Stabilità dei Sistemi Dinamici. Stabilità Semplice. Stabilità Asintotica. Stabilità: concetto intuitivo che può essere formalizzato in molti modi
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- Ada Scotti
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1 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc Stabltà de Sstem Dnamc Il Pendolo Stabltà: concetto ntutvo che può essere formalzzato n molt mod Intutvamente: Un oggetto un sstema è stable se, quando vene spostato poco da una condzone d equlbro o d funzonamento normale tende a rtornarv. Stable Instable Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 4 Così la stabltà fa sostanzalmente rfermento ad un punto d equlbro del sstema. Stabltà Semplce a formalzzazone ed prncpal rsultat sulla stabltà o l nstabltà de punt d equlbro de sstem dnamc sono dovut a YAPUNO. Nel contesto della stabltà alla yapunov le defnzon d stabltà s rferscono ad un punto d equlbro che, senza perdta d generaltà, è posto nell orgne. orgne è un punto d equlbro stable se: per ogn numero reale > esste un numero reale,t tale che per t rsulta t t Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 5 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 6 Stabltà Asntotca t orgne è un punto d equlbro Asntotcamente stable se: - è stable - per t s ha lm t
2 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 7 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 8 Nota bene: - Stabltà semplce - Asntotca Stabltà sono propretà local che valgono solo n un ntorno del punto d equlbro. Se la propretà d stabltà o d asntotca stabltà è verfcata per qualunque allora s parla d Stabltà Globale Asntotca Stabltà Globale Quanto è grande tale ntorno? Dffcle da dre n generale. Nota bene: Condzone necessara per la globale asntotca stabltà è che l sstema abba un solo punto d equlbro. Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 9 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc Nota bene: Sstem lnear nvarant se sono asntotcamente stabl hanno un solo punto d equlbro e sono globalmente asntotcamente stabl. nseme d tutt punt dello spazo degl stat che, pres come condzon nzal del sstema, ne asscurano l asntotca stabltà, costtuscono la Regone d Asntotca Stabltà. Regone d Asntotca Stabltà Globale Stabltà Asntotca Globale Stabltà Asntotca Stabltà Stabltà semplce o margnale Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc Come s fa a determnare se un sstema è stable o nstable? Prmo crtero d yapunov Il Metodo Dretto d yapunov Tale metodo fornsce una condzone solo suffcente. Dato l sstema: Secondo crtero d yapunov detto anche: metodo dretto f, ; f, t t Se esste una funzone scalare, contnua con dervate parzal prme contnue, detta Funzone d yapunov, tale che:
3 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 4 c a b,, è defnta postva, coè, > t, Dove : Funzone non decrescente, t, dove funzone non decrescente d, è defnta negatva coè, t, dove funzone non decrescente e lm Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 5 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 6, Allora l orgne del sstema e un punto d equlbro asntotcamente globalmente stable. e stesse condzon nel caso d sstema e qund anche funzone d yapunov nvarante dventano Asntotca Globale Stabltà lm Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 7 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 8 Se le condzon vengono soddsfatte solo n parte allora s possono garantre altre propretà d stabltà. Se n una regone attorno all orgne s verfca: S garantsce la stabltà semplce o margnale locale Se n una regone attorno all orgne s verfca: S garantsce la stabltà asntotca locale Nota bene:a condzone può essere sosttuta con se s verfca che punt per cu non sono soluzon del sstema dato nè punt d equlbro, nè traettore.
4 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 9 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc Determnazone della Regone d Asntotca Stabltà - R.A.S. determnare esattamente la R.A.S., quando l sstema non è globalmente asntotcamente stable, è, n generale, mpossble. S può determnare una sottoregone della R.A.S. Crtero d A SAE: Data una funzone d yapunov tale per cu ; dove è la regone racchusa dalla lnea superfce =. Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc Sa e punt n cu non sano soluzon del sstema. Allora è una sottoregone della R.A.S. a sottoregone della R.A.S. dpende dalla scelta. Nel caso n cu s determnassero pù sottoregon della R.A.S. anche la loro unone sarebbe una sottoregone della R.A.S. Prmo Crtero d yapunov Dato l sstema: f, se s può porre nella forma: A g con g per t Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 4 Se A è asntotcamente stable e vene verfcato che: A è costante g g è contnua nell' ntorno dell' orgne per allora l sstema non lneare d partenza, rsulta asntotcamente stable localmente. Con questo metodo nulla può essere detto d R.A.S. e stabltà globale. Instabltà I Metodo d yapunov: Se A rsulta nstable, allora anche l sstema non lneare d partenza è nstable. II Metodo d yapunov Se la funzone d yapunov, soddsfa le condzon per la stabltà, ma, n attorno all orgne, allora l sstema e nstable
5 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 5 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 6 Stabltà de Sstem near Tempo-Contnu Invarant Dato A lo trasformamo n forma dagonale: z z da cu z z... n e qund t z z e... n Posto j segue t t jt e e e da cu rsulta che: lm z t solo se Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 7 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 8 Stabltà de Sstem near Tempo-Dscret Invarant Dato l sstema: Dato A lo trasformamo n forma dagonale z z Da cu z z e qund: solo se lm z z z Determno punt d equlbro Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 9 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc nearzzo l sstema. a matrce d lnearzzazone è che, calcolata nel punto d equlbro, rsulta Il polnomo caratterstco è: da cu 4, e radc rsultano real o complesse a seconda che - 4 > o - 4 <, ma sempre a parte reale negatva. Qund l orgne del sstema è un punto d equlbro asntotcamente stable.
6 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc Non s è tuttava n grado d dre nulla sulla globaltà o meno della stabltà, né s può dre alcunché sulla R.A.S. A tal fne s cerca d applcare l II crtero d yapunov. Scelta come d yapunov la seguente funzone: rsulta Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 4 Tale funzone rsulta semdefnta negatva n un ntorno dell orgne nella fasca e curve =costante sono crconferenze centrate nell orgne. Al d fuor della fasca s ha s annulla sull asse = e sulle rette = I punt n cu non sono soluzon del sstema, qund s può dre che l orgne è asntotcamente stable. Applcando l crtero d a Salle s ottene quanto llustrato n fgura. Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 5 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 6 r= - + Dato l sstema Determno punt d equlbro
7 7 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc nearzzo l sstema. a matrce d lnearzzazone rsulta: che, calcolata nel punto d equlbro, rsulta: 4 8 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc Il suo polnomo caratterstco è: Sccome le radc rsultano real negatve, qund l orgne del sstema è un punto d equlbro asntotcamente stable. Non s è tuttava n grado d dre nulla sulla globaltà o meno della stabltà, né s può dre alcunché sulla R.A.S. edamo dunque cosa s ottene con l II crtero d yapunov. 9 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc Come funzone d d yapunov sceglamo: da cu: 4 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc Se, non sono dello stesso segno Se, sono dello stesso segno cerchamo d trovare un ntorno dell orgne dove 4 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc Osservando che dffersce poco da una forma quadratca nel secondo termne s ha S può qund procedere nel modo seguente: che mplca e non ' 4 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc Se, sono dello stesso segno, allora: ' a f '
8 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 4 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 44 E qund: e qund nella fasca h h Per applcare l crtero d a Salle, s osserva che: costante F è un ellsse con semass parallel agl ass e par a F e F. Segue qund la fgura: Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 45 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 46 ' F -h +h F In fgura s è scelto F n modo tale che F=h così che l ellsse è la massma all nterno della fasca -h h. a po notato che, con opportune scelte d e, h può assumere ogn valore postvo. In questo caso dunque trovamo nfnte sottoregon della R.A.S.. unone d tal sottoregon è anch essa una sottoregone della R.A.S. Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 47 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 48 Per questo esempo n partcolare, è possble determnare la R.A.S. che è defnta da: Dato l sstema: Determnamo punt d equlbro:
9 49 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc Applchamo l I crtero d yapunov. a matrce d lnearzzazone rsulta essere: che calcolata nel punto d equlbro, rsulta: 5 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc Il suo polnomo caratterstco è Sccome le sue radc non sono tutte a parte reale negatva, non s può dre nulla sulla stabltà dell orgne. 5 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc Per provare ad applcare l II crtero d yapunov, sceglamo Da cu: Tale non sembra essere negatva n un ntorno d,. 5 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc Infatt s ha n = - 5 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc Provamo con un altra funzone : da cu: Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc è defnta negatva n tutto lo spazo, qund l orgne è un punto d equlbro asntotcamente globalmente stable. 4 4 dt d dt d
10 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 55 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 56 Dato l sstema: a b a > b Determnamo punt d equlbro: a b b s ottene b C sono qund due punt d equlbro. nearzzamo l sstema per applcare l I crtero d yapunov. a matrce lnearzzata rsulta: b a Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 57 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 58 che nel punto, rsulta essere b a Il suo polnomo caratterstco è a b a b Sccome a > e b < le due radc sono una postva e una negatva. Qund l orgne è un punto d equlbro nstable. che ha radc:, a a 4b Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 59 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 6 Nel punto d equlbro -b, lnearzzata è b a la matrce Sccome a > e b < le due radc sono a parte reale negatva e qund l punto d equlbro -b, è un punto asntotcamente stable. Il suo polnomo caratterstco è a che ha radc b a b, a a 4b Nulla s può dre, con l nformazone attualmente dsponble, sull eventuale globale assntotca stabltà o sulla R.A.S. Provamo ad applcare l II crtero d yapunov.
11 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 6 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 6 Prma occorre effettuare una trasformazone d varabl d stato per avere l punto d equlbro n studo nell orgne. Ponamo: Allora: z z b z b z Che dventa e qund: z z z az bz z z z az b bz z z bz b z z z az b z b z b Sceglamo qund la seguente funzone zd yapunov Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 6 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 64 Da cu z z z z z z z z z z z b az z z az Tale funzone non ha segno defnto nell ntorno, e qund non dce nulla su stabltà. z b z az z z bz z z z Nota bene Non esste alcun metodo che garantsca d trovare una funzone d yapunov che permetta d determnare la stabltà o l nstabltà del sstema. S va per tentatv. Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 65 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 66 Nota bene è d massma una forma quadratca del tpo T P Se P è dagonale allora: p p... con P defnta postva. Se P I allora... e le curve = costante sono sfere. dove p sono gl element della dagonale d P e le curve d lvello = costante sono delle ellss con ass parallel agl ass del rfermento cartesano.
12 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 67 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 68 Dat due sstem lnear A e A n entramb sa, A, 4 Dscutere la stabltà de due sstem. Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 69 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 7 Il polnomo caratterstco d A è,,5,,5 Tal radc sono: almeno una a parte reale postva tutte tutte n modulo mnor d. le cu radc sono,6,,6,6,5,6,6 j,4 Qund: l sstema tempo contnuo è nstable l sstema tempo dscreto è asntotcamente globalmente stable. Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 7 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 7 Dat due sstem lnear A e A n entramb sa A,5,8 Il polnomo caratterstco d A è,8,5,8, le cu radc sono,,9,8,,9,49,9 j,7 Dscutere la stabltà de due sstem.
13 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 7 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 74 Tal radc sono tutte a parte reale negatva almeno una n modulo maggor d tutte Dat due sstem lnear A e A Qund: l sstema tempo contnuo è asntotcamente globalmente stable l sstema tempo dscreto è nstable. n entramb sa, A,, Dscutere la stabltà de due sstem. Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 75 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 76 Il polnomo caratterstco d A è,,,,5,4 Tal radc sono: almeno una a parte reale postva tutte n modulo mnor d le cu radc sono,,5,5,96,5,,5,,8 -, Qund: l sstema tempo contnuo è nstable l sstema tempo dscreto è asntotcamente globalmente stable. Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 77 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc 78 Stabltà BIBO Bounded Input Bounded Outpu E un modo dverso d guardare alla stabltà n relazone al comportamento del sstema, quando gl ngress non sono null. Dato un sstema descrtto da f, u, t y g, u, t Se per ogn t, ogn t, e ogn u tale che esste un numero N=N[ t, M] tale che u M t t y N t > t l sstema è BIBO stable
14 79 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc In generale non v è legame tra la stabltà alla yapunov e la BIBO stabltà. Se l sstema è lneare, nvarante, a parametr concentrat ed è asntotcamente globalmente stable allora è anche BIBO stable. Il vceversa è vero solo se l sstema è controllable ed osservable. 8 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc S consder l sstema elettrco: dt d C dt d dt d R c c + - R c C 8 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc C R C R c che può essere scrtto come: 8 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc Il polnomo caratterstco è e le radc sono u C R C R C j R, 8 Gustavo Belforte Stabltà de Sstem Dnamc Sccome c sono autovalor d A a parte reale nulla ma nessuno a parte reale postva l sstema rsulta semplcemente o margnalmente stable e qund non è BIBO stable.
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