: Linee di foza (o di campo): si tacciano in modo tale che: La tangente ad una linea di foza coisponde, ad ogni punto, alla diezione del campo (analoga alla definizione delle linee nel campo di flusso stazionaio in un fluido) Es: campo coispondente ad un punto mateiale m: m Es. Campo coispondente a due punti mateiali m 1 m Segue da questa definizione che: (a) Le linee di foza non possono incociasi (b) Iniziano all infinito e teminano su una massa (c) le linee si addensano con la cescita del campo ( in fatti la loo densita e popozionale all intensita del campo). Le linee di foza gavitazionale si compotano dunque come le linee di flusso stazionaio nei fluidi. Si noti in paticolae che pe il flusso in un fluido, la popieta (c) coisponde all equazione di continuita ovveo all consevazione di massa.

3 Il flusso gavitazionale Φ e la legge di auss Si considei una supeficie piana ettangolae di aea in un campo unifome. Il flusso Φ passante pe e, pe definizione, dato da: Φ = dove = ˆn e ˆn e' il vesoe. θ θ ˆn segue che, Φ = cosθ = ' dove ' e' la poiezione di B. θ ˆn visto dal lato 3

4 Nel caso geneale, quando il campo non e necessaiamente unifome e la supeficie non e necessaiamente piana, si considea un elemento infinitesimo di aea d che puo essee assimilato ad un aea piana dove non vaia. Il flusso passante attaveso questo elemento e dato da: d Φ = d d E il flusso totale, passante pe si ottiene integando: Φ = d Rimane solo da imuovee l ambiguita nel veso di d. Questo viene fatto con ifeimento ad una supeficie chiusa: d e positivo uscente da supeficie chiusa Una tale supeficie chiusa e detta una supeficie aussiana d Il flusso uscente da una supeficie aussiana e dato da: Φ = d 4

5 La legge di auss Si considei il flusso coispondente ad un punto mateiale m. Si costuisce una supeficie fittizia (detta aussiana ) sfeica e concentica con m. Il flusso di attaveso questa supeficie saa : d = = = 4π. d d d = 4πγm ( // d = 4π ( costante m γ peche adiale) sulla supeficie). m campo.m Linee di foza d Questo isultato e facilmente genealizzabile ad una supeficie qualsiasi che inchiude m. 5

6 La legge di auss dice che il flusso gavitazionale e costante e popozionale alla massa inchiusa. Se la supeficie aussiana non inchiude massa, alloa la legge di auss si potebbe fomulae nel modo seguente: il flusso entante e uguale al flusso uscente. Questa fomulazione coisponde all equazione di continuita (consevazione di massa) pe i fluidi. Un applicazione impotante della legge di auss: Si calcoli geneato da una distibuzione di massa sfeica (aggio R) ed unifome (densita ρ). M d R Dalla simmetia sfeica, si deduce che (i) e adiale (ii) dipende solo da Scegliendo quindi una supeficie aussiana sfeica e concentica con il cento di M ed applicando auss si ottiene: Φ e = Φ = d = siccome e' d = 4π d costante pe costante, supeficie gaussiana sfeica e concentica con M 6

7 pplicando auss: 4π = 4πγM e = γ M ovveo = γ M ˆ (Questo e il isultato tanto icecato da Newton, pe il quale ha sviluppato il calcolo integale) Vale die che, il campo gavitazionale e lo stesso che si avebbe se tutta la massa M fosse concentata al cento della sfea. Il campo gavitazionale pe < R (all inteno della sfea) Dalla simmetia sfeica, si aggiugono le medesime conclusioni iguado la natua del campo. Scegliendo dunque una supeficie aussiana sfeica e concentica con M, ma con < R, si ottiene: Φ = d = 4πγM ' dove M ' = 4 π 3 3 ρ M R 7

8 Ma, dalla simmetia sfeica d = (4π ) alloa 4 3 (4π ) = 4πγ π ρ 3 4 M = πργ = γ 3 3 R R Un alto esempio impotante: un guscio sfeico unifome: Dalla simmetia sfeica, il campo deve sempe essee adiale ovunque. Pe > R e si ottiene lo stesso isultato, applicando auss, che con la sfea solida. Pe < R i invece, si ottiene:. d = 4π = 0 peche la supeficie aussiana non inchiude alcuna massa. Segue che il campo gavitazionale e nullo all inteno della cavita. R e R i L implicazione e che la massa estena ad non influisce sul campo. Questo isulta anche dall esempio pecedente. 8

9 Eqivalenza della legge di auss, a la legge della gavitazione univesale di Newton: bbiamo dimostato, icavandola, che la legge di auss segue dalla legge della gavitazione univesale. Pe dimostane l equivalenza e dunque sufficiente dimostae che la legge della gavitazione univesale segue dalla legge di auss. Pe punto mateiale isolato, si vuole icavae la legge del campo o della foza supponendo di conoscee solo la legge di auss. Del campo, possiamo solo die, in base alla simmetia sfeica, che deve essee adiale e che puo dipendee solo da (cioe che deve essee centale ). Scegliendo dunque una supeficie aussiana sfeica e concentica con m, d = = = 4π Segue che : m = γ. d d = 4πγm ( // d ( costante peche adiale) ( dalla leggedi auss ) sulla supeficiea costante) ( la legge della gavitazone univesale ).m d 9

10 enealizzazione della dimostazione della dimostazione della legge di auss Pe supeficie sfeica e concentica con m d =. d ( // d peche adiale) = = 4π 4π = γm. m γ 4π d = 4πγm dω dω dω Lo stesso elemento di angolo solido dω coisponde ad un elemento d' di aea di una qualsiasi supeficie che inchiude m, e m. d' =. d'cosθ = d'' = ' dω = γ ' dω = γmdω ' Integando, si ottiened dunque il medesimo isultato pe qualsiasi supeficie che continene m. Vale dunque anche pe qualsiasi distibuzione di massa, disceta o continua, contenuta : d = 4πγm Questa e la legge di auss pe il campo gavitazionale dω m dω d 10 d' d ' d'' θ

11 Foma diffeenziale della Legge di auss La Divegenza Il flusso di uscente da un paallelepipede infinitesimo composto dagli elementi dx, dy e dz e dato da: Φ = ( x ( x + dx, y, z) x ( x, y, z) )dydz + ( y ( x, y + dy, z) y ( x, y, z) )dxdz + ( z ( x, y, z + dz) z ( x, y, z) )dxdy (x,y+dy,z) che, nella notazione delle deivate paziali, coisponde a: " $ x # x dx % " ' dydz + y % & $ # y dy " ' dxdz + $ z & # z dz % ' dxdy & ovveo a: " $ # x x + y y + z z dove " x x + y y + % z $ ' = div # z & e detta la divegenza di % " 'dxdydz = x & x + y y + % z $ 'dv # z & 11

12 Sfuttando l opeatoe nabla: # = % î + ĵ + $ x y z Si puo scivee: div = & ˆk ( ' $ = & î + ĵ + % x y z $ = x x + y y + ' z & ) % z ( ' ˆk ) x î + y ĵ + z ˆk ( ( ) Dalla legge di auss, il flusso del campo uscente dalla supefice che inchiude l elemento di volume dv coisponde alla massa dm contentuta in dv dv = dφ = 4πγdm Che si puo espimee in base alla densita ρ(x,y,z) di massa a (x,y,z). dv = 4πγρdV Segue che = 4πγρ Legge di gauss pe il campo gavitazionale in foma diffeenziale 1

13 Pe passae alla foma integale della legge di auss si usa: Il teoema della divegenza (a volte chiamato il teoema di een): pe un campo vettoiale f ( x, y, z), definito nel volume V inchiuso dalla supeficie : f ( ') d = f ( ) dv ( ') d Sostituendo a si ottiene: = V V f ( )dv = 4πγ ρ dv V = 4πγm V dv ' d 13